2026年1月上海市春季高考数学试题卷（含答案及解析）

2026年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)(试卷共4页，答题纸共2页)2026.01一.填空题(本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)1.已知集合A=24,B=23m,若A⊆2.不等式x+2x-3＜03.已知向量a=24,b=x6,若4.在平面直角坐标系中，点(1，2)到直线44x-3y+5=0的距离为5.3x2+1x6.已知a＞0,b＞0,若a+2b=4,，则ab的最大值为7.从甲、乙、丙、丁、戊5人中选择3人去参加活动，要求甲一定参加，则不同的选择方法有种8.已知点P在抛物线y2=4x上，其到焦点的距离等于到y轴距离的两倍，则点P的横坐标为9.已知z∈C,∣z∣=2,∣z-i∣的最小值等于∣z-m∣（m＞1）的最小值，则10.△ABC中,BD=DE=EC,∣AD∣=1,AD与AE11.已知椭圆Γ1:x2a2+y2=1（a＞0）与椭圆Γ212.如图，可以将油壶抽象成一个圆柱(不考虑厚度)和一条线段(不考虑容积)，圆柱的底面直径为6.4cm，高16cm，其中油面高度12.1cm，壶嘴长13.4cm，与壶身夹角为30∘,壶嘴最低点距壶底部3cm，则油壶至少倾斜度，可使油倒出.(精确到0.二.选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分)13.下列数列中，既是等差数列又是等比数列的是()A.1、-1、1、-1 B.1、2、3、4 C.5、5、5、5 D.2、3、5、714.已知x＞y＞1,，则下列不等式恒成立的是()A.xy＞x+y B.xy＜x+y C.x15.平面直角坐标系xOy中，存在点集Ω，对任意点P∈Ω，过点P作直线lp⊥x轴，且lP∩Ω为一条线段，将所有这些线段沿lP，方向平移，使得这些线段中点均位于x轴上，这样的操作称为对点集Ω对称化处理.已知Ω是y=-16.对于函数y=f(x),x∈D,设Af=xy∣y≥fxx∈D.对于平面直角坐标系内的点集M，若存在(x0y0∈M,,使得任取(x,y)∈M,总有.y≥y0,则称x0y0A.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值,则.AfB.若Af∩Ag有“最低点”,则y=f(x)和y=gC.若y=f(x)或y=g(x)有最小值,则.AfD.若Af∪Ag有“最低点”,则y=f(x)或y=g(x)有最小值三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)17.某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数[25,35)845[35,45)1055[45,55)650(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在[25，35)的有多少人?(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少?(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在[35，45)为事件A，记抽到学员爱好摄影为事件B.请问事件A与事件B是否独立?说明理由.18.在正四棱台ABCD-A1B(1)若AA1=2,求A(2)求证:AA1∥平面BC1D，若正四棱台ABCD-A1B1C119.已知函数f(1)若ω=2,fπ12=1,求f(x)在x=(2)若f(x)的最小正周期为3π，方程fx=22在区间[0,2026π)上恰好有135120.已知双曲线IΓ:x22-y22=1,过点M(m，0)的直线l(1)求双曲线离心率e；(2)若点A坐标为(31,点B在双曲线右支上，且B为线段AM中点，求直线(3)若m＞0,点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，点A′是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得21.已知f(x)是定义在R上的函数，若对任意x1、x2∈R,当∣x1∣＜∣(1)判断函数y=ex是否具有“性质(2)若函数fx=ax,x≤0，x+b,x＞(3)若f(x)的值域为[0,1),且在|0+∞)上是严格增函数，证明：“函数f(2026年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.4 2.(-2,3) 3.3 4.35 5.6.2 7.6 8.1 9.3 10.-二.选择题(共4小题)题号13141516答案CCAD一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。1.已知集合A={2,4},B={2,3,m},若A⊆B,则m=4.【分析】利用子集的定义求解.【解答】解:因为A⊆B,所以m=4.故答案为：4.