高中数学 《面积公式和体积公式的简单应用》教案 北师大版必修2

1 面积公式和体积公式的简单应用面积公式和体积公式的简单应用 一 教学目标 1 通过例题的学习形成应用数学的意识 将数学和实际生活密切联系 增强数学的趣 味性 提高学习数学的兴趣 认识到学习数学的必要性和重要性 2 逐步提高将生活中一些具体问题转化为数学问题的能力 二 设计思路 1 本小节首先通过一个计算 小魔方 中各种要求的小正方体的表面积来引入 此题 虽然简单 但对于提高学生的学习兴趣很有帮助 2 通过例 2 考查学生对本章知识的综合应用能力 在第 3 个小问题中 计算几何体 的体积 考查学生用割补方法解决问题的能力 3 第 3 个例题 是一道几何与函数相结合的例题 利用函数知识求解 渗透了函数的 思想和方法 三 教学建议 本节的教学重点是立体几何初步知识的简单应用 本节的教学难点是将一些实际应用问题转化成数学问题 然后利用数学知识解答 图 7 1 掌握本章学过的内容是学好本小节知识的前提 因此 在学习本节知识之前 可引 导学生回顾一下本章有关的主要内容 2 例 1 是一道利用正方体表面积公式的简单计算题 对于正方体的表面积公式 学生 并不陌生 关键是能正确计算出满足各种要求的小正方体的个数 3 例 2 是一道利用空间几何体有关知识的综合性题 在第 2 个小问题中 学生感觉比 较困难 容易想到用分割法来做此题 而不易想到用再添补的方法来做此题 以下用添补法来做此题 用一个与该几何体体积完全相同的几何体 倒置其上 如图 7 所示 使它们拼接组合 成一个以 ABCD 为底 高为 17 cm 的长方体 设原几何体的体积为 V 所以 2V 3 4 17 204 cm3 即 V 102 cm3 2 第 3 个小问题学生易错 通常只能得到平行四边形 教师应加以引导 让学生进一步得到 截面为菱形 4 例 3 是一道几何与函数相结合的例题 学生首先应根据已知条件 结合几何知识 建立函数关系式 再利用函数知识根据函数关系式求解 以下给出另外两种解法 供教师参考 四 阅读材料 阅读材料介绍蜜蜂为了储存蜂蜜 构造一种独特的几何体 蜂房 它是由许许多多 的正六棱柱 一个挨一个 紧密排列着的 中间没有一点空隙 通过科学家对蜂房的仔细观 察和计算 以及构成蜂房的几何图形中暗藏的众多数据 发现蜜蜂所选择的那些几何图形 来构建的蜂房是最科学的 这篇阅读材料的内容来源于自然界 密切联系生活 不仅扩大了 学生的知识面 更让学生感受到了数学在生活中无处不在 这只是列举了生活中一个小小的 实例 实际上这样的实例还很多 教师在教学时 不妨让学生举例 例如 古埃及金字塔 在金字塔当中也隐藏着许多数学知识 可见数学的历史古老而久远 来源于生活并用之于 生活 五 课题学习 1 设计意图 1 按课标要求 在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动 而活动的开 展是要有一个渐进的过程的 学生需要一个逐步适应 了解和认识自主探究学习的过程 在本教科书中设计该课题 是为实施更完整的数学探究 数学建模活动作准备 2 该课题学习涉及点 线 面的位置关系及直观图画法 涵盖了立体几何中相当多的 概念 定理 本课题学习的过程是立体几何知识的一次全面的综合应用的过程 3 该课题学习很好地体现了立体几何初步一章的基本要求 有助于认识空间图形 培 养和发展学生的空间想像能力 推理论证能力 运用图形语言进行交流的能力以及几何直 观能力 4 在本章末安排该课题学习 一方面给学生提供一个施展所学的舞台 另一方面 也达 到了借此课题的研究促进学生对所学知识的应用和反思 加深对空间图形的认识和理解 此 外 该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力 体验数学研究的过程 认识数学研究 3 中直观和严谨 感性猜测和理性推理的关系 鼓励学生发挥自己的想像力和创造力 2 实施建议 采用形式 形式一 能有效节省课时 但要求学生已初步具备一些自主探索学习的经验和能力 首先分组 2 3 人 进行课后讨论研究 根据学生情况 可建议学生通过实验操作进行研究 最后形成小组的学习报告 然后 根据学生的学习报告完成情况 在课上让部分小组报告他 们所得到的结果 阐述理由 并回答老师或其他学生提出的问题 共同研究讨论 形式二 需要较多课时 适合于没有自主探索学习的习惯和经验的学生 有利于他们初 步认识 了解自主学习的开展 让学生课前准备几个正方体模型 课堂上教师引导学生探 索 讨论 发现 可以让学生四人一组 对引导问题逐一研究讨论 分组报告研究结果 阐 述理由 并接受老师和学生的质疑 对课上未能很好解决的问题 或是由此引发的新问题 可以布置给学生课后去探索 研究 并完成研究报告 根据情况 可以适当安排时间让学生 报告 要注意的问题 1 无论是课后指导还是课上教学实施 教师都要注意引导学生从直观 感性的猜测 到严密 理性的思考和推理论证上来 帮助学生认识到两者在数学研究中的关系 注意引 导学生积极地发现 吸纳他人的长处和优点 使学生学会欣赏别人 并从中吸取有益经验 