高三数学理推理证明、数学归纳法、平面几何证明人教实验版知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学理推理证明 数学归纳法 平面几何证明人教实验版高三数学理推理证明 数学归纳法 平面几何证明人教实验版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 推理证明 数学归纳法 平面几何证明 二 重点 难点 1 合情推理 1 归纳推理 个别到一般 2 类比推理 由特殊到特殊 2 演绎推理 三段论 由一般到个别 3 直接证明 综合法 分析法 4 间接证明 反证法 5 平面几何证明 1 相似三角形 2 直线与圆 3 圆锥曲线性质 6 数学归纳法 1 使用范围 与正整数n有关的命题的证明 2 使用步骤 对n的初始值 通常为1 n 对应命题进行证明 假设 kn 成立 再证明1 kn时成立 证明1 kn时 必用kn 成立的结论 3 对1 kn证明时 代入kn 的结论 还应充分利用其它证明方法 如 分 析法 综合法 比较法 反证法 数形结合等 4 证明题目 恒等式 不等式 几何计数 整除 数列通项 前n项和等 典型例题典型例题 例 1 Nn 求证 nnnnn2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 证明 证明 1 1 n 左 2 1 2 1 1右 成立 2 假设kn 时成立 即 kkkk2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 当1 kn时 左 22 1 12 1 2 1 12 1 2 1 1 kkkk 22 1 12 1 2 1 1 1 kkkk 22 1 1 1 12 1 2 1 3 1 2 1 kkkkkk 22 1 3 1 2 1 kkk 右 即1 kn时 成立 用心 爱心 专心 综上所述 由 1 2 对一切 Nn 命题成立 例 2 Nn 求证 2222 12 2 2 12 3221 nnnn 34 1 nnn 证明 证明 1 1 n 左 7214184右 2 假设kn 时成立 即 2222 12 2 2 12 3221 kkkk 34 1 kkk 当1 kn时 左 2222 12 2 2 12 3 22 1 kkkk 22 32 22 22 12 kkkk 32 22 12 22 34 1 2 kkkkkkk 76 1 2 34 1 kkkkk 141234 1 2 kkkk 74 2 1 kkk 3 1 4 1 1 1 kkk右 即 1 kn时成立 综上所述由 1 2 命题对一切 Nn 成立 另解 另解 令 n a中 22 1 3221 a 22 12 2 2 12 nnnnan 212 16 2 2 nnnnan nn aaaS 21 21 2 21 12 222 nn 1 12 1 2 nnnnn 用心 爱心 专心 34 1 nnn 例 3 对于 Nn 2 n 求证 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 222 证明 证明 1 2 n 左 2 1 2 2 3 4 5 4 1 1右 2 假设kn 时成立 即 kk 1 2 1 3 1 2 1 1 222 当1 kn时 左 2222 1 11 3 1 2 1 1 kk 2 1 11 2 kk 1 1 1 2 1 11 2 kk k kkk 1 1 2 k 右 即1 kn时成立 综上所述由 1 2 对一切 Nn 2 n命题成立 例 4 在平面几何里 有勾股定理 ABC 的两边 AB AC 互相垂直 则 222 BCACAB 拓展到空间 类比平面几何定理 研究三棱锥的侧面面积与底面面 积的关系 可以得出的正确结论是 设三棱锥 A BCD 的三个侧面 ABC ACD ADB 两两相互垂直 则 解 解 设 AB a AC b AD c 三个侧面 ABC ACD ADB 两两垂直 AB AC AD 两两垂直 222222222 4 1 4 1 4 1 cbcabaSSS ADBACDABC 作 BE DC 于 E 连结 AE 则 CD AE 在CADRt 中 22 cb bc AE 在BAERt 中 22 222222 22 22 2 cb cbcaba cb cb aBE 用心 爱心 专心 22 222222 22 2 1 2 1 cb cbcaba cbBEDCS BCD 2222222 4 1 cacbbaS BCD 2222 ADBACDABCBCD SSSS 例 5 求证函数 12 12 x x y是奇函数 且在定义域上是增函数 解析 解析 12 2 1 12 212 xx x y 所以 xf定义域为Rx 12 2 1 12 2 1 xx xfxf 12 2 12 2 2 xx 022 12 122 2 12 22 12 2 2 x x x x x 即 xfxf 所以 xf是奇函数 任取Rxx 21 且 21 xx 则 12 2 1 12 2 1 21 21 xx xfxf 1212 22 2 12 1 12 1 2 12 21 12 xx