高一数学选拔赛（附答案）单元测试新课标人教A版必修2

1 x y O x y O x y O x y O 惠安一中惠安一中 20092009 级高一数学联赛选拔赛级高一数学联赛选拔赛 考试时间 考试时间 120120 分钟分钟 满分满分 150150 分 分 班级 班级 姓名 姓名 分数 分数 一 选择题 每题 5 分 共 50 分 1 设 S x y xy 0 T x y x 0 且 y 0 则 A S T SB S T TC S T SD S T 2 区间 0 m 在映射 f x 2x m 所得的象集区间为 a b 若区间 a b 的长度比区间 0 m 的长度达 5 则 m A 5B 10C 2 5D 1 3 函数 f x 9x2 6ax 2a a2在区间 上的最大值为 3 则 a 的值为 1 3 1 3 A B 2 或 C 2 或 2 D 2 或 3 2626662 4 在同一直角坐标系中 表示直线与正确的是 yax yxa A B C D 5 一个半球的全面积为 Q 一个圆柱与此半球等底等体积 则这个圆柱的全面积是 A B C D 3 5Q 3 10Q 9 5Q 9 10Q 6 集合 T 0 1 2 3 4 5 6 将 M 中的元素按从小 3124 1 2 3 4 7777 i aaaa MaT i 到大的顺序排列 则第 2005 个数是 A B 234 5563 7777 234 5562 7777 C D 234 1104 7777 234 1103 7777 7 函数上为增函数 则实数 a 的取值范围是 2 2 1 在 x ax y A B C 2 1 a 2 1 a D 2 1 a 2 1 a 2 8 已知函数 则 a 的取值范围是0 1 1 213 00 xfxaaxxf使得上存在在 A B C 或 D 5 1 1 a 5 1 a1 a 5 1 a 1 a 9 已知如图 长方体 ABCD A1B1C1D1 中 交于顶点 A 的三条棱长 别为 AD 3 AA1 4 AB 5 一天 小强观察到在 A 处有一只蚂蚁 发现顶点 C1处有食物 于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物 则蚂蚁爬行的最短路程是 A B C D 742554103 10 已知二次函数的值是 1 0 0 2 mfmfaaxxxf则若 A 正数B 负数C 零D 符号与 a 值有关 二 填空题 每题 5 分 共 30 分 11 已知无论 k 为何实数 直线 2k 1 x k 2 y k 8 0 恒通过一个定点 则这个定点是 12 Suppose that the graph of quadratic function f x passes through the origin and there holds f x 2 f x x 2 for all x R Then the expression of f x is 13 计算 12 22 32 42 20052 20062 14 王先生乘坐一辆出租车前往首都国际机场 该车起价 10 元 3 公里以内 3 公里以外每 行驶 0 6 公里增加 1 元 当王先生到达机场时 计价器显示应付费 34 元 设王先生乘车 路程为 s 公里 则 s 的取值范围是 15 试写出不定方程 x2 2y2 1 的两组整数解为 16 若关于 x 的方程 4x 2xm 5 0 至少有一个实根在区间 1 2 内 则实数 m 的取值范围是 3 惠安一中惠安一中 20092009 级高一数学联赛选拔赛答题卡级高一数学联赛选拔赛答题卡 一 选择题 本大题共有 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 题目12345678910 答案 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 将答案填在题中的横线上 11 12 13 14 15 16 三 解答题 17 本小题满分 10 分 如图 OAB 是边长为 2 的正三角形 记 OAB 位于直线 左侧的图形的面积为 试求函数的解析式 并画出函数的 0 ttx tf tf tfy 图象 解 18 本小题满分 12 分 1 个科学家与其余 16 个人通信 他们通信所讨论的仅有三个问 题 而任意两个科学家之间通信讨论的是同一个问题 证明至少有三个科学家通信时所 讨 论的是同一个问题 解 O A x y x t B 4 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是 AB 2 BC 的矩形 侧面 PAB 是2 等边三角形 且侧面 PAB 底面 ABCD 证明 BC 侧面 PAB 证明 侧面 PAD 侧面 PAB 求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小 解 20 本小题满分 12 分 已知不等式 2 3 xx 1 23 2 2 xx x 012 2 mxx 1 