高考数学 解析几何在高中数学中的应用及解题方法 北师大版

用心 爱心 专心1 高考专题 解析几何常规题型及方法高考专题 解析几何常规题型及方法 一 高考风向分析 一 高考风向分析 高考解析几何试题一般共有 3 4 题 1 2 个选择题 0 1 个填空题 1 个解答题 共计 20 多分 考查的知识点约为 20 个左右 其命题一般紧扣课本 突出重点 全面考查 选择题和填空题考查直线 圆 圆锥曲线中的基础知识 大多 概念性较强 小巧灵活 思维多于计算 而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用 重在考察直线与圆 锥曲线的位置关系 轨迹方程 以向量为载体 立意新颖 要求学生综合运用所学代数 三角 几何的知识分析问题 解决问题 二 本章节处理方法建议 二 本章节处理方法建议 纵观文 理高考试卷 普遍有一个规律 占解几分值接近一半的填空 选择题难度不大 中等及偏上的学生能将对 分数收入囊中 而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想 其原因主要体现在以下几个方面 1 解析几 何是代数与几何的完美结合 解析几何的问题可以涉及函数 方程 不等式 三角 几何 数列 向量等知识 形成了轨迹 最值 对称 范围 参系数等多种问题 因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一 2 解 析几何的计算量相对偏大 3 在大家的 拿可拿之分 的理念下 大题的前三道成了兵家必争之地 而排放位 置比较尴尬的第 21 题或 22 题 有时 20 题 就成了很多人遗忘的角落 加之时间的限制 此题留白的现象比较 普遍 鉴于解几的特点 建议在复习中做好以下几个方面 1 由于高考中解几内容弹性很大 有容易 题 有中难题 因此在复习中基调为狠抓基础 不能因为高考中的解几解答题较难 就拼命地去搞难题 套新 题 这样往往得不偿失 端正心态 不指望将所有的题攻下 将时间用在巩固基础 对付 跳一跳便可够得到 的常规题上 这样复习 高考时就能保证首先将选择 填空题拿下 然后对于大题的第一个小问争取得分 第 二小题能拿几分算几分 三 高考核心考点三 高考核心考点 1 准确理解基本概念 如直线的倾斜角 斜率 距离 截距等 2 熟练掌握基本公式 如两点间距离公式 点到直线的距离公式 斜率公式 定比分点的坐标公式 到角公式 夹 角公式等 3 熟练掌握求直线方程的方法 如根据条件灵活选用各种形式 讨论斜率存在和不存在的各种情况 截距是否为 0 等等 4 在解决直线与圆的位置关系问题中 要善于运用圆的几何性质以减少运算 5 了解线性规划的意义及简单应用 6 熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法 如 定义法 直接法 相关点法 参数法 交轨法 几何法 待定 系数法等 8 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法 能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四 常规题型及解题的技巧方法四 常规题型及解题的技巧方法 A 常规题型方面常规题型方面 1 中点弦问题 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题 常用设而不求法 点差法 设曲线上两点为 代入方程 然后两方程相减 再 应用中点关系及斜率公式 消去四个参数 典型例题典型例题 给定双曲线 过 A 2 1 的直线与双曲线交于两点 及 求线段的中点 P 的轨迹方程 分析 设 代入方程得 两式相减得 又设中点 P x y 将 代入 当时得 用心 爱心 专心2 又 代入得 当弦斜率不存在时 其中点 P 2 0 的坐标也满足上述方程 因此所求轨迹方程是 说明 本题要注意思维的严密性 必须单独考虑斜率不存在时的情况 变式练习 变式练习 给定双曲线 2x2 y2 2 过点 B 1 1 能否作直线 L 使 L 与所给双曲线交于两点 Q1 Q2 两点 且点 B 是线段 Q1Q2 的中点 如果直线 L 存在 求出它的方程 如果不存在 说明理由 2 焦点三角形问题 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P 与两个焦点 构成的三角形问题 常用正 余弦定理搭桥 典型例题典型例题 设 P x y 为椭圆上任一点 为焦点 1 求证离心率 sinsin sin e 2 求的最值 分析 1 设 由正弦定理得 得 sinsin sin a c e 2 当时 最小值是 当ax 时 最大值是 变式练习 变式练习 设 分别是双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 的左 右两个焦点 P 是双曲线上的一点 若 P 求证 S b 2 cot 2 3 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 进而转化为一元二次方程后利用判别式 应特别注意数形结 合的办法 典型例题典型例题 1 求证 直线与抛物线总有两个不同交点 2 设直线与抛物线的交点为 A B 且 OA OB 求 p 关于 t 的函数 f t 的表达式 1 证明 抛物线的准线为 由直线 x y t 与 x 轴的交点 t 0 在准线右边 得 故直线与抛物线总有两个交点 2 解 设点 A x1 y1 点 B x2 y2 用心 爱心 专心3 变式练习 变式练习 直线 y ax 1 与双曲线 3x2 y2 1 交于两点 A B 两点 1 若 A B 都位于双曲线的左支上 求 a 的取值范围 2 当 a 为何值时 以 AB 为直径的圆经过坐标原点 4 圆锥曲线的有关最值 范围 问题圆锥曲线的有关最值 范围 问题 圆锥曲线中的有关最值 范围 问题 常用代数法和几何法解决 若命题的条件和结论具有明显的几何意义 一般可用图形性质来解决 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式 则可建立目标函数 通常利用二次函数 三角函数 