xx xx 由于 21 xx 从而022 22 2121 xxxx 所以 21 xfxf 故 xf为增函数 例 6 观察 4 3 40cos10sin40cos10sin 22 6sin36cos6sin 22 4 3 36cos 由上面两题的结构规律 你能否提出一个猜想 并证明你的猜想 解析 解析 观察 40 10 30 36 30 6 由此猜想 4 3 30cossin30cossin 22 证明 证明 30cossin30cossin 22 用心 爱心 专心 4 3 230sin 2 1 230sin 2 1 4 3 2 1 230sin 2 1 30sin230sin2 2 1 1 2 1 230sin 2 1 2cos260cos 2 1 1 30sin230sin 2 1 2 260cos1 2 2cos1 例 7 先解答 1 再通过类比解答 2 1 已知0 0 ba 求证 ba a b b a 2 已知Rxi ni 2 1 求证 nn n x x x x x x x x 1 12 3 1 2 n xxx 21 分析 分析 本题 1 与 2 从二元结构形式 类比到n元结构形式 属结构形式上的形 式类比 由 1 的证法 可类比得到 2 的证法 证明 证明 1 由不等式 0 02 yxxyyx及ba 都是正数可得 b aa b a a b 22 ab b a b b a 22 bab b a a a b 2 即ba b a a b 2 n xxx 21 都大于 0 32 2 3 21 1 2 2 2xx x x xx x x 1 1 2 xx x x n n 用心 爱心 专心 把上面 n 个式子相加得 n n x x x x x x x x x 1 2 2 3 1 1 2 n xxx 21 2 即 n n xxx x x x x x x 21 1 2 3 1 2 例 8 已知cba 都是实数 求证 cabcabcbacba 2 222 3 1 证明 证明 以 Rbaabba 2 22 为依据 利用综合法证明 Rba abba2 22 Rcb bccb2 22 Rac caac2 22 将以上三个不等式相加得 cabcabcba 22 222 即cabcabcba 222 在不等式 的两边同时加上 222 cba 得 2 222 3cbacba 即 2 222 3 1 cbacba 在不等式 的两边同时加上 cabcab 2 得 cabcabcba 3 2 即 cabcabcba 2 3 1 由 得 cabcabcbacba 2 222 3 1 例 9 已知 P 是 ABC 所在平面外一点 已知 PA PB PC 两两垂直 PH 平面 ABC 于 H 求证 2222 1111 PHPCPBPA 证明 证明 连 CH 延长交 AB 于 D PC PA PC PB PC 平面 PAB PC AB 又 PH 平面 ABC PH AB AB 平面 PCH PD AB 又 PA PB 由三角形面积公式有ABPDPBPA 22 2 2 1 PBPA AB PD 又 222 PBPAAB 用心 爱心 专心 222 111 PBPAPD 同理 222 111 PDPCPH 2222 1111 PHPCPBPA 例 10 设bacba 2 0 0 求证 abccaabcc 22 证明 证明 要证abccaabcc 22 成立 只要证abccaabc 22 即证abcca 2 也就是证 abcca 2 2 只要证abaca 2 2 即证acaba2 2 0 a 也就是证cba2 显然成立 故不等式abccaabcc 22 成立 例 11 实数dcba 满足1 dcba 1 bdac 求证 dcba 中至少有一个 是负数 解答 证法解答 证法 1 假设dcba 都是非负数 由1 dcba 知 1 0 dcba 从而 2 2 db bdbd ca acac 2 dbca bdac 1 与已知1 bdac矛盾 dcba 中至少有一个是负数 证法证法 2 假设dcba 都是非负数 则 bdacbcadbdacdcba 1 这与已知1 bdac矛盾 dcba 中至少有一个是负数 例 12 已知0 cba 求证 0 cabcab 证明 方法证明 方法 1 综合法 0 cba 0 2 cba 用心 爱心 专心 展开得 2 222 cba cabcab 0 cabcab 方法方法 2 分析法 要证0 cabcab 0 cba 故只需证 2 cbacabcab 即证0 222 cabcabcba 亦即证 0 2 1 222 accbba 而这是显然的 由于以上相应各步均可逆 原不等式成立 方法方法 3 0 cba bac cababcabcab abbabaab 22 2 0 4 3 2 2 bb a 0 cabcab 例 13 已知 cba 是不全相等的正数 求证 2 lg 2 lg 2 lglglglg cacbba cba 证明 证明 baab ba lglg 2 1 lg 2 lg ba ba lglg 2 1 2 lg 同理 ac ac cb cb lglg 2 1 2 lg lglg 2 1 2 lg 三式相加得cba