若同时满足 的 x 的值也满足不等式 求实数 m 的取值范围 2 若满足不等式 的 x 的值至少满足 中的一个 求实数 m 的取值范围 解 A B P C D 5 21 本小题满分 12 分 设函数 f x 的定义域是 0 且对任意的正实数 x y 都有 f xy f x f y 恒成立 已知 f 2 1 且 x 1 时 f x 0 1 求 f 的值 2 判断 y f x 在 0 上的 2 1 单调性 并给出你的证明 3 解不等式 f x2 f 8x 6 1 解 6 22 本小题满分 12 分 已知一次函数与二次函数baxxf 且满足 2 cbacbxaxxg 0Rcbacba 1 求证 函数的图象有两个不同的交点 A B xgyxfy 与 2 设 A1 B1是 A B 两点在 x 轴上的射影 求线段 A1B1长的取值范围 3 求证 当时 恒成立 3 x xgxf 解 AACCD CDCAA 11 2 3 12 13 14 3 2 17 12 16 2 42 xx f x 17 418s 21 2 5 4 17 如图 OAB 是边长为 2 的正三角形 记 OAB 位于直线左侧的图形的面 0 ttx 7 积为 试求函数的解析式 并画出函数的图象 tf tf tfy 解 5分 2 3 4分 21 2 2 3 3 2分 10 2 3 2 2 t tt tt tfy 图像为 10 分 18 个科学家中每个人与其余 16 个人通信 他们通信所讨论的仅有三个问题 而任两个 科学家之间通信讨论的是同一个问题 证明 至少有三个科学家通信时讨论的是同一个 问题 解 不妨设 A 是某科学家 他与其余 16 位讨论仅三个问题 由鸽笼原理知 他至少与其 中的 6 位讨论同一问题 设这 6 位科学家为 B C D E F G 讨论的是甲问题 若这 6 位中有两位之间也讨论甲问题 则结论成立 否则他们 6 位只讨论乙 丙两 问题 这样又由鸽笼原理知 B 至少与另三位讨论同一问题 不妨设这三位是 C D E 且讨论的是乙问题 若 C D E 中有两人也讨论乙问题 则结论也就成立了 否则 他们间只讨论丙问 题 这样结论也成立 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是 AB 2 BC 的矩形 侧面 PAB2 是等边三角形 且侧面 PAB 底面 ABCD 证明 BC 侧面 PAB 证明 侧面 PAD 侧面 PAB 求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小 解 证 侧面 PAB 垂直于底面 ABCD 且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB 在矩形 ABCD 中 BC AB BC 侧面 PAB 3 分 证 在矩形 ABCD 中 AD BC BC 侧面 PAB AD 侧面 PAB 5 分 又 AD 在平面 PAD 上 所以 侧面 PAD 侧面 PAB 6 分 解 在侧面 PAB 内 过点 P 做 PE AB 垂足为 E 连结 EC 侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB PE AB PE 底面 ABCD 于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影 8 分 PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角 10 分 在 PAB 和 BEC 中 易求得 PE 3 3 EC 在 Rt PEC 中 PCE 450 12 分 说明 本答案仅供参考 不作唯一标准 建议按逻辑点给分 O t y 123 1 2 A B P C D 8 20 已知不等式 2 3 xx 1 23 2 2 xx x 012 2 mxx 1 若同时满足 的x的值也满足不等式 求实数 m 的取值范围 2 若满足不等式 的x的值至少满足 中的一个 求实数 m 的取 值范围 解 的解集为 A x 1 x 3 的解集为 B 4210 xxx或 4 分 41 3210 xxBAxxxBA或 1 要满足题意 则方程 2x2 mx 1 0 的一根小于 0 大于等于 3 5 分 设 f x 2x2 mx 1 则 7 分 3 17 0 3 0 0 m f f 2 要满足题意 则方程 2x2 mx 1 0 的两根应在区间 1 4 上 8 分 设 f x 2x2 mx 1 则 12 分 1 4 31 44 1 0 0 4 0 1 m m f f 21 设函数 f x 的定义域是 0 且对任意的正实数 x y 都有 f xy f x f y 恒成立 已知 f 2 1 且 x 1 时 f x 0 1 求 f 的值 2 判断 y f x 在 0 上的单调性 并给出你的证明 2 1 3 解不等式 f x2 f 8x 6 1 解 1 令 x y 1 则可得 f 1 0 再令 x 2 y 得 f 1 f 2 f 故 f 1 2 1 2