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用心 爱心 专心1 高中新课标数学选修 高中新课标数学选修 2 22 2 3 1 3 23 1 3 2 教材解读教材解读 一 数系的扩充和复数的概念 1 复数的引入 回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面 一方面数学本身发展的 需要 另一方面由于实际的需要 而复数的引入属于前者 我们知道 方程 2 10 x 在实数范围内无解 于是需引入新数i使方程有解 显然 需要 2 1i 数系的扩充过程 自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集 Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C 2 复数的代数形式 由实数的运算类似地得到新数 i 可以同实数进行加 减 乘运算 于是得到 形如 abi ab R 的数叫做复数 并且把 zabi ab R 的这一表现形 式叫做复数的代数形式 其中的a叫做复数的实部 b叫复数的虚部 注意复数 1 3 2 i 的 虚部是3 而不是3i 3 复数相等的充要条件 abicdiac 且 bd abcd R 注意事项 1 复数abi 0 0 0 0 a b bi a abi b abi a 实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 2 复数集C R R 实数集 虚数集 3 两个实数可以比较大小 但两个复数如果不全是实数 则不能比较大小 二 复数的几何意义 1 复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示 于是 复数集 abi ab CR 与坐标系中的点集 abab R 可以建立一一对 应 2 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 在复平面内 x轴叫做实轴 y轴 叫做虚轴 x轴的单位是 y轴的单位是i 实轴与虚轴的交点叫做原点 且原点 0 0 对 应复数 0 于是有下面的一一对应关系 复数Zabi 复平面内的点 Z ab 3 由于平面向量与坐标平面的点一一对应 于是有 复数Zabi 一一对应平面向量OZ 用心 爱心 专心2 在这些意义下 我们就可以把复数zabi 说成点Z或向量OZ 这给研究复数运算 的几何意义带来了方便 4 复数的模就是这个复数对应的向量的模 复数zabi 的模为 22 zab 三 复数代数形式的四则运算 1 复数的加法 减法 运算法则 abicdiacbd i 其运算法则类似于多项式的合并同类项 复数加法的运算律 对于任意的 123 zzz C 有 交换律 1221 zzzz 结合律 123123 zzzzzz 复数加法的几何意义 设 1 OZ 2 OZ 分别与复数abi cdi 对应 根据向量加法的平行四边形 三角形 法则 则有 12 OZOZOZ 如图 1 由平面向量的坐标运算 12 OZOZacbd 即得OZ 与复数 acbd i 对应 可见 复数的加法可以按向量加法的法则进行 复数减法的几何意义 设 1 OZ 2 OZ 分别与复数abi cdi 对应 如图 2 根据向量加法的三角形法则有 2211 OZZ ZOZ 于是 1221 OZOZZ Z 由平面向量的坐标运算 12 OZOZacbd 即得 21 Z Z 与复数 acbd i 对应 用心 爱心 专心3 于是得到向量的减法运算法则为 两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数 的向量相对应 2 复数代数形式的乘法运算 运算法则 abi cdiacbdadbc i 两个复数相乘类似于两个多项式相乘 只是把 2 i换为1 并且把实部与虚部分别合并 即可 运算律 交换律 1221 z zz z 结合律 123123 z zzzz z 分配律 123121 3 z zzz zz z 虚数i的乘方及其规律 1 ii 2 1i 3 ii 4 1i 5 ii 6 1i 7 ii 8 1i 可见 41n ii 42 1 n i 43n ii 4 1 n in N 即i具有周期性且最小正周期 为 4 共轭复数 abi 与abi 互为共轭复数 即当两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个 复数叫做互为共轭复数 它的几何意义是 共轭的两个复数关于x轴对称 主要用于复数的化简以及复数的除 法运算 3 复数代数形式的除法运
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