accbba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg 又 cba 不全相等 故等号不成立 即 2 lg 2 lg 2 lglglglg accbba cba 例 14 已知 AB 是 O 的直径 DA AB 于 A DA BC 且 COD 90 求证 DC 是 O 的切线 解析 解析 DA AB DA BC BC AB COD 90 BCO AOD BCO AOD 用心 爱心 专心 OD OB OD OA OC BC OCDRtBCORt OCB OCD OC 是 BCD 的平分线 O 到 CD 距离等于 OB CD 是 O 切线 例 15 如图 在ABC 中 BAC 90 BC 边的垂直平分线 EM 和 AB AC 或延长 线 分别交于 D E 求证 EMDMAM 2 分析 分析 将EMDMAM 2 化为 AM EM DM AM 问题转化为证明 AMD EMA 解析 解析 BAC 90 M 是 BC 的中点 AM CM MAC C EM BC E C 90 又 BAM MAC 90 E BAM EMA AMD AMD EMA AM EM DM AM EMDMAM 2 例 16 如图 四边形 ABCD 中 AC BD 交于 O 过 O 作 AB 的平行线 与 AD BC 分 别交于 E F 与 CD 的延长线交于 K 求证 KO2 KE KF 分析 分析 待证式KFKEKO 2 变形为比例式 KO KF KE KO 须利用平行关系找比例关系 而已知条件中 KF AB 产生了一系列的相似三角形 设 CD 与 AB 交于 H 则 CKO CHA COF GAB CKF CHB DKE DHA 只须从中找到能联系 KE KO 和 KO KF 的中间比 HA HB 即可 证明 证明 设直线 CD 与 BA 交点为 H EO HB DH DK HA KE DH DK HB KO HA KE HB KO 即 HA HB KE KO 同理可由 KF HB 得 HA HB KO KF KO KF KE KO 即KFKEKO 2 例 17 在 ABC 中 CD AB 于 D DE AC 于 E DF BC 于 F 求证 CEF CBA 用心 爱心 专心 分析 分析 要证 CEF CBA 已知 ECF BCA 须再找一组对应角相等或夹该角的 两边对应成比例 而所给条件全是垂直关系 这样在 Rt ADC 和 Rt BDC 中均可应用射 影定理 寻求 CF CE 与 CA CB 的关系 证明 证明 ADC 是直角三角形 DE AC CACECD 2 同理可得CBCFCD 2 CBCFCACE 即 CA CF CB CE 又 BCA ECF CEF CBA 例 18 等腰 ABC 中 AB AC 底边上高 AD 10 腰 AC 上高 BE 12 1 求证 3 5 BD AB 2 求 ABC 的周长 解答 解答 1 证明 证明 ADC BEC 6 5 12 10 BE AD BC AC AD BC BC 2BD 3 52 BC AC BD AC BD AB 2 设 BD x 则xAB 3 5 在ABDRt 中 100 3 5 2 2 xx 5 7 x BC 2x 15 AB AC 12 5 周长为 40 例 19 在 ABC 中 D F 分别在 AC BC 上 且 AB AC AF BC BD DC FC 1 则 AC 解析 解析 在 ABC 中 设 AC x AB AC AF BC 又 FC 1 根据射影定理得 BCFCAC 2 2 xBC 再由射影定理得 FCFCBCFCBFAF 2 用心 爱心 专心 即1 22 xAF 1 2 xAF 在 BDC 中 过 D 作 DE BC 于 E BD DC 1 BE EC 又 AF BC DE AF AC DC AF DE x x AC AFDC DE 1 2 在DECRt 中 222 DCECDE 即 2 2 2 2 2 1 2 1 x x x 1 4 1 4 2 2 x x x AC DC AF DE x x AC AFDC DE 1 2 整理得4 6 x 3 2 x 3 2 AC 例 20 ABC 中 D 在 BC 上 E 在 AD 上 BE 的延长线交 AC 于 F 1 若 BD DC AE ED 则 AF FC 的值为 2 若 BD DC ba AE ED dc 则 AF FC 的值为 答案 答案 1 1 2 2 bad ac 解析 解析 1 过 D 作 DG BF 交 AC 于 G BD DC AE ED AF FG GC AF FC 1 2 2 同理过 D 作 DG BF 交 AC 于点 G 则 b a DC BD CG FG d c ED AE FG AF 用心 爱心 专心 FG d c AFFG a b CE bad ac FG a b FG d c GCFG FG d c FC AF 1 模拟试题模拟试题 1 已知ba 是非零实数 且ba 则下列不等式中成立的是 A 1 a b B 22 ba C baba D baab 22 11 2 已知数列 n a的前 n 项和 2 2 nanS nn 而1 1 a 