高中数学 电子题库 第2章2.4.2知能演练轻松闯关 苏教版选修1-1

1 苏教版数学选修苏教版数学选修 1 11 1 电子题库电子题库 第第 2 2 章章 2 4 22 4 2 知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关 经过抛物线y2 2x的焦点且平行于直线 3x 2y 5 0 的直线的方程是 1 解析 据题意设所求平行直线方程为 3x 2y c 0 又直线过抛物线y2 2x的焦点 1 2 0 代入求得c 故直线方程为 6x 4y 3 0 3 2 答案 6x 4y 3 0 设抛物线y2 mx的准线与直线x 1 的距离为 3 则抛物线的方程为 2 解析 当m 0 时 准线方程为x 2 m 8 此时抛物线方程为y2 8x m 4 当m0 上有一点M 它的横坐标是 3 它到焦点的距离是 5 则抛物线的 2 方程为 解析 由题意知 3 6a 5 a 抛物线方程为y2 8x 1 3 答案 y2 8x 若抛物线y2 2x上的一点M到坐标原点O的距离为 则M到该抛物线焦点的距离为 3 3 解析 依题意 设点M x y 其中x 0 则有 由此解得x 1 又该抛物线 y2 2x x2 y2 3 x 0 2 的准线方程为x 结合抛物线的定义 点M到该抛物线的焦点的距离等于 1 1 2 1 2 3 2 答案 3 2 直线y x 3 与抛物线y2 4x交于A B两点 过A B两点向抛物线的准线作垂线 垂 4 足分别为P Q 则梯形APQB的面积为 解析 直线y x 3 与抛物线y2 4x交于A B两点 过A B两点向抛物线的准线作垂线 垂足分别为P Q 联立方程组得 消元得x2 10 x 9 0 解得 和 y2 4x y x 3 x 1 y 2 AP 10 BQ 2 PQ 8 梯形APQB的面积为 48 x 9 y 6 答案 48 5 如图 圆形花坛水池中央有一喷泉 水管OP 1 m 水从喷头P喷出后呈抛物线状 先向 上至最高点后落下 若最高点距水面 2 m P距抛物线对称轴 1 m 则为使水不落到池外 水池直径最小为 m 解析 如图 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 则P 1 1 代入抛 物线方程得p 抛物线x2 y 代点 x 2 得x 即水池半径最小为r 1 1 22 m 水池直径最小为 2r 2 2 m 22 答案 2 2 2 已知抛物线的焦点F在x轴上 直线l过点F且垂直于x轴 l与抛物线交于A B两点 6 O为坐标原点 若 OAB的面积等于 4 求此抛物线的标准方程 解 由题意 抛物线方程为y2 2px p 0 焦点F 直线l x p 2 0 p 2 A B两点坐标为 p 2 p p 2 p AB 2 p OAB的面积为 4 2 p 4 p 2 1 2 p 2 2 抛物线的标准方程为y2 4x 2 过抛物线x2 2py p 0 的焦点F作倾斜角为 30 的直线 与抛物线分别交于A B两点 7 点A在y轴左侧 求的值 AF FB 解 直线方程为y x p 2 3 3 3 则x 代入抛物线x2 2py 3 y p 2 得 3y2 5py 0 3p2 4 解得y1 y2 3p 2 p 6 根据抛物线的定义得 AF FB p 6 p 2 3p 2 p 2 1 3 B 级 能力提升 等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2 2px p 0 O是抛物线的顶点 OA OB 则 OAB 8 的面积为 解析 设等腰直角三角形OAB的顶点A x1 y1 B x2 y2 则y 2px1 y 2px2 由 2 12 2 OA OB 则x y x y 2 12 12 22 2 x x 2px1 2px2 0 即 x1 x2 x1 x2 2p 0 2 12 2 x1 0 x2 0 2p 0 x1 x2 即A B关于x轴对称 故直线OA的方程为 y xtan45 即y x 由 解得 或 故 y2 2px y x x 0 y 0 x 2p y 2p AB 4p 等腰三角形OAB的面积为 2p 4p 4p2 1 2 答案 4p2 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 9 焦点在y轴上 焦点在x轴上 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6 抛物线的通径的长为 5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 其中能得出抛物线方程为y2 10 x的条件是 要求填写合适条件的序号 解析 在 两个条件中 应选择 则由题意 可设抛物线方程为y2 2px p 0 对于 由焦半径公式r 1 6 p 10 此时y2 20 x 不符合条件 p 2 对于 2p 5 此时y2 5x 不符合题意 对于 设焦点为 则由题意 满足 1 解得p 5 此时y2 10 x 所以 p 2 0 1 2 1 0 2 p 2 能使抛物线方程为y2 10 x 答案 某河上有座抛物线形拱桥 当水面距顶 5 m时 水面宽为 8 m 一木船宽 4 m高 2 m 10 载货后木船露在水面上的部分高为 m 问水面上涨到与拱顶相距多少时 木船开始不能通 3 4 航 解 如图所示建立直角坐标系xOy 设抛物线方程为x2 2py p 0 过点 4 5 16 2p 5 2p 16 5 4 抛物线方程为x2 y x 2 时 y 16 5 5 4 相距为 2 时不能通行 3 4 5 4 创新题 已知抛物线y2 2px的焦点为F 过F的直线交抛物线于A B两点 若A B 11 在抛物线准线l上的投影分别为A B 求 A FB 的大小 解 由定义知