【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题.2.关于x的不等式x+2x-3＜0的解集为{x|-2【分析】由x+2x-3＜0可得(x+2)(x-【解答】解：由x+2x-3＜0,得(x+2)(x解得:-2＜x＜3,则不等式x+2x-3＜0的解集为{x|-2故答案为:{x|-2＜x＜3}.【点评】本题考查分式不等式的解法，是基础题.3.已知向量ā=(x,3),b=(4,6)且ā//b,则x=2.【分析】利用向量共线定理即可得出.【解答】解：∵ā//b,∴6x-3×4=0,则x=2.故答案为：2.【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4.在平面直角坐标系中，点(1，2)到直线4x-3y+5=0的距离为3【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.【解答】解:点(1,2)到直线4x-3y+5=0的距离d=故答案为：3【点评】本题考查点到直线距离公式的应用，是基础题.5.1x+3x26【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【解答】解：T令3k-6=-3,则k=1,所以1x3的系数为(故答案为：18.【点评】本题考查二项式定理，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.6.若a＞0,b＞0,且a+2b=4,则ab的最大值是2.【分析】由于a、b为正值，且a+2b为定值4，因此可以运用基本不等式先求出22ab的最大值，进而求出【解答】解:∵a＞0,b＞0,∴a+∴∴ab≤2,当且仅当a=2b时取等号,即a=2,b=1时取等号所以ab的最大值为2.故答案为：2.【点评】本题考查了运用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值时要注意满足“一正、二定、三相等”的条件.7.在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有6种选法.【分析】结合组合知识求解即可.【解答】解：若甲一定去，则再从剩下的4人中任选2人即可，故选法种数为C故答案为：6.【点评】本题考查组合及其运算，是基础题.8.已知点P为抛物线Γ:y2=4x上一点，若点P到Γ的焦点的距离是P到y轴的距离的两倍，则点P的横坐标是【分析】设出P点的坐标，利用题意求出点的纵坐标，即可求出点P的横坐标.【解答】解：设抛物线y2=4x上的点P(y24,y因为点P到焦点的距离是点P到y轴距离的两倍，所以y2解得y所以P到y轴的距离是y24=1,即点P故答案为：1.【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，是基础题.9.已知m＞1,对于所有满足|z|=2的复数z,都有|z-i|的最小值与|z-m|的最小值相同,则m=3.【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.【解答】解：复数z满足|z|=2，则复数z对应的点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，|z-i|表示圆上一点到点(0，1)的距离，又圆心(0,0)到点(0,1)的距离为1,则|z-i|的最小值为2-1=1,而|z-m|表示点(m,0)到圆上一点的距离,且点(m,0)到圆心(0,0)的距离为m,m＞1,则|z-m|的最小值为|2-m|,又|z-i|的最小值与|z-m|的最小值相同，所以|2-m|=1,解得m=3(m＞1).故答案为：3.【点评】本题考查复数模的几何意义及应用，考查运算求解能力，是中档题.10.在△ABC中,D、E在边BC上,且BD=DE=EC,∣AD∣=1,AD与【分析】先利用AD与AE表示AB⋅AC,，再将AB⋅AC转化为【解答】解：.ABAC∴AB∵∣AD∣=1,AD与AE∴令∣AE∣=t＞当∣AE∣=58时，故答案为：-【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题.11.已知椭圆Γ1:x2a2+y2=1a1)与椭圆Γ2:y【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.【解答】解：因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆Γ₁和Γ₂的对称性可知，该圆的圆心为原点，因此有a且两个椭圆的半焦距为b因此该圆的方程为x又因为A、B、C、D四点与Γ₁和Γ₂的四个焦点在同一个圆上，所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆x2由{x23+得12b2+2+故答案为：3【点评】本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题.12.