通过计算 432 aaa 猜 想 n a等于 A 2 1 2 n B 1 2 nn C 12 2 n D 12 2 n 3 用数学归纳法证明 当 n 为正奇数时 nn yx 能被 x y 整除 时 第二步归纳假设 应写成 A 假设 Zkkn 12正确 再推32 kn时正确 B 假设 Zkkn 12正确 再推12 kn时正确 C 假设 Nkkn 时正确 再推1 kn正确 D 假设 1 kkn时正确 再推2 kn正确 4 在等差数列 n a中 若0 n a 公差0 d 则有 7364 aaaa 类比上述性质 在等比数列 n b中 若0 n b 公比1 q 则 8754 bbbb的一个不等式关系是 A 7584 bbbb B 7584 bbbb C 8574 bbbb D 8574 bbbb 5 有一次测验 老师出了十道判断题 每题 10 分 要求学生认为题是对的要 错 的打 下表中列出了甲 乙 丙 丁四个同学的答案和老师对甲 乙 丙三个学生的 评分 根据此表来证定学生丁的得分是 题号12345678910得分 甲 80 用心 爱心 专心 乙 20 丙 70 丁 A 40 分 B 50 分 C 60 分 D 70 分 6 现有一个关于平面图形的命题 如图 同一个平面内有两个边长都是a的正方形 其 中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 4 2 a 类比到空间 有两个棱长均为a的正方体 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这 两个正方体重叠部分的体积恒为 7 函数 1 013log aaxy a 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 01 nymx上 其中0 mn 则 nm 21 的最小值为 8 如图 已知在 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D AC 6 DB 5 则 AD 的长 为 9 已知 O 是 ABC 的外接圆 I 是 ABC 的内切圆 A 80 那么 BOC BIC 10 如图 已知在正方形 ABCD 中 P 是 BC 上的点 且 BP 3PC Q 是 CD 的中点 则 ADQ 11 在梯形 ABCD 中 AB DC AB CD K M 分别在 AD BC 上 DAM CBK 则 DMA 12 如图 已知 AB 是 O 的直径 O 过 AC 的中点 D DE 切 O 于点 D 交 BC 于 点 E 且 DE BC 如果 CD 4 CE 3 则 O 的半径为 用心 爱心 专心 13 一圆柱被一平面所截 截口是一个椭圆 已知椭圆的长轴长为 5 短轴长为 4 被截 后几何体的最短侧面母线长为 1 则该几何体的体积为 14 如图 已知梯形 ABCD 中 AB CD 过 D 与 BC 平行的直线交 AB 于点 E ACE ABC 求证 AB CE AC DE 15 如图 已知 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点 CH AB 于点 H 直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D E 为 CH 中点 连结 AE 交延长并 BD 于点 F 直线 CF 交直线 AB 于点 G 1 求证 点 F 是 BD 中点 2 求证 CG 是 O 的切线 3 若 FB FE 2 求 O 的半径 16 已知数列 n a的前 n 项和 2 2 nanS nn 而1 1 a 通过计算 432 aaa 猜 想 n a A 2 1 2 n B 1 2 nn C 12 2 n D 12 2 n 17 函数 xf在 1 1 上满足 xfxf 且是减函数 是锐角三角形的两个内 角 且 则下列不等式中正确的是 A sincosff B sinsinff C coscosff D sinsinff 18 勾股定理 在直角边长为ba 斜边长为c的直角三角形中 有 222 cba 类比 用心 爱心 专心 勾股定理 可得长 宽 高分别为rqp 对角线长为d的长方体中 有 A drqp B 2222 drqp C 3333 drqp D 2222 dqrprpqrqp 19 在平面几何中 若四边形 ABCD 有对角线 AB CD 则有 222 ADBDAC 2 BC 扩展到空间 在四棱锥 S ABCD 中 若面 SAC 面 SBD 则有 A 2222 SADSBCSCDSAB SSSS B SADSBCSCDSAB SSSS C 3333 SADSBCSCDSAB SSSS D SADSBCSCDSAB SSSS 20 已知 Rcbaxxxf 3 且0 0 0 cbcaba 则 bfaf cf 的值一定 A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 正负都可能 21 用反证法证明命题 如果ba 那么 33 ba 时 假设的内容应是 A 33 ba B 33 ba C 33 ba 且 