均值不等 式 求最值 典型例题典型例题 已知抛物线 y2 2px p 0 过 M a 0 且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A B AB 2p 1 求 a 的取值范围 2 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N 求 NAB 面积的最大值 分析 这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题 对于 1 可以设法得到关于 a 的不等式 通过解不等式求出 a 的范围 即 求范围 找不等式求范围 找不等式 或者将 a 表示为另一个变量的函数 利用求函数的值域求出 a 的范围 对于 2 首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数 然后再求它的最大值 即 最值问题 函数思想最值问题 函数思想 解 1 直线 L 的方程为 y x a 将 y x a 代入抛物线方程 y2 2px 得 设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A x1 y1 B x2 y2 则 2 21 21 2 2 04 4 axx paxx apa 又 y1 x1 a y2 x2 a 2 2 80 0 2 8 2 0 2 8 4 2 21 2 21 2 21 2 21 pappapppAB appxxxxyyxxAB 解得 42 p a p 2 设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q 令其坐标为 x3 y3 则由中点坐标公式得 pa xx x 2 21 3 2 2 2121 3 p axaxyy y 所以 QM 2 a p a 2 p 0 2 2p2 又 MNQ 为等腰直角三角形 所以 QM QN P2 所以 S NAB 2 22 2 2 2 2 2 1 pppABpQNAB 即 NAB 面积的最大值为P2 2 变式练习 变式练习 用心 爱心 专心4 双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 的两条准线间的距离为 3 右焦点到直线 x y 1 0 的距离为 2 2 1 求双曲线的方程 2 设直线 y kx m k0 且 m0 与双曲线交于两个不同的点 C D 若 A 0 1 且AC AD 求实数 m 的取值范 围 5 求曲线的方程问题 求曲线的方程问题 1 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决 典型例题典型例题 已知直线 L 过原点 抛物线 C 的顶点在原点 焦点在 x 轴正半轴上 若点 A 1 0 和点 B 0 8 关于 L 的对 称点都在 C 上 求直线 L 和抛物线 C 的方程 分析 曲线的形状已知 可以用待定系数法 设出它们的方程 L y kx k 0 C y2 2px p 0 设 A B 关于 L 的对称点分别为 A B 则利用对称性可求得它们的坐标分别为 A 1 2 1 1 22 2 k k k k B 1 1 8 1 16 2 2 2 k k k k 因为 A B 均在抛物线上 代入 消去 p 得 k2 k 1 0 解得 k 2 51 p 5 52 所以直线 L 的方程为 y 2 51 x 抛物线 C 的方程为 y2 5 54 x 变式练习 变式练习 在面积为 1 的 PMN 中 tanM 2 1 tanN 2 建立适当的坐标系 求出以 M N 为焦点且过点 P 的椭圆方程 2 曲线的形状未知 求轨迹方程 典型例题典型例题 已知直角坐标平面上点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 0 求动点 M 的轨迹方程 并说明它是什么曲线 分析 如图 设 MN 切圆 C 于点 N 则动点 M 组成的集合是 P M MN MQ 由平面几何知识可知 MN 2 MO 2 ON 2 MO 2 1 将 M 点 坐标代入 可得 2 1 x2 y2 4 2x 1 4 2 0 当 1 时它表示一条直线 当 1 时 它表示圆 这种方法叫做直接法 变式练习 变式练习 过抛物线y 2 4x 的焦点 F 作斜率为 k 的弦 AB 且AB 8 此外 直线 AB 和椭圆 3x 2 2y 2 2 交于不同的两点 M N QO 用心 爱心 专心5 1 求直线 AB 的斜率 k 的取值范围 2 设直线 AB 与椭圆相交于 C D 两点 求 CD 中点 M 的轨迹方程 6 存在两点关于直线对称问题存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题 可以按如下方式分三步解决 求两点所在的直线 求这两直线的交点 使这 交点在圆锥曲线形内 当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决 典型例题典型例题 已知椭圆 C 的方程 试确定 m 的取值范围 使得对于直线 椭圆 C 上有不同两点关于直线对称 分析 椭圆上两点 代入方程 相减得 又 代入得 又由解得交点 交点在椭圆内 则有 得 变式练习 变式练习 为了使抛物线上存在两点关于直线对称 求 m 的取值范围 7 两线段垂直问题 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题 常用来处理或用向量的坐标运算来处理 典型例题典型例题 已知直线的斜率为 且过点 抛物线 直线与抛物线 C 有两个不同的交点 如图 1 求的取值范围 2 直线的倾 斜角为何值时 A B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直 分析 1 直线代入抛物线方程得 由 得 2 由上面方程得 焦点为 由 得 2 2 arctan 或 2 2 arctan 变式练习 变式练习 经过坐标原点的直线与椭圆相交于 A B 两点 若以 AB 为直径的 圆恰好通过椭圆左焦点 F 求直线的倾斜角 B 解题的技巧方面解题的技巧方面 在教学中 