注意帮助学生清楚 一致地表述自己的观点 注意帮助学生对自己的思维活动进行反思 调节自己的思维活动 2 采用形式一时 教师应注意及时了解学生研究的进展情况 加强对学生自主研究 学习的指导 对没能在课上进行报告的小组 要进行及时鼓励性评价 积极肯定其长处 并指出不足之处 做到关注每一个学生 让所有学生从中受益 3 采用形式二时 教师除了要关注 1 中要点 还要特别注意引导学生进行主动研究 学习 而不是取而代之 自己给学生讲解 此外 在布置的课后任务中 可以适当拓展一些 不必仅局限于该课题学习内容本身 如 对正方体棱上的点确定的截面的作图方法的了解 可利用几何画板制作课件 通过课件进行研究 研究一些满足某些特定条件的截面形状 及性质 与棱平行的截面 与正方体对角线垂直的截面 等分正方体的截面等 一个装 有定量液体 不满 的封闭中空的正方体随着位置的某种规则 如 以一棱为轴旋转 变化 液体与正方体各接触面的面积有怎样的性质 各接触面之间有怎样的关系 处于何位置时 接触面最小 何位置时液面面积最小 研究其他几何体截面形状 4 要帮助 指导学生完成课题学习报告 特别是以下几个方面 课题学习中发现的新 问题 可拓展的或与其相关的问题 课题研究的自我评价 包括探究方法或原理的合理性 特色或创新点 不足之处等 课题学习的反思和体会 包括他人的哪些工作 研究方法是 值得你学习借鉴的 某种特别的感受等 附课题学习报告的结构形式 课题学习报告 年级 班 课题名称 研究的简要过程和方法 相关信息及参考文 献的来源和出处等 初步结论 写明所得结论的性质 如由实验 观察得到 猜想 已证 能证 待证 已构 造出 已找到实例等等 发现的新问题 可拓展的 相关的问题 4 初步结论 写明所得结论的性质 如由实验 观察得到 猜想 已证 能证 待证 已构 造出 已找到实例等等 课题探究的自我评价 课题学习的反思和体会 3 部分结论 1 多边形的种类 三角形 四边形 五边形 六边形 图 8 2 截面三角形只能是锐角三角形 可以是等腰 等边 如图 8 因为 a 2 b 2 c 20 所以 边 a 所对角 为锐角 同理可得其余角也为锐角 或由图 8 可知边 a 所对顶点在以 a 为直径的圆外 所以 该角为锐角 同理其余角也为锐角 3 因为正方体的六个面中 有三对平行面 截面多边形的边是平面与正方体各面的交 线 所以截面多边形最多是六边形 其中四边形截面至少与一组平行面相交 所以四边形 中至少有一对边平行 截面四边形可以是正方形 矩形 菱形 平行四边形 等腰梯形 其他梯形 五边形截面至少与两组平行面相交 所以有两组平行边 所以必然有两内角相 等 六边形截面一定与三组平行面都相交 所以必有三组平行边 所以有三组相等内角 4 截面多边形可以是正三角形 正四边形和正六边形 5 设正方体的棱长为 1 则截面三角形面积的最大值 S 3 4 2 2 3 2 4 引申问题 1 满足特定条件的截面多边形形状 与正方体一棱垂直的平面 截得的截面多边形只能是正方形 与正方体的一条棱平行的平面 截出的截面多边形只能有正方形 矩形 与正方体的对角线垂直的平面 截得的截面多边形只能有正三角形 各内角相等的 六边形 过正方体中心的平面 截得的截面都是中心对称的多边形 具体的只能有正方形 矩形 菱形 平行四边形 对边相等的六边形 与正方体的一面对角线平行的平面 截得的截面多边形只能是等边三角形 等腰三 角形 等腰梯形 正方形 矩形 菱形 可拆分成一个等腰三角形和等腰梯形的五边形 可拆分成两个等腰梯形的六边形 2 截面一定不会是以下几种多边形 不可能是直角三角形和钝角三角形 证略 不可能是直角梯形 5 图 9 证明如图 9 若 HEF 90 则由正方体性质可得 AB HE 所以 HE 面 ABD 所以 HE AA 所以 AA 面 EFGH 所以 AA GF 所以 HE GF 与 EFGH 是梯形矛盾 不可能是正五边形 证明因为正方体有三对平行面 五条边是截面与正方体六个面中五个面的交线 其中 至少有两组平行面 由 一平面与平行平面的两交线互相平行 知 至少有两组平行边 所以显然不可能是正五边形 3 正方体水槽中的问题 侧面多边形的种类 三角形 四边形 五边形 侧面多边形性质 三角形只能是直角三角形 四边形是直角梯形或矩形 五边形必 有且仅有相邻三内角为直角 正方体位置与侧面形状的关系 正方体一面着地时 侧面多边形为矩形 正方体仅一 条棱着地时 含该棱或与该棱平行的一组侧面为矩形 另一组侧面为全等直角三角形或直 角梯形或五边形 若水体积不变 形状为直角三角形或直角梯形或五边形的侧面面积不随 倾斜度的变化而变化 即使形状由梯形变到五边形也不变 若水体积不变 且一组侧面为 直角梯形时 另一组侧面面积之和为定值 定值等于直角梯形面积的两倍 或者说此时各 侧面面积之和不变 若水体积不变且一组侧面为直角三角形时 另一组侧面面积的积为定 值 正方体仅有一顶点着地 若过着地顶点的体对角线与地面垂直 则水侧面多边形仅有等 腰直角三角形和五边形两种 若仅三个侧面 则三侧面都是直角三角形 且三个三角形的 面积之积为定值 水体积不变条件下 5 拓展问题 正四