33 ba D 33 ba 或 33 ba 22 在古希腊 毕达哥拉斯学派把 1 3 6 10 15 21 28 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形 如图 试问三角形数的一般表达式为 A n B 1 2 1 nn C 1 2 n D 1 2 1 nn 23 用数学归纳法证明 等式 1 2 3 n 3 2 43 Nn nn 时 验证 n 1 时 左边应取的项是 用心 爱心 专心 A 1 B 1 2 C 1 2 3 D 1 2 3 4 24 已知 yfxfyxf 且 21 f 则 nfff 21不能等于 A 1121nfff B 2 1nn f C 1 nn D 11 fnn 25 用数学归纳法证明 1 2 3 2 24 2 nn n 则当1 kn时左端应在kn 的基 础上加上 A 1 2 k B 2 1 k C 2 11 24 kk D 2 222 1321 kkkk 26 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则平行于平面内的所有直线 已知 直线 b平面 直线a 平面 直线 b 平面 则直线 b 直线a 的结论显然是错 误的 这是因为 A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 非以上错误 27 对 cba 是不全相等的正数 给出下列判断 0 222 accbba ba 与ba 及ba 中至少有一个成立 cacbca 不能同时成立 其中判断正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 28 在同圆或等圆中 如 AB CD 则 AB 和 CD 的关系是 A CDAB B AB CD C CDAB D AB 2CD 29 已知D C是以AB为直径的半圆弧上的两点 若 BC所对的圆周角为25 AD所对 的圆周角为35 则 DC所对的圆周角为 用心 爱心 专心 A 30 B 40 C 30 或80 D 80 30 圆内两条相交弦 其中一弦长为8cm 且被交点平分 另一条弦被交点分成1 4两部 分 则这条弦长是 A 2cm B 8cm C 10cm D 12cm 31 如图所示 在 ABC中 C 90 AB 10 AC 6 以AC为直径的圆与斜边交于 点P 则BP的长为 A 6 4 B 3 2 C 3 6 D 8 32 如图所示 已知A B C D E均在 O上 且AC为 O的直径 则 A B C 33 反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾 这个矛盾可以是 与已知矛盾 与假设矛盾 与定义 定理 公理 法则矛盾 与事实矛盾 A B C D 34 用反证法证明命题 若整系数一元二次方程 00 2 acbxax有有理根 那么 cba 中至少有一个是偶数时 下列假设正确的是 A 假设cba 都是偶数B 假设cba 都不是偶数 C 假设cba 至多有一个是偶数D 假设cba 至多有两个是偶数 35 M不是N的子集 的充分必要条件是 A 若Mx 则 xN B 若Nx 则Mx C 存在NxMx 11 又存在NxMx 22 D 存在NxMx 00 36 实数cba 不全为零是指 A cba 均不为零B cba 中至多有一个为零 C cba 中至少有一个为零D cba 中至少有一个不为零 用心 爱心 专心 37 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 假设正确的是 A 假设三内角都不大于60 B 假设三内角都大于60 C 假设三内角中至多有一个大于60 D 假设三内角至多有两个大于60 38 等式 475 2 1 21 2222 nnn 则 A n为任何正整数时都成立B 仅当n 1 2 3时成立 C 当n 4时成立 n 5时不成立D 仅当n 4时不成立 39 一个关于自然数n的命题 如果验证1 n时命题成立 并在假设 1 kkn时命 题成立的基础上 证明了2 kn时命题成立 那么综合上述 命题对于 A 一切自然数命题成立B 一切正奇数命题成立 C 一切正偶数命题成立D 以上都不对 40 平面内原有k条直线 它们的交点个数记为 kf 则增加一条直线后 它们的交点 个数最多为 A 1 kf B kkf C 1 kkf D kfk 41 如果数列 n a的前n项和为3 2 3 nn aS 那么数列的通项公式是 A 12 2 nnan B n n a23 C 13 nan D n n a32 42 设Rba 那么1 22 ba是baab 1成立的 A 充要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件D 既不充分也不必要条件 43 设函数 n a是公比为 1 aa 首项为b的等比数列 n S是前n项和 对任意的 Nn 点 1 nn SS在 A 直线baxy 上 B 直线abxy 上 C 直线abxy 上 D 直线baxy 上 44 已知数列 n a满足 2 11 naaa