第十三章---函数项级数习题课

第十三章第十三章 函数项级数习题课函数项级数习题课 一一 概念叙述概念叙述 1 在上一致收敛于有 n fD0 fNnNxD xfxfn 2 在上不一致收敛于使 n fD 000 0 fNnNxD 得 0 000 n fxf x 3 在数集上一致收敛 n fD 柯西准则 0 Nm nNxD 有 nm fxfx 柯西准则 0 0NnNxDp 有 npn fxfx 4 在数集上不一致收敛使 n fD 柯西准则 0000 0 Nm nNxD 得 00 000 nm fxfx 使 柯西准则 0000 0 0NnNxDp 得 000 000 npn fxfx 5 在上一致收敛于函数部分和函数列在数集上一致收敛于 1 n n ux D S x n SxD 函数 S x 二二 疑难解析与注意事项疑难解析与注意事项 1 为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性 答答 函数列理论中重要问题是的性质 连续性 可积性 可导性 在极限过 n fx 程中是否依旧保持 比如能否由函数列每项的连续性 判断出极限函数的连续性 又如极 限函数的导数或积分 是否分别是函数列每项导数或积分的极限 对这些问题的讨论 只 要求函数列在数集上的收敛是不够的 必须对它在上的收敛性提出更高的要求才行 DD 这就是所要讨论的一致收敛性问题 由于函数项级数的收敛性可以转化为相应部 1 n n ux 分和函数列的问题来讨论 因此研究函数项级数逐项求极限 逐项求导 逐项求 n Sx 积分时 要讨论函数项级数的一致收敛性 2 判断函数列在上一致收敛有哪些方法 n fD 答答 1 定义 在上一致收敛于有 n fD0 fNnNxD xfxfn 2 柯西准则 有 用于抽象的函0 Nm nNxD nm fxfx 数列的一致收敛性的判断 3 确界 最大值方法 0 suplim xfxfn Dx n 4 估计方法 放大法 0 nn fxf xa 5 在上一致收敛在上一致收敛于 0 1 n n fx D n fx D 6 Dini 定理 条件 1 闭区间 2 连续性 3 关于的单调性 a bn 设函数列和函数都定义于闭区间上 在上点态收 n fx f x a b n fx a b 敛于 如果 f x 1 在连续 n fx a b 2 在连续 f x a b 3 关于单调 即对任意固定的 是单调数列 则 n fxn xa b n fx 在上一致收敛于 n fx a b f x 注注 除柯西准则外 都需要知道极限函数 因此 在判断一致收敛性时 一般应先利用 点态收敛性计算出极限函数 注注 定义法 确界方法和估计方法的本质是相同 定义方法通常处理抽象的对象 估计 方法是确界方法的简化形式 估计方法处理较为简单的具体的对象 确界方法是通过确界 的计算得到较为精确的估计 通常用于处理具有一般结构的具体的函数列 也可以用于非 一致收敛性的判断 注注 Dini 定理中 要验证的关键条件是关于的单调性 定理中相应的条件为 对任n 意固定的 作为数列关于是单调的 注意到收敛或一致收敛与函数列 xa b n fxn 前面的有限项没有关系 上述条件也可以改为 存在 当时 条件成立即可 但NnN 是 要注意必须是与无关的 即当时 对所有任意固定的 NxnN xa b 关于单调 因此 此时的单调性也称为对的单调性关于一致成立 n fxnnx 3 判断函数列在上不一致收敛有哪些方法 n fD 答答 1 定义 使得 000 0 NnNxD 0 000 n fxf x 2 柯西准则 使得 0000 0 Nm nNxD 00 000 nm fxfx 3 limsup 0 n n x D fxf x 4 在上连续 但极限函数在上不连续则在上不一致收敛 n fD f xD n fD 4 判断在上一致收敛于函数有哪些方法 1 n n ux D S x 答答 1 定义 部分和函数列在数集上一致收敛于函数 n SxD S x 2 柯西准则 使得当时 对一切和一切正整数 都0 N Nn Dx p 有 即 xSxS npn 21 xuxuxu pnnn 3 0 suplim suplim xSxSxR n Dx n n Dx n 4 放大法 0 nnn RxS xSxa 5 判别法 M 6 阿贝耳判别法 7 狄利克雷判别法 5 判断在上不一致收敛于函数有哪些方法 1 n n ux D S x 答答 1 定义 部分和函数列在数集上不一致收敛于函数 n SxD S x 2 柯西准则 使得 0000 0 0NnNxDp 0000 102000 nnnp uxuxux 3 limsup limsup 0 nn nn x Dx D RxS xSx 4 在上连续 但在上不连续 n uxD S xD 5 在的端点处发散 则在上不一致收敛 即 1 n n ux Da b 1 n n ux D 设在内收敛 每个在做左连续 若发散 则 xun a b n uxxb n u b 在内非一致收敛 xun a b 应用 在内不一致收敛 当时不一致收敛 1 