有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径6.4厘米，壶身高16厘米，壶内油液面高12.1厘米，壶嘴长13.4厘米，与壶身夹角为30°，壶嘴最低点距壶底3厘米，将壶身向壶嘴方向至少转14.2°度可使油倒出(精确到0.01°)【分析】根据题意，结合条件分别表示出EG，EF，然后在△EGF中，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【解答】解：设壶嘴最低点，最高点分别是E，F，图中圆柱轴截面矩形，距离点E最近的顶点是点A，另外三个顶点分别为B，C，D，当水平液面经过点F时，可将油倒出，设倾斜角为θ，当液面经过点D时，θ=arctan先考虑液面不超过点D，即θ∈0设液面与AD，CB分别交于点G，H，设GH的中点为M，过M作AD的垂线，垂足为N，则MN=2AB=3.2,∠GMN=θ,所以GN=MNtanθ=3.2tanθ,因为AN=12.1,所以GE=GN+AN-AE=3.2tanθ+9.1,因为∠EGF=∠NMG+∠MNG=90°+θ,所以∠F=180°-∠FEG-∠EGF=60°-θ,在△EGF中,EG即3即3..2即99sinθ=673即θ=arctan因为14.2°＜31.36°,所以至少将油壶倾斜14.2°即可将油倒出.故答案为:14.2°.【点评】本题考查三角形中的几何计算，属于中档题.二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分。13.下列数列中是等差数列也是等比数列的是()A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7【分析】直接由等差数列与等比数列的定义判断.【解答】解：数列1，-1，1，-1，1是等比数列，不是等差数列，故A错误；数列1，2，3，4，5是等差数列，不是等比数列，故B错误；数列5，5，5，5，5既是等差数列，又是等比数列，故C正确；1，2，3，5，7既不是等差数列也不是等比数列，故D错误.故选:C.【点评】本题考查等差数列与等比数列的定义，是基础题.14.已知x＞y＞1，则下列不等式恒成立的是()A.x＞y2 B.xy＞x+y C.x2＞y D.【分析】举例说明ABD错误，由不等式的性质判定C.【解答】解:取x=3,y=2,满足x＞y＞1,此时.x＜y2取x=1.2,y=1.1,此时xy=1.32,x+y=2.3,xy＜x+y,故B错误;当x＞y＞1时,x2＞x取x=3,y=2,此时x+y=5,xy=6,x+y＜xy,故D错误.故选:C.【点评】本题考查等式与不等式的性质，是基础题.15.平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系xOy中有一图形Ω，过Ω内任意一点P做垂直于x轴的直线lp，满足lp∩Ω为一线段.现沿lp方向平移这些线段，使得它们的中点均在x轴上，这样叫做平移对称法.对于-x2+x+1,-x2-x,直线x=0【分析】根据“平移对乘法”进行分析，结合图象确定正确答案.【解答】解：由{x=0y=-x2+x+1解得由{x=1y=-x2+x+1解得由此画出封闭图形Ω如下图所示.由.-即线段l₀∩Ω的长度为2x+1，则在x轴上方的长度为2y=x+120故选:A.【点评】本题主要考查新定义，属于中档题.16.对于函数y=f(x),x∈D,设Af={(x,y)|y≥f(x),x∈D}.对于点集M，若存在(x0y0∈M,使得任取(x,y)∈M,总有y≥y₀,则称(x₀,y₀)为“最低点”.对于函数y=f(x)和y=gA.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值,则Af∩Ag有最低点B.若Ag有最低点,则y=f(x)和y=g(x)都有最小值C.若y=f(x)或y=g(x)有最小值,则Af∪Ag有最低点D.若Af∪Ag有最低点,则y=f(x)或y=g(x)有最小值【分析】选项A：若y=f(x)和y=g(x)都有最小值，Af∩Ag未必有最低点(反例显示其区域无统一最小y),故A错误;选项B:若A,Ag有最低点,y=f(x)和y=g(x)不一定都有最小值(如.f=g=ex时，交集有最低点但eˣ无最小值)，故选项C:若y=f(x)或y=g(x)有最小值,A,∪Ag未必有最低点(如.f=ex,g=x2选项D:若Ar∪A₈有最低点,则该点属于Ar或Ag,对应y=f(x)或y=g(x)存在最小值,故D正确.【解答】解：对于A，可举反例：f(x)={此时且y≥eˣ)或(x＞0且y≥e)},故A错误;对于B，可举反例：fx=ex,gx=e-x,此时且y≥eˣ)或(x≤0且y≥eˣ)},显然此时(0,1)为Ag,但f对于C，可举反例；fx=ex,gx=对于D，若Af∪Ag有“最低点”，不妨记最低点为(x则(x₀,y₀)∈Af或x0y0∈Ag,且有f(x)≥y₀或故fxmin=y0或故选:D.【点评】本题考查函数与方程的综合运用与最值，属于中档题.三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。