高中数学 轨迹方程做法汇总 论文 新人教A版

专心 爱心 用心1 轨迹的相关情况轨迹的相关情况 求轨迹方程是高考中常见的一类问题 本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳 供同学们 参考 一 直接法 直接根据等量关系式建立方程 例 1 已知点 动点满足 则点的轨迹是 2 0 3 0 AB P xy 2 PA PBx P 圆 椭圆 双曲线 抛物线 解析 由题知 2 PAxy 3 PBxy 由 得 即 2 PA PBx 22 2 3 xxyx 2 6yx 点轨迹为抛物线 故选 P 二 定义法 运用有关曲线的定义求轨迹方程 例 2 在中 上的两条中线长度之和为 39 求的重ABC 24BCACAB ABC 心的轨迹方程 解 以线段所在直线为轴 线段的中垂线为轴建立直角坐标系 如图 1 BCxBCy 为重心 则有 M 2 3926 3 BMCM 点的轨迹是以为焦点的椭圆 M BC 其中 1213ca 22 5bac 所求的重心的轨迹方程为 ABC 22 1 0 16925 xy y 注意 求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性 三 转代法 此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例 3 已知 ABC的顶点 顶点在抛物线上运动 求的 3 0 10 BC A 2 yx ABC 重心的轨迹方程 G 解 设 由重心公式 得 G xy 00 A xy 0 0 31 3 3 x x y y 0 0 32 3 xx yy 又在抛物线上 00 A xy 2 yx 2 00 yx 专心 爱心 用心2 将 代入 得 2 3 32 0 yxy 即所求曲线方程是 2 4 34 0 3 yxxy 四 参数法 如果不易直接找出动点的坐标之间的关系 可考虑借助中间变量 参数 把 x y 联 系起来 例 4 已知线段 直线 垂直平分于 在 上取两点 使有向线2AAa l AA OlP P 段满足 求直线与的交点的轨迹方程 OPOP 4OP OP APA P M 解 如图 2 以线段所在直线为轴 以线段的中垂 AA x AA 线为轴建立直角坐标系 y 设点 0 0 Pt t 则由题意 得 4 0P t 由点斜式得直线的方程分别为APA P 4 t yxayxa ata 两式相乘 消去 得 t 2222 44 0 xa yay 这就是所求点M的轨迹方程 评析 参数法求轨迹方程 关键有两点 一是选参 容易表示出动点 二是消参 消 参的途径灵活多变 五 待定系数法 当曲线的形状已知时 一般可用待定系数法解决 例 5已知 三点不在一条直线上 且 2 0 A 2 0 B 2AD 1 2 AEABAD 1 求点轨迹方程 E 2 过作直线交以为焦点的椭圆于两点 线段的中点到轴的距AAB MN MNy 离为 且直线与点的轨迹相切 求椭圆方程 4 5 MNE 解 1 设 由知为中点 易知 E xy 1 2 AEABAD EBD 22 2 Dxy 又 则 2AD 22 222 2 4xy 即点轨迹方程为 E 22 1 0 xyy 2 设 中点 1122 M xyN xy 00 xy 专心 爱心 用心3 由题意设椭圆方程为 直线方程为 22 22 1 4 xy aa MN 2 yk x 直线与点的轨迹相切 MNE 解得 2 2 1 1 k k 3 3 k 将代入椭圆方程并整理 得 3 3 y 2 x 22224 4 3 41630axa xaa 2 12 0 2