x n 1 n n x 1x 6 在上不一致收敛于 0 则在上不一致收敛 n uxD 1 n n ux D 三三 典型例题典型例题 1 讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性 1 2 22 01 1 n x fxx n x 22 01 1 n nx fxx n x 3 4 1 0 1 nn n fxxxx 1 n n fxnxx 01x 解解 1 当 0 x 0 n fx lim 0 n n f xfx 当 因此极限函数为 0 1x 22 lim lim0 1 n nn x f xfx n x 0f x 因而 2222 211 0 1122 n xnx fxf x n xn xnn n 所以在上一致收敛 n fx01x 2 当 0 x 0 n fx lim 0 n n f xfx 当 因此极限函数为 0 1x 22 lim lim0 1 n nn nx f xfx n x 0f x 因而 22 1 n nx fxf x n x 由基本不等式知在 即取到最大值 因此有 22 1 nx n x 1nx 1 x n 22 0 10 1 1 lim sup lim sup0 12 n nn xx nx fxf x n x 所以在上不一致收敛 n fx01x 3 当时 0 x 0 n fx lim 0 n n f xfx 当时 1x 0 n fx lim 0 n n f xfx 当时 因此极限函数01x 1 lim lim0 nn n nn f xfxxx 为 0f x 因而 令 则 1 nn n fxf xxx 1nn xxx 1 1 nn xnxnx 令 得 故在处取得最大值 故有 0 x 1 n x n n fx 1 n x n 1 1 1 0 111 nnn n nn fxf xxx nnn n 所以在上一致收敛 n fx01x 4 当时 0 x 0 n fx lim 0 n n f xfx 当时 1x 0 n fx lim 0 n n f xfx 当时 01x lim lim 1 0 n n nn f xfxnxx 则有 令 则 1 n n fxf xnxx 1 nxnxx 1 1 1 1 n xnxnx 令 得 则在处达到最大值 因而 0 x 1 1 x n x 1 1 x n 0 10 1 11 lim sup lim sup 1 lim 1 0 11 nn n nnn xx n fxf xnxx nne 故在不一致收敛 n fx 0 1 2 讨论在下列区间上 1 n n n x fx x 1 2 3 4 0 a 01a 0 1 1 a 1a 是否一致收敛 解解 1 当时 因而 0 xa lim lim0 1 n n n nn x f xfx x n 0 1 n nn n n x fxf xxa x 因此在上一致收敛 1 n n n x fx x 0 a 2 当 0 1x lim lim0 1 n n n nn x f xfx x 当 1x 1 2 n fx 1 lim 2 n n f xfx 因此 极限函数为 由在连续 但极限函数 0 01 1 1 x f x x 1 n n n x fx x 0 1 不连续 因此在上不一致收敛 f x 1 n n n x fx x 0 1 3 当 因而 1 x 1 lim limlim1 1 1 1 n nn n nnn x f xfx x x 1 1 11 n n nn x fxf x xx 于是 1 1 11 lim sup lim sup0 12 n n nn xx fxf x x 因此在上不一致收敛 1 n n n x fx x 1 4 当 因而 xa 1 lim limlim1 1 1 1 n nn n nnn x f xfx x x 11 10 111 n n nnn x fxf x xxa n 因此在上一致收敛 1 n n n x fx x a 3 讨论下列级数的一致收敛性 1 2 3 1 2 2 1 1 n n x x x 1 2 1 n xn x 2 1 2 1 n x x x 解解 1 法法 1 1 看成交错级数 利用交错级数的余项估计式 当时 利用不等式 0 x 22 212 1 1 1 1 n n xx Rx nxnx 11xxx 当时 0 x 2 21 0 1 n n x Rx x 因此 1 limsup lim0 1 n nn x D Rx n 因此在上一致收敛 1 2 2 1 1 n n x x 法法 2 2 看成等比级数利用等比级数的余项 等比级数的和是首项 1 公比 为等比级数 1 2 2 2 2 11 1 1 n n n x x x x 1 22 222 222 2 11 1111 0 1 2221 1 1 nn n n xx xxx Rx nxxx x 因此 limsup 0 n n x D Rx 因此在上一致收敛 1 2 2 1 1 n n x x 2 因为 2 11 limsup limsuplim0 11 n nnn x Dx D Rx nxn 因此在上一致收敛 