高中数学 直线与椭圆的位置关系的研究方法解析 北师大版

用心 爱心 专心 1 直线与椭圆的位置关系的研究方法直线与椭圆的位置关系的研究方法 1 判断直线 l 与椭圆 C 的位置关系 可将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程 消去 y 也可以消去 x 得到一个关于变量 x 的一元方程 ax2 bx c 0 然后利用 法 2 有关弦长问题 应用弦长公式及韦达定理 设而不求 有关焦点弦长问题 要重视圆锥曲线的定义的运用 以简化运算 3 有关弦的中点问题 除了利用韦达定理外 要注意灵活运用 点差法 设而不求 简化运算 4 有关垂直关系问题 应注意运用斜率关系 或向量方法 及韦达定理 设 而不求 整体处理 5 有关椭圆关于直线 l 的对称问题中 若 A A 是对称点 则应抓住 AA 的中点在 l 上及 kAA kl 1 这两个关键条件解决问题 6 有关直线与椭圆的位置关系中的存在性问题 一般采用 假设反证法 或 假设验证法 来解决 1 椭圆 的左焦点作倾斜角为 的弦AB 则AB的长 是 2 若椭圆 与直线 x y 1 0 交于 A B 两点 过原点与线段 AB 中点的 直线的斜率为 2 则 n m 的值等于 3 已知椭圆 l1 l2为过点 0 m 且相互垂直的两条直线 问实数 22 1 169 xy m 在什么范围时 直线 l1 l2都与椭圆有公共点 4 椭圆 ax2 by2 1 与直线 x y 1 0 相交于 A B C 是 AB 的中点 若 AB OC 的斜率为 求椭圆的方程 2 2 2 2 22 24xy 45 22 1mxny 2 用心 爱心 专心 2 例例 1 椭圆 与直线 x y 1 0 相交于两点 P Q 且 22 22 1 0 xy ab ab OP OQ O 为原点 1 求证 等于定值 22 11 ab 2 若椭圆离心率 e 时 求椭圆长轴的取值范围 32 32 例例 2 2010 高考题 高考题 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦点 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直线l 使得直线l与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与l的距离等于 4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 命题意图 本小题主要考查直线 椭圆等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 解析 1 依题意 可设椭圆 C 的方程为 22 22 1 a 0 b 0 xy ab 且可知左焦点为 例例 3 已知椭圆方程为 射线 y 2x x 0 与椭圆的交点为 M 过 M 作倾斜 角互补的两条直线 分别与椭圆交于 A B 两点 异于 M 求证 直线 AB 的斜率 kAB 2 求 AMB 面积的最大值 22 1 28 xy 用心 爱心 专心 3 解析 斜率 k 存在 不妨设 k 0 求出 M 1 2 直线 MA 方程为 y 2 k x 1 直线 MB 方程 y 2 k x 1 分别与椭圆方程联立 可解出 kAB 2 设直线 AB 方程为 y 2x m 与 x2 2 联立 2 4 y 消去 y 得 8x2 4mx m2 8 0 由 0 得 4 m 4 且 m 0 点 M 到 AB 的距离为 d 设 MAB 的面积为 S 当 m 2 时 得 Smax 2 点评 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程 直线与 方程的位置关系等解析几何的基础知识和基本思想方法 考察推理及运算能力 例例 3 2010 高考题 高考题 已知 m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为椭圆C的左 右焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段GH为直径的圆内 求实数m的取值范围 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础 知识 同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 22 22 4444 44 AB kkkk xx kk 2 2 ABAB ABAB yyk xx xxxx 2 22 85 5 16 222 mm ABm 22222 11 16 416 SABdmm 2 116 4 162 用心 爱心 专心 4 解 因为直线 l 2 0 2 m xmy 经过 2 2 1 0 Fm 所以 2 2 1 2 m m 得 2 2m 又因为1m 所以2m 故直线l的方程为 2 2 20 2 xy 解 设 1122 A x yB xy 由 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m 消去x得 2 2 210 4 m ymy 则由 2 22 8 1 80 4 m mm 知 2 8m 且有 2 1212 1 282 mm yyy y A 由于 12 0 0 FcF c 故O为 12 FF 的中点 由2 2AGGO BHHO 可知 1121 3333 xyxy Gh 22 2 1212 99 xxyy GH 设M是GH的中点 则 1212 66 xxyy M 由题意可知2 MOGH 即 22 22 12121212 4 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x