高中数学 1.2.1《常数函数与幂函数的导数》测试2 新人教B版选修2－2

用心 爱心 专心 常数函数与幂函数的导数常数函数与幂函数的导数 一 选择题 1 设函数 0 f xx在可导 则 00 0 3 lim t f xtf xt t A 0 fx B 0 2 fx C 0 4 fx D 不能确定 2 2007 年浙江卷 设 fx 是函数 f x的导函数 将 yf x 和 yfx 的图象画在 同一个直角坐标系中 不可能正确的是 3 2007 年江西卷 设函数 f x是R上以 5 为周期的可导偶函数 则曲线 yf x 在 5x 处的切线的斜率为 1 5 0 1 5 5 4 已知函数xxf 在0 x处函数极值的情况是 A 没有极值 B 有极大值 C 有极小值 D 极值情况不能确定 5 曲线 32 1 x y 在点 4 1 8R的切线方程是 A 02048 yx B 48200 xy C 48200 xy D 4200 xy 6 已知曲线 1000 100 5 3 400 2 xxxy在点M处有水平切线 则点M的坐 标是 A 15 76 B 15 67 C 15 76 D 15 76 7 已知函数xxxfln 则 A 在 0 上递增 B 在 0 上递减 C 在 e 1 0上递增 D 在 e 1 0上递减 8 2007 年福建卷 已知对任意实数x 有 fxf xgxg x 且 0 x 时 0 0fxg x 则0 x 时 A 0 0fxg x B 0 0fxg x C 0 0fxg x D 0 0fxg x 二 填空题 9 函数53 23 xxxf的单调递增区间是 10 若一物体运动方程如下 2 3 3 329 1 30 23 2 2 tt tt s y xO y xO y xO y xO A B C D 用心 爱心 专心 则此物体在1 t和3 t时的瞬时速度是 11 曲线xxy2 3 在点 1 1 处的切线的倾斜角是 12 已知cxxf 2 且 1 2 xfxffxg 设 xfxgx x 在 1 上是减函数 并且在 1 0 上是增函数 则 13 2006 年湖北卷 半径为 r 的圆的面积 S r r2 周长 C r 2 r 若将 r 看作 0 上的变量 则 r2 2 r 式可以用语言叙述为 圆的面积函数的导 1 1 数等于圆的周长函数 对于半径为 R 的球 若将 R 看作 0 上的变量 请你写出类似 于的式子 式可以用语言叙述为 1 2 2 14 2007 年江苏卷 已知函数 3 128f xxx 在区间 3 3 上的最大值与最小值分 别为 M m 则Mm 三 解答题 15 1 求曲线 1 2 2 x x y在点 1 1 处的切线方程 2 运动曲线方程为 2 2 2 1 t t t S 求 t 3 时的速度 16 设函数 f x是定义在 1 0 0 1 上的奇函数 当x 1 0 时 2 1 2f xax x a R R 1 当x 0 1 时 求 f x的解析式 2 若a 1 试判断 f x在 0 1 上的单调性 并证明你的结论 3 是否存在a 使得当x 0 1 时 f x 有最大值 6 17 函数 xf 对一切实数yx 均有xyxyfyxf 12 成立 且0 1 f 1 求 0 f的值 2 当 1 0 2 x 时 32f xxa 恒成立 求实数 a的取值范围 18 2006 年江苏卷 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 如右图 所示 试问当帐篷的顶点O到底面 中心 1 o 的距离为多少时 帐 篷的体积最大 19 2006 年天津卷 已知函数 cos 16 3 cos34 23 xxxf 其中 Rx 为参数 且 20 1 当时0cos 判断函数 xf是否有极值 2 要使函数 xf的极小值大于零 求参数 的取值范围 3 若对 2 中所求的取值范围内的任意参数 函数 xf在区间 aa 12 内都 是增函数 求实数a的取值范围 20 2007 年广东高考压轴题 已知函数 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 fx是f x 的导数 设 1 1a 1 n nn n f a aa fa n 1 2 1 求 的值 O O 1 用心 爱心 专心 2 证明 对任意的正整数 n 都有 n a a 3 记ln n n n a b aa n 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 用心 爱心 专心 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 题号题号 1 12 23 34 45 56 67 78 8 答案答案 C CD D B B C CA AC C D D B B 二 填空题二 填空题 9 0 与 2 10 0 11 4 3 12 4 13 V球 3 4 3 R 又 32 4 4 3 RR 故式可填 32 4 4 3 RR 用语言叙 