1 2 1 n xn 3 2 1 2 2 2 1 11 1 1 1 1 n n n x x Rx x x 因此 limsup 10 n n x D Rx 因此在上不一致收敛 1 2 2 1 1 n n x x 注注 交错级数的莱布尼兹判别法 若 则交错0 1 nn aa1 2 n 0lim n n a 级数收敛 且和 余项 1n 1 1 n n a 1 aS 1 1 1 1 n nk k k n aar 4 讨论下列级数的一致收敛性 1 2 1 0 01 nn n xxx 2 0 1 0 1 n n xxx 3 4 1 0 1 01 nnn n xxx 2 0 0 nx n x ex 解解 1 由于 因此 1 1 0 1 n kkn n k Sxxxx 1 01 lim 0 1 n n x S xSx x 而在上不连续 于是在上不一致收敛 S x 1 0 1 0 nn n xx 1 0 2 法法 1 1 因为 故 1 2 0 1 1 1 n kn n k Sxxxxx lim 1 n n S xSxx 因而 0 1 x 1 n n SxS xx x 令 则 令 则 于是 1 n g xx x 1 1 1 n n g xnxx n 0gx 1 n x n 在处取最大值 因而 1 n g xx x 1 n x n 0 10 1 1 lim sup lim sup 1 lim 0 11 nn n nnn xx n S xSxx x nn 故在一致收敛 2 0 1 n n xx 0 1 x 法法 2 2 记 则 2 1 n n uxxx 121 1 2 1 1 2 nnn n uxnxxxxxx nnx 故在处达到最大值 因而 n ux 2 n n x n 2 2 0 222 n nn nn uxu nnn 2 2 24 2nn 由判别法可得 在一致收敛 M 2 0 1 n n xx 0 1 x 3 法法 1 由于 因此 12 1 0 2 nn n R xxx n n 1 0 1 nnn n xx 在上一致收敛 0 1 法法 2 令由于有界 而 1 nn n uxxx 1 0 1 1 n k k 2 1 1 0 n nn uxuxxx 故对任意固定的单调下降 且 即 n uxx 1 1 0 1 nn n uxxxn n 在上一致收敛到零 故由狄利克雷判别法知在上一致收 n ux01x n ux01x 敛 4 法法 1 1 记 则 故在处达到 2 nx n uxx e 2 nx n uxxenx n ux 2 n x n 最大值 因而 222 2 224 0 nn uxuee nnn 故在一致收敛 2 0 nx n x e 0 x 法法 2 2 利用用 Taylor 展开得 22 1 0 2 nx n n x enxR xx 因而 222 2 22222 2 0 1 22 nx nx n xxx x e n xn xen nxR x 0 x 故在一致收敛 2 0 nx n x e 0 x 5 在上定义函数列 0 1 2 2 1 4 0 2 11 44 2 1 0 1 n n xx n fxn xnx nn x n 计算其极限函数并讨论其一致收敛性 解解 显然 且对任意固定的 则当时 总有 0 0 n f 0 1 x 1 n x 因此 故极限函数为 因而 0 n fx lim 0 n n fx 0fx nn fxf xfx 由在增 在减 因此 n fx 1 0 2n 11 2n n 因此 0 10 1 1 lim sup lim sup lim lim2 2 nnn nnnn xx fxf xfxfn n n fx 在 0 1 上不一致收敛 6 设定义于 令 f x a b n nf x fx n 1 2 n 求证 在上一致收敛于 n fx a b f x 证证 因为 因此 因此 1nf xnf xnf x 1 nf x f xf x nn lim lim n nn nf x fxf x n 故 1 lim sup lim0 n nn xa b fxf x n 故在上一致收敛于 n fx a b f x 7 设每一项都是上的单调函数 如果在的端点为绝对收 n x a b n x a b 敛 那么在上一致收敛 n x a b 证明证明 不妨设单调递增 因此有 而 n x nnn xab nn ab 绝对收敛 即收敛 于是收敛 由判别 nn ab nn ab M 法知在一致收敛 n x a b 8 设级数收敛 证明 1 n n a 0 11 lim n n x x nn a a n 分析分析 本题实质上是证明极限和求和可以交换 即证 00 111 limlim nn n xx xx nnn aa a nn 而极限和求和可以交换的条件是一致收敛 1 n x n a n 证证 因为收敛 且与无关 则在上一致收敛 对每个 1 n n a x 1 n n a 0 0 x 单调 即在上一致有界 因此由阿贝尔定理知 1 x n 1 1 x n 0 xn 1 x n 0 一致收敛 因此 1 n x n a n 00 111 limlim nn