高中数学 《频率与概率》教案 北师大版必修3

1 随机事件的概率随机事件的概率 教学目标 通过试验 体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 由此给出概率的统计定义 教学重点 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 教学难点 理解频率与概率的关系 教学过程 设置情景 1 名数学家 10 个师 在第二次世界大战中 美国曾经宣布 一名优秀数学家的作用超过 10 个师的兵力 这句话有 一个非同寻常的来历 1943 年以前 在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击 当时 英美两国限于实力 无力增派更多的护航舰 一时间 德军的 潜艇战 搞得盟军焦头烂额 为此 有位美国海军将领专门去请教了几位数学家 数学家们运用概率论分析后得出 舰队 与敌潜艇相遇是一个随机事件 从数学角度来看这一问题 它具有一定的规律性 一定数量 的船 为 100 艘 编队规模越小 编次就越多 为每次 20 艘 就要有 5 个编次 编次越多 与敌人相遇的概率就越大 美国海军接受了数学家的建议 命令舰队在指定海域集合 再集体通过危险海域 然后各自 驶向预定港口 结果奇迹出现了 盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的 25 降为 1 大大 减少了损失 保证了物资的及时供应 在自然界和实际生活中 我们会遇到各种各样的现象 如果从结果能否预知的角度来看 可 以分为两大类 一类现象的结果总是确定的 即在一定的条件下 它所出现的结果是可以预 知的 这类现象称为确定性现象 另一类现象的结果是无法预知的 即在一定的条件下 出 现那种结果是无法预先确定的 这类现象称为随机现象 确定性现象 一般有着较明显得内在规律 因此比较容易掌握它 而随机现象 由于它具有 不确定性 因此它成为人们研究的重点 随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果 我们把随机现象的结果称为随机事件 探索研究 1 随机事件 下列哪些是随机事件 1 导体通电时发热 2 某人射击一次 中靶 3 抛一石块 下落 4 在常温下 铁熔化 5 抛一枚硬币 正面朝上 6 在标准大气压下且温度低于 c 0 时 冰融化 2 由学生回答 然后教师归纳 必然事件 不可能事件 随机事件的概念 可让学生再分别举一些例子 2 随机事件的概率 由于随机事件具有不确定性 因而从表面上看 似乎偶然性在起着支配作用 没有什么必然 性 但是 人们经过长期的实践并深入研究后 发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有 不确定性 然而在大量重复试验中 它却呈现出一种完全确定的规律性 下面由学生做试验得出随机事件的频率 试验过程如下 做抛掷一枚硬币的试验 观察它落地时 哪一个面朝上 第一步 全班同学做 10 次掷硬币试验 记录正面向上的次数和比例 思考 试验结果与其他同学比较 你的结果和他们一致吗 为什么 第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下 填入下表 组次 试验总次 数 正面朝上总次 数 正面朝上的比例 思考 与其他小组试验结果比较 正面朝上的比例一致吗 为什么 第三步 用横轴为实验结果 仅取两个值 1 正面 和 0 反面 纵轴为实验结果出现 的频率 画出你个人和所在小组的条形图 并进行比较 发现什么 第四步 把全班实验结果收集起来 也用条形图表示 第五步 请同学们找出掷硬币时 正面朝上 这个事件发生的规律性 结论 随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的 但是在大量重复实验后 随着次数的增加 事件 A 发生的频率会逐渐稳定在区间 0 1 中的某个常数上 思考 这个条形图有什么特点 如果同学们重复一次上面的实验 全班汇总结果与这一次汇 总结果一致吗 为什么 例如 历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验 结果如下表 抛掷次数 n 正面向上次数 频数m 频率 n m 204810610 5181 404020480 5069 1200060190 5016 240001201205005 30000149840 4996 72088361240 5011 我们可以看到 当抛掷硬币的次数很多时 出现正面的频率值是稳定的 接近于常数 0 5 3 在它左右摆动 概率的定义 对于给定的随机事件 A 如果随着实验次数的增加 事件 A 发生的频率 fn A 稳定在某个常 数上 把这个常数记作 P A 称为事件 A 的概率 简称为 A 的概率 对于概率的统计定义 注意以下几点 1 求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验 2 只有当频率在某个常数附近摆动时 这个常数才叫做事件A的概率 3 概率是频率的稳定值 而频率是概率的近似值 4 概率反映了随机事件发生的可能性的大小 5 必然事件的概率为 1 不可能事件的概率为 0 因此 10 AP 3 例题分析 例 1 指出下列事件中 哪些是不可能事件 哪些是必然事件 哪些是随机事件 1 若 cba 都是实数 则 cabbca 2 没有空气 动物也能生存下去 3 在标准大气压下 水在温度 c 90 时沸腾 4 直线 1 xky 过定点 0 1 5 某一天内电话收到的呼叫次数为 0 6 一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球 从中任意摸出 1 个球则为白球 由学生口答 答案 1 4 是必然事件 2 3 是不可能事件 5 6 是随机事 件 例 2 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下 抽取台数 501002003005001000 优等品数 4092192285478954 1 计算表中优等品的各个频率 2 该厂生产的电视机优等品的概率是多少 由一名学生板演后 教师纠正 解 1 各次优等品的概率为 0 8 0 92 0 96 0 95 0 956 0 954 2 优等品的概率是 0 95 4 课堂练习 1 某射手在同一条件下进行射击 结果如下表所示 射击次数 n 102050100200500 击中靶心次数 9194491178451 4 m 击中靶心频率 n m I 计算表中击中靶心的各个频率 II 这个射手射击一次 击中靶心的概率约是多少 由一名学生板演后 教师讲解 2 问答 I 试举出两个必然事件和不可能事件的实例 II 不可能事件的概率为什么是 0 III 必然事件的概率为什么是 1 IV 随机事件的概率为什么是小于 1 的正数 它是否可能为负数 参考答案 1 解 I 击中靶心的各