nnn baaa 21 设 nn aaaS 21 则下列结论正确的是 A abSaa 2 100100 B abSba 2 100100 C abSba 100100 D abSaa 100100 45 1 3 1 2 1 1Nn n nf 计算得 2 3 2 f 2 5 8 24 ff 用心 爱心 专心 316 f 2 7 32 f 推测当2 n时 有 46 用数学归纳法证明 11 1 43 1 32 1 21 1 Nn n n nn 时 从 kn 至1 kn 时 等式左边需增添的项是 47 若三角形内切圆半径为r 三边长分别为cba 则三角形的面积 cbarS 2 1 类比上述结论 若四面体内切球的半径为R 四个面的面积为S1 S2 S 3 S4 则四面体的体积V 48 观察图中各正方形图案 每条边上有 2 nn个圆点 每个图案中点的总数是S 按 此规律推出S与n的关系式为 49 求证 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1Nnn n n 50 已知数列 n b是等差数列 100 1 10211 bbbb 1 求数列 n b的通项 n b 2 设数列 n a的通项 n n b a 1 1lg 记 n S是数列 n a的前n项和 试比较 n S与 1 lg 2 1 n b的大小 51 已知数列 n a中 2 2 aa a为常数 n S是 n a的前n项和 且 n S是 n na与 na的等差中项 1 求 31 a a 2 猜想 n a的表达式 并用数学归纳法加以证明 3 求证以 1 n S a n n 为坐标的点 2 1 nPn都落在同一直线上 52 若命题 np对n k成立 则它对2 kn也成立 又已知命题 2p成立 则下列结 论正确的是 A np对所有自然数n都成立 B np对所有正偶数n成立 C np对所有正奇数n都成立 用心 爱心 专心 D np对所有大于1的自然数n成立 53 已知数列 n a的前n项和 2 2 nanS nn 而1 1 a 通过计算 432 aaa 猜想 n a A 2 1 2 n B 1 2 nn C 12 2 n D 12 2 n 54 上一个n层的台阶 若每次可上一层或两层 设所有不同上法的总数为 nf 则下 列猜想中正确的是 A nnf B 21 nfnfnf C 21 nfnfnf D 321 2 1 nnfnf nn nf 55 用数学归纳法证明当Nn 时 152 2221 n 是31的倍数时 当1 n时原 式为 从1 kk时需增添的项是 56 已知整数对的序列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 则第60个数对是 试题答案试题答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 A 6 8 3 a 7 8 8 4 9 160 130 10 QCP 11 CKB 12 8 3 13 10 14 由已知EBCD DE BC AEC BACEAC ABCACE CB CE AB AC ACB CEABCBAC DEACCEAB 15 1 CH AB DB AB AEH AFB FD CE AF AE BF EH HE EC BF FD F 为 BD 中点 2 连 CB OC AB 为直径 ACB 90 F 为 BD 中点 BCF CBF 90 CBA CAB ACO OCF 90 CG 为切线 3 由 FC FB FE FCE FEC FA FG AB CB 2 2 22BGACBGFG 222 BFFGBG 用心 爱心 专心 0104 2 FGFG FG 6 AB BG 24 22 r 16 B 17 A 18 B 19 A 20 A 21 D 22 B 23 D 24 D 25 D 26 A 27 C 28 B 29 C 30 C 31 A 32 90 33 D 34 B 35 D 36 D 37 D 38 B 39 B 40 B 41 D 42 C 43 D 44 A 45 2 2 2 n f n 46 21 1 kk 47 4321 3 1 SSSSR 48 44 nSn 49 证明 设 n nf 2 1 3 1 2 1 1 1 当1 n时 2 1 11 f 原不等式成立 2 设 Nkkn 时 原不等式成立 即 k k 2 1 3 1 2 1 1 2 1 k 2 1 成 立 当1 kn时 22 1 12 1 1 kk kfkf 2 1 2 1 22 1 12 1 2 1 2 1 11 kk kkkk 项共 k kkk 2 111 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 kk 1 2 1 22 1 12 1 1 kkk kfkf 1 2 1 22 1 12 1 2 1 kkk k 项共 k kkk k 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 k 1 kn时 命题成立 综合 1 2 可得 原命题对 Nn 恒成立 点评 点评 在证明1 kn命题