2 述为 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 14 32 三 解答题三 解答题 15 15 分析 分析 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知 函数 y f x 在 0 x处的导数就 是曲线 y f x 在点 00 yxp处的切线的斜率 瞬时速度是位移函数 S t 对时间的导数 解 解 1 22 2 22 2 1 22 1 22 1 2 x x x xxx y 0 4 22 1 x y 即曲线在点 1 1 处的切线斜率 k 0 因此曲线 1 2 2 x x y在 1 1 处的切线方程为 y 1 2 2 1 2 2 t t t S t tt t t ttt 4 21 4 1 2 324 2 27 26 1112 27 2 9 1 3 t S 16 1 解 设x 0 1 则 x 1 0 f x 2ax 2 1 x f x 是奇函数 f x 2ax 2 1 x x 0 1 2 证明 f x 2a 1 2 2 33 x a x a 1 x 0 1 3 1 x 1 a 3 1 x 0 即f x 0 f x 在 0 1 上是单调递增函数 3 解 当a 1 时 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 6 a 2 5 不合题意 舍之 当a 1 时 f x 0 x 3 1 a 如下表 fmax x f 3 1 a 6 解出a 22 x 2 2 0 1 用心 爱心 专心 x 3 1 a 3 1 a 3 1 a fx 0 f x A 最大值A 存在a 22 使f x 在 0 1 上有最大值 6 17 因为xyxyfyxf 12 令0 0 1 yf xfxx 再令1 1 0 2 0 2xfff 由知 1 2f xxx 即 2 2f xxx 由 32f xxa 恒成立 等价于 22 13 231 24 af xxxxx 恒成 立 即 2 max 13 24 ax 当 1 0 2 x 时 22 max 1313 0 1 2424 x 故 1 a 18 解 设 OO1为xm 则41 x 由题设可得正六棱锥底面边长为 222 28 1 3xxx m 故底面正六边形的面积为 4 3 6 22 28xx 28 2 33 2 xx 2 m 帐篷的体积为 28 2 33 V 2 xxx 1 1 3 1 x 1216 2 3 3 xx 3 m 求导得 312 2 3 V 2 xx 令0V x 解得2 x 不合题意 舍 2 x 当21 x时 0V x xV为增函数 当42 x时 0V x xV为减函数 当2 x时 xV最大 答 当 OO1为2m时 帐篷的体积最大 最大体积为316 3 m 19 解 当cos0 时 3 4f xx 则 f x在 内是增函数 故无极值 解 2 126 cosfxxx 令 0fx 得 12 cos 0 2 xx 由 只需分下面两种情况讨论 当cos0 时 随 x 的变化 fx的符号及 f x的变化情况如下表 用心 爱心 专心 x 0 0cos 0 2 cos 2 cos 2 fx 0 0 f x 极大值 极小值 因此 函数 f x在 cos 2 x 处取得极小值 cos f 2 且 3 cos13 cos 2416 f 要使 cos 0 2 f 必有 2 13 cos cos 0 44 可得 3 0cos 2 由于 3 0cos 2 故 311 6226 或 当时cos0 随 x 的变化 fx的符号及 f x的变化情况如下表 xcos 2 cos 2 cos 0 2 0 0 fx 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 因此 函数 0f xx 在处取得极小值 0 f 且 3 0 cos 16 f 若 0 0f 则cos0 矛盾 所以当cos0 时 f x的极小值不会大于零 综上 要使函数 f x在 内的极小值大于零 参数 的取值范围为 311 6 226 III 解 由 II 知 函数 f x在区间 与 cos 2 内都是增函数 由题设 函数 21 f xaa 在内是增函数 则 a 须满足不等式组 21 0 aa a 或 21 1 21cos 2 aa a 由 II 参数时 311 6 226 时 3 0cos 2 要使不等式 1 21cos 2 a 关于参数 恒成立 必有 3 21 4 a 即 43 8 a 综上 解得0a 或 43 1 8 a 所以a的取值范围是 43 0 1 8 20 解析 1 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 用心 爱心 专心 1515 22 2 21fxx 2 1 115 21 21 1 244 2121 nnn nn nnn nn aaa aa aaa aa 5 11 4 21 4212 n n a a 1 1a 有基