贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 24第二十四讲 几何的定值与最值 人教新课标版

用心 爱心 专心1 贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 2424 第二十四第二十四 讲讲 几何的定值与最值几何的定值与最值 人教新课标版人教新课标版 例题就解 例 1 如图 已知 AB 10 P 是线段 AB 上任意一点 在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边 作等边 APC 和等边 BPD 则 CD 长度的最小值为 思路点拨 如图 作 CC AB 于 C DD AB 于 D DQ CC CD2 DQ2 CQ2 DQ AB 2 1 一常数 当 CQ 越小 CD 越小 本例也可设 AP 则 PB 从代数角度探求 CD 的最xx 10 小值 注 从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示 常能找到解题突破口 特殊位置与极端 位置是指 1 中点处 垂直位置关系等 2 端点处 临界位置等 例 2 如图 圆的半径等于正三角形 ABC 的高 此圆在沿底边 AB 滚动 切点为 T 圆交 AC BC 于 M N 则对于所有可能的圆的位置而言 MTN 为的度数 A 从 30 到 60 变动 B 从 60 到 90 变动 C 保持 30 不变 D 保持 60 不变 湖北赛区选拔赛试题 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点 C 时 其弧的度数 再证明一般情形 从而作 出判断 用心 爱心 专心2 注 几何定值与最值问题 一般都是置于动态背景下 动与静是相对的 我们可以研究问 题中的变量 考虑当变化的元素运动到特定的位置 使图形变化为特殊图形时 研究的量 取得定值与最值 例 3 如图 已知平行四边形 ABCD AB BC P 为 AB 边上的一动点 abab 直线 DP 交 CB 的延长线于 Q 求 AP BQ 的最小值 永州市竞赛题 思路点拨 设 AP 把 AP BQ 分别用的代数式表示 运用不等式 当且xxabba2 22 仅当时取等号 来求最小值 ba 例 4 如图 已知等边 ABC 内接于圆 在劣弧 AB 上取异于 A B 的点 M 设直线 AC 与 BM 相交于 K 直线 CB 与 AM 相交于点 N 证明 线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关 思路点拨 即要证 AK BN 是一个定值 在图形中 ABC 的边长是一个定值 说明 AK BN 与 AB 有关 从图知 AB 为 ABM 与 ANB 的公共边 作一个大胆的猜想 AK BN AB2 从而 我们的证明目标更加明确 注 只要探求出定值 那么解题目标明确 定值问题就转化为一般的几何证明问题 例 5 已知 XYZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形 Z 90 它的三个顶点分别 在等腰 Rt ABC C 90 的三边上 求 ABC 直角边长的最大可能值 宇振杯 上海市初中数学竞赛题 思路点拨 顶点 Z 在斜边上或直角边 CA 或 CB 上 当顶点 Z 在斜边 AB 上时 取 xy 的中点 通过几何不等关系求出直角边的最大值 当顶点 Z 在 AC 或 CB 上时 设 CX CZ xy 建立 的关系式 运用代数的方法求直角边的最大值 xy 注 数形结合法解几何最值问题 即适当地选取变量 建立几何元素间的函数 方程 不 等式等关系 再运用相应的代数知识方法求解 常见的解题途径是 1 利用一元二方程必定有解的代数模型 运用判别式求几何最值 2 构造二次函数求几何最值 学力训练 用心 爱心 专心3 1 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 点 P 为边 BC 上任意一点 可与 B 点或 C点重合 分 别过 B C D 作射线 AP 的垂线 垂足分别是 B C D 则 BB CC DD 的最大值 为 最小值为 江苏省竞赛题 2 如图 AOB 45 角内有一点 P PO 10 在角的两边上有两点 Q R 均不同于点 O 则 PQR 的周长的最小值为 湖北省黄冈市竞赛题 3 如图 两点 A B 在直线 MN 外的同侧 A 到 MN 的距离 AC 8 B 到 MN 的距离 BD 5 CD 4 P 在直线 MN 