学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大 事实上 如果我们能够充分利用几何图形 韦达定理 曲 线系方程 以及运用 设而不求 的策略 往往能够减少计算量 下面举例说明 1 充分利用几何图形 充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质 所以在处理解析几何问题时 除了运用代数方程外 充分挖掘几何 条件 并结合平面几何知识 这往往能减少计算量 典型例题典型例题 设直线与圆相交于 P Q 两点 O 为坐标原点 若 求的值 解 圆过原点 并且 是圆的直径 圆心的坐标为 又在直线上 即为所求 评注 此题若不充分利用一系列几何条件 该圆过原点并且 PQ 是圆的直径 圆心在直线上 而是设再由和韦 达定理求 将会增大运算量 变式练习 变式练习 y B A P 2 0 O x 用心 爱心 专心6 已知点 P 5 0 和圆 O 过 P 作直线与圆 O 交于 A B 两点 求弦 AB 中点 M 的轨迹方程 评注 此题若不能挖掘利用几何条件 点 M 是在以 OP 为直径的圆周上 而利用参数方程等方法 计算量将很大 并且比较麻烦 二二 充分利用韦达定理及充分利用韦达定理及 设而不求设而不求 的策略的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它 而是结合韦达定理求解 这种方法在有关斜率 中点等问题中常常用到 典型例题典型例题 已知中心在原点 O 焦点在轴上的椭圆与直线相交于 P Q 两点 且 求此椭圆方程 解 设椭圆方程为 直线与椭圆相交于 P 两点 由方程组消去后得 由 得 1 又 P Q 在直线上 把 1 代入 得 即 化简后 得 4 由 得 把 2 代入 得 解得或 代入 4 后 解得或 由 得 所求椭圆方程为 评注 此题充分利用了韦达定理及 设而不求 的策略 简化了计算 变式练习 变式练习 若双曲线方程为 AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦 M 为 AB 中点 设 AB OM 的斜率分别为 则 三三 充分利用曲线系方程充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点 因此也可以减少计算 典型例题典型例题 求经过两已知圆和 0 的交点 且圆心在直线 上的圆的方程 解 设所求圆的方程为 即 其圆心为 C 又 C 在直线上 解得 代入所设圆的方程得为所求 评注 此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点 故简化了计算 变式练习 变式练习 某直线 l 过直线 L1 x y 12 0 和 L2 7x y 28 0 的交点 且倾斜角为直线 L1的倾斜角的一半 求此直线 l 的方 程 四 充分利用椭圆的参数方程四 充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正 余弦 利用正 余弦的有界性 可以解决相关的求最值的问题 这也是我们常说的三角 代换法 典型例题典型例题 P 为椭圆 22 22 1 xy ab 上一动点 A 为长轴的右端点 B 为短轴的上端点 求四边形 OAPB 面积的最大值 及此时点 P 的坐标 变式练习 变式练习 用心 爱心 专心7 已知 P x y 是椭圆 x2 4y2 1 上任一点 试求 P 到直线 x y 2 0 的最小值及此时 P 的坐标 五 线段长的几种简便计算方法五 线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果 减少运算过程 一般地 求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是 把直线方程代入圆锥曲线方程中 得到型如的方程 方程 的两根设为 判别式为 则 1 2 a k 若直接用结论 能减少配方 开方等运算过程 例 求直线被椭圆所截得的线段 AB 的长 结合图形的特殊位置关系 减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时 由于圆锥曲线的定义都涉及焦点 结合图形运用圆锥曲线的定义 可回避复杂运算 例 是椭圆的两个焦点 AB 是经过的弦 若 求值 22 BFAF 利用圆锥曲线的定义 把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A 3 2 为定点 点 F 是抛物线的焦点 点 P 在抛物线上移动 若取得最小值 求点 P 的坐标 五 高考试题选编五 高考试题选编 1 过抛物线的焦点 F 作弦轴于 A B 两点 则弦长等于 A 6 B 18 C D 36 2 若直线与焦点在 x 轴上的椭圆总有公共点 则实数 m 的取值范围是 A 0 5 B 1 5 C D 3 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是 A B C D 4 过点 A 引抛物线的一条弦 使该弦被 A 点平分 则该弦所在直线方程为 A B C D 5 设且 则的最大值与最小值分别是 A B C 4 3 D 8 6 6 P 是抛物线上的点 F 是抛物线的焦点 则点 P 到 F 与 P 到 A 的距离之和的最小值是 A 3 B C 4 D 7 已知圆截得被当直线及直线ClyxlaxaxC 0 3 0 4 2 22 的弦长为 32 时 则 a A 2 B 22 C 12 D 12 8 03 全国 已知双曲线中心在原点且一个焦点与其相交于直线1 0 7 xyFM N 两点 MN 中点的横坐标 为 3 2 则此双曲线的方程是 A 1 43 22 yx B 1 34 22 yx 用心 爱心 专心8 C 1 25 22 yx D 1 52 22 yx 9 03 江苏 已知长方形四个顶点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 和 D 0 1 一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1后 依次反