高中数学知识点训练29 解析几何

用心 爱心 专心 1 训练训练 2929 解析几何解析几何 推荐时间 75 分钟 1 2011 陕西 如图 设P是圆x2 y2 25 上的动点 点D是P在x轴上的投影 M 为PD上一点 且MD PD 4 5 1 当P在圆上运动时 求点M的轨迹C的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 的直线被C所截线段的长度 4 5 2 已知圆C x2 y a 2 4 点A 1 0 1 当过点A的圆C的切线存在时 求实数a的取值范围 2 设AM AN为圆C的两条切线 M N为切点 当MN 时 求MN所在直线的方 4 5 5 程 3 设F1 F2分别是椭圆E x2 1 0 b0 b 0 的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点F重合 且椭圆 x2 a2 y2 b23 短轴的两个端点与F构成正三角形 1 求椭圆的方程 2 若过点 1 0 的直线l与椭圆交 于不同两点P Q 试问在x轴上是否存在定点E m 0 使 恒为定值 若存在 求出 PE QE E的坐标及定值 若不存在 请说明理由 答案 1 解 1 设M的坐标为 x y P的坐标为 xP yP 由已知得Error P在圆上 x2 y 2 25 即轨迹C的方程为 1 5 4 x2 25 y2 16 2 过点 3 0 且斜率为 的直线方程为y x 3 4 5 4 5 设直线与C的交点为A x1 y1 B x2 y2 将直线方程y x 3 代入C的方程 得 4 5 1 即x2 3x 8 0 x2 25 x 3 2 25 x1 x2 3 41 2 3 41 2 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 16 25 x1 x2 2 41 25 41 41 5 2 解 1 过点A的切线存在 即点A在圆外或圆上 1 a2 4 a 或a 33 2 设MN与AC交于点D O为坐标原点 MN DM 4 5 5 2 5 5 又MC 2 CD 4 4 5 4 5 cos MCA 4 5 2 2 5 AC 2 2 55 OC 2 AM 1 用心 爱心 专心 3 MN是以点A为圆心 半径AM 1 的圆A与圆C的公共弦 圆A的方程为 x 1 2 y2 1 圆C的方程为x2 y 2 2 4 或x2 y 2 2 4 MN所在直线的方程为 x 1 2 y2 1 x2 y 2 2 4 0 即x 2y 0 或 x 1 2 y2 1 x2 y 2 2 4 0 即x 2y 0 因此 MN所在直线的方程为x 2y 0 或x 2y 0 3 解 1 由椭圆定义知AF2 AB BF2 4 又 2AB AF2 BF2 得AB 4 3 2 设直线l的方程为y x c 其中c 1 b2 设A x1 y1 B x2 y2 则A B两点的坐标满足方程组 Error 化简得 1 b2 x2 2cx 1 2b2 0 则x1 x2 x1x2 2c 1 b2 1 2b2 1 b2 因为直线AB的斜率为 1 所以AB x2 x1 2 即 x2 x1 4 32 则 x1 x2 2 4x1x2 8 9 4 1 b2 1 b2 2 4 1 2b2 1 b2 8b4 1 b2 2 解得b 2 2 b 2 2 不合题意 故舍去 4 1 解 由题意 c 1 可设椭圆方程为 1 x2 1 b2 y2 b2 因为A在椭圆上 所以 1 1 1 b2 9 4b2 解得b2 3 b2 舍去 3 4 所以椭圆方程为 1 x2 4 y2 3 2 证明 设直线AE的方程为y k x 1 3 2 用心 爱心 专心 4 代入 1 x2 4 y2 3 得 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4 2 12 0 3 2 k 设E xE yE F xF yF 因为点A在椭圆上 所以 1 xE 1 3 2 4k 3 2k 3 4k2 所以xE yE kxE k 4 3 2 k 2 12 3 4k2 3 2 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数 在上式中以 k代k 可得 xF yF kxF k 4 3 2 k 2 12 3 4k2 3 2 所以直线EF的斜率 kEF yF yE xF xE k xE xF 2k xF xE 1 2 即直线EF的斜率为定值 其值为 1 2 5 解 1 易知a 2 b 1 c a2 b23 所以F1 0 F2 0 设P x y 33 则 x y x y PF1 PF2 33 x2 y2 3 x2 1 3 3x2 8 x2 4 1 4 因为x 2 2 故当x 0 即点P为椭圆短轴端点时 有最小值 2 PF1 PF2 当x 2 即点P为椭圆长轴端点时 有最大值 1 PF1 PF2 2 显然直线x 0 不满足题设条件 可设直线l y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 联立Error 消去y 整理得 x2 4kx 3 0 k2 1 4 x1 x2 x1x2 4k k2 1 4 3 k2 1 4 由 4k 2 4 3 4k2 3 0 k2 1 4 用心 爱心 专心 5 得k 或k 3 2 3 2 又 0 AOB 90 cos AOB 0 0 OA OB x1x2 y1y2 0 OA OB 又y1y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4 4 3k2 k2 1 4 8k2 k2 1 4 k2 1 k2 1 4 0 3 k2 1 4 k2 1 k2 1 4 即k2 4 2 k 2 故由 得 2 k 或 k 2 3 2 3 2 6 解 1 由题意知抛物线的焦点F 0 3 c 3 又 椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形 b 1 椭圆的方程为 y2 1 x2 4 2 当直线l的斜率存在时 设其斜率为k 则l的方程为 y k x 1 由Error 消去y得 4k2 1 x2 8k2x 4k2 4 0 设P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 x1x2 8k2 4k2 1 4k2 4 4k2 1 m x1 y1 m x2 y2 PE QE m x1 m x2 y1y2 PE QE m2 m x1 x2 x1x2 y1y2 m2 m x1 x2 x1x2 k2 x1 1 x2 1 m2 k2 8mk2 4k2 1 4k2 4 4k2 1 4k2 4 4k2 1 8k2 4k2 1 1 4m2 8m 1 k2 m2 4 4k2 1 用心 爱心 专心 6 4m2 8m 1 k2 1 4 m2 4 1 4 4m2 8m 1 4k2 1 4m2 8m 1 1 4 2m 17 4 4k2 1 当 2m 0 即m 时 为定值