17.(14分)某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数[25,35)845[35,45)1055[45,55)650(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在[25，35]岁的有多少人?(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少?(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在[35，45)为事件A，记抽到学员爱好摄影为事件B.事件A与B是否独立?请说明理由.【分析】(1)根据分层随机抽样按比例分配即可得解；(2)根据平均数的计算方式求解即可；(3)利用古典概型分别计算P(A),P(B)和P(AB)的值,考虑P(AB)=P(A)P(B)是否成立即可判断.【解答】解：(1)由表知，年龄在[25，35)岁的人数在总体中的占比为45所以采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在[25，35)岁的有310(2)该兴趣班150人的平均年龄是1150(3)事件A与B不独立，理由如下：由题意知，PPP所以P(AB)≠P(A)P(B),故事件A与B不独立.【点评】本题考查事件的相互独立性，分层随机抽样，以及古典概型，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.18.(14分)如图所示正四棱台ABCD-A1B(1)当AA1=2时,求AA₁和平面A₁B₁C(2)证明:AA₁//平面BC₁D;若棱台高为3,求三棱锥A1【分析】(1)作A₁到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小；(2)连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积.【解答】解:(1)过A₁作A₁H⊥平面于H,连接AH,过H分别作HE⊥AB于E,HF⊥AD于F,连接A₁E,A₁F,如图HE为A₁E在平面ABCD上的投影，由于AB⊂平面ABCD,所以A由于A₁H∩HE=H,A₁H,HE⊂平面A₁HE,所以AB⊥平面A₁HE,由于A1E⊂平面所以AE=4-22=1,同理AF⟂AD,AF=1,，四边形AEHF又因平面ABCD//平面A₁B₁C₁D₁,所以AA₁和平面A1B1故AA₁和平面A1B1(2)证明:连接AC、BD交于O,连接A1C1.如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得A1C1所以四边形A1C1因为AA₁∉平面BC₁D,OC₁⊂平面BC₁D,所以AA₁平面BC₁D,由正棱台性质OO₁与上下底面均垂直，则O因为O所以BD⊥平面A₁OC₁，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，即V=【点评】本题考查空间向量法求解直线与棱锥的体积，属于中档题.19.(14分)已知函数f(1)当ω=2,fπ12=0,求函数f(2)若函数f(x)的最小正周期为3π，且fx=22在x∈[0,2026π)上恰好有【分析】(1)根据已知条件求得fx(2)由正弦函数的周期性可得fx【解答】解:(1)当ω=2时,f(x)=sin(2x+φ),因为f所以sinπ6+所以=kπ-因为0＜φ＜π,所以=所以f所以f所以f故函数f(x)在x=0处的切线方程为y-12=-(2)因为f(x)的最小正周期为3π,所以ω=所以f因为fx=22在[π,4π),[4π,7π),[7π,10π),…,[2023π,2026所以fx=22在[π,2026π)上恰有675×所以fx=22在[0,当x∈[0,π)时,2因为0＜φ＜π,所以若≤π4,若π4＜＜π,综上，∈【点评】本题考查切线方程的求法与正弦函数的图象与性质，熟练掌握导数的几何意义，正弦函数的周期性，函数的零点与方程根之间的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.20.(18分)已知双曲线Γ:x22-y22=1,过点M(m，0)作不垂直于x(1)求双曲线离心率；(2)若点A31,点B在双曲线的右支上，且B是AM(3)若m＞0,F₁,F₂分别是双曲线Γ的左右焦点，A'是A关于y轴的对称点，若存在直线l使得F1A'【分析】(1)根据双曲线的方程与离心率的计算公式，即可得解；(2)利用中点坐标公式写出点B的坐标，代入双曲线的方程，并结合m的取值范围，求得m的值，再根据斜率的计算公式，求解即可；(3)设过点M(m，0)的直线l：x=ty+m(t≠0)，将其与双曲线方程联立，结合向量数量积的坐标运算与韦达定理，求解即可.【解答】解：(1)由题意知，a所以离心率e=(2)因为M(m,0),A(3,1),B为线段AM中点,所以B又B在Γ右支上，代入Γ得m+324-14所以直线l斜率k=(3)由双曲线Γ:x22-y22=1知，F₁(-2,设A(x₁,y₁),