上运动 则的最大值等于 PBPA 希望杯 邀请赛试题 4 如图 A 点是半圆上一个三等分点 B 点是弧 AN 的中点 P 点是直径 MN 上一动点 O 的半径为 1 则 AP BP 的最小值为 A 1 B C D 2 2 213 湖北省荆州市中考题 5 如图 圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形 动点 P 从 A 点出发 沿看圆柱的侧面 移动到 BC 的中点 S 的最短距离是 A B C D 2 12 2 412 2 14 2 42 贵阳市中考题 6 如图 已知矩形 ABCD R P 户分别是 DC BC 上的点 E F 分别是 AP RP 的中点 当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时 那么下列结论成立的是 A 线段 EF 的长逐渐增大 B 线段 EF 的长逐渐减小 C 线段 EF 的长不改变 D 线段 EF 的长不能确定 桂林市中考题 7 如图 点 C 是线段 AB 上的任意一点 C 点不与 A B 点重合 分别以 AC BC 为边在直 线 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE AE 与 CD 相交于点 M BD 与 CE 相交于点 N 1 求证 MN AB 2 若 AB 的长为 l0cm 当点 C 在线段 AB 上移动时 是否存在这样的一点 C 使线段 MN 的 用心 爱心 专心4 长度最长 若存在 请确定 C 点的位置并求出 MN 的长 若不存在 请说明理由 2002 年云南省中考题 8 如图 定长的弦 ST 在一个以 AB 为直径的半圆上滑动 M 是 ST 的中点 P 是 S 对 AB 作 垂线的垂足 求证 不管 ST 滑到什么位置 SPM 是一定角 加拿大数学奥林匹克试题 9 已知 ABC 是 O 的内接三角形 BT 为 O 的切线 B 为切点 P 为直线 AB 上一点 过 点 P 作 BC 的平行线交直线 BT 于点 E 交直线 AC 于点 F 1 当点 P 在线段 AB 上时 如图 求证 PA PB PE PF 2 当点 P 为线段 BA 延长线上一点时 第 1 题的结论还成立吗 如果成立 请证明 如 果不成立 请说明理由 10 如图 已知 边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABCDE 其中 AF 2 BF l 在 AB 上的一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 则矩形 PNDM 的面积最大值是 A 8 B 12 C D 14 2 25 用心 爱心 专心5 11 如图 AB 是半圆的直径 线段 CA 上 AB 于点 A 线段 DB 上 AB 于点 B AB 2 AC 1 BD 3 P 是半圆上的一个动点 则封闭图形 ACPDB 的最大面积是 A B C D 22 21 23 23 12 如图 在 ABC 中 BC 5 AC 12 AB 13 在边 AB AC 上分别取点 D E 使线段 DE 将 ABC 分成面积相等的两部分 试求这样线段的最小长度 全国初中数学联赛试题 13 如图 ABCD 是一个边长为 1 的正方形 U V 分别是 AB CD 上的点 AV 与 DU 相交于 点 P BV 与 CU 相交于点 Q 求四边形 PUQV 面积的最大值 弘晟杯 上海市竞赛题 14 利用两个相同的喷水器 修建一个矩形花坛 使花坛全部都能喷到水 已知每个喷水 器的喷水区域是半径为 l0 米的圆 问如何设计 求出两喷水器之间的距离和矩形的长 宽 才能使矩形花坛的面积最大 河南省竞赛题 15 某住宅小区 为美化环境 提高居民生活质量 要建一个八边形居民广场 平面图如图 所示 其中 正方形 MNPQ 与四个相同矩形 图中阴影部分 的面积的和为800 平方米 1 设矩形的边 AB 米 AM 米 用含的代数式表示为 xyxy 2 现计划在正方形区域上建雕塑和花坛 平均每平方米造价为 2100 元 在四个相同的矩 形区域上铺设花岗岩地坪 平均每平方米造价为 105 元 在四个三角形区域上铺设草坪 平均每平方米造价为 40 元 设该工程的总造价为 S 元 求 S 关于工的函数关系式 若该工程的银行贷款为 235000 元 仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务 若能 请列出设计方案 若不能 请说明理由 若该工程在银行贷款的基础上 又增加资金 73000 元