高一数学角的概念的推广、弧度制全国通用状元班

用心 爱心 专心 高一数学角的概念的推广 弧度制全国通用高一数学角的概念的推广 弧度制全国通用 本讲主要内容本讲主要内容 角的概念的推广 弧度制 知识掌握知识掌握 知识点精析知识点精析 1 角的概念的推广 1 任意角的形成 角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 射线的端点 叫做角的顶点 旋转开始时的射线叫做角的始边 终止时的射线叫做角的终边 注意 理解角的概念应注意角的三要素 顶点 始边 终边 角可以是任意大小的 2 角的分类 角 正角 按照逆时针方向旋转而成的角叫正角 零角 当射线没有旋转时 形成的角叫零角 负角 按顺时针方向旋转而成的角叫负角 注意 角的旋转方向是角分类的标准 3 在直角坐标系内讨论角 象限角 轴线角 象限角 角的顶点与坐标原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴重合 角的终边落 在第几象限 就把这个角称为第几象限的角 第一 二 三 四象限的角的集合依次是 kkkZ kkkZ kkkZ kkkZ 36036090 36090360180 360180360270 360270360360 轴线角 角的终边在坐标轴上的角称为轴线角 轴线角不属于任何象限 比如 0 90 180 270 360 90 180 270 360 等都是轴线角 终边在 x 轴的正半轴上的角的集合 kkZ 360 终边在 x 轴的负半轴上的角的集合 kkZ 360180 终边在 x 轴上的角的集合 kkZ 180 终边在 y 轴的正半轴上的角的集合 kkZ 36090 终边在 y 轴的负半轴上的角的集合 kkZ 36090 终边在 y 轴上的角的集合为 kkZ 18090 用心 爱心 专心 终边在坐标轴上的角的集合 kkZ 90 4 终边相同的角 所有与 角终边相同的角 连同 角在内 而且只有这样的角 可以用式子来表示 它们互称终边相同的角 kkZ 360 与 角终边相同的角的集合可记作 kkZ 360 注意 k 是整数 是任意角 与 之间是 号 k 360 例如 应看成k 36060 k 36060 终边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相同 终边相同的角有无数多个 它们相差 360 的整数倍 2 弧度制 1 角度制 用度做单位来度量角的制度叫角度制 规定周角的为 1 度角 记作 1 从而有周角为 360 平角 180 等 1 360 2 弧度制 用弧度做单位来度量角的制度叫弧度制 规定等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角 从而有周角为弧度 平角为2 弧度等 3 角的弧度制的顺序性 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度 数为零 4 公式 任一已知角 的弧度数的绝对值 其中 l 为以角 作为 l r l r 圆心角时所对圆弧的长 r 为圆半径 5 度数与弧度数的换算 弧度180 1 180 001745 1 180 573057 18 弧度弧度 弧度 注意 用弧度为单位表示角的大小时 弧度 两字可以省略不写 但用度 为单位表 示角时 度 就不能省去 用弧度为单位表示角时 常常把弧度数写成多少的形式 如 60 3 等 45 4 6 弧长公式 扇形面积公式 用心 爱心 专心 在弧度制下 弧长公式为 lr 扇形面积公式为 Slrr 1 2 1 2 2 在角度制下 弧长公式为 l n r 180 扇形面积公式为 S n r 2 360 两者相比较 在弧度制下 计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便 简洁 3 需要注意的几个问题 1 角的集合的表示形式不是唯一的 例如 终边在 y 轴的负半轴上的角的集合可用以下两种形式表示 2 2 2 3 2 kkZkkZ 2 终边相同的角不一定相等 但相等的角终边一定相同 3 要正确理解和区分 第一象限的角 kkkZ 36036090 锐角 090 小于 90 的角 90 4 讨论三角函数问题时 在同一个式子中两种制度 角度制 弧度制 不能混用 例如 与 60 角终边相同的角的集合不能表示为 正 260kkZ 确的表示方法为 kkZkkZ 或 360602 3 5 公式中 左边是 的绝对值 不要误用为 l r l r 解题方法指导解题方法指导 例 1 已知 角的终边与的终边相同 在内哪些角的终边与角的终边相 3 02 3 同 分析 分析 首先 角的一般形式为 2 3 kkZ 则角的一般形式为 3 3 2 39 k 然后讨论 k 的取值 使 3 02 用心 爱心 专心 解 解 角的终边与的终边相同 3 2 3 kkZ 3 2 39 k kZ 又 时 0 3 2 0 2 39 2 012 k kZ kZk 有 它们均在 内 所求角为 39 7 9 13 9 02 9 7 9 13 9 说明 说明 解此类型题关键是通过解不等式准确求出整数 k 的所有取值 例 2 已知角 为第一象限的角 确定角所在的象限 并画出其变化区域 2 解题思路分析 解题思路分析 此题很容易判成第一象限 这是不对的 因为第一象限角与之0 2 间的角并不等价 首先写出角 的一般形式 22 2 kkkZ 两边同时除以 2 得 kkkZ 24 1 当 k 为奇数时 设 则kmmZ 21 21 2 21 4 mmmZ 此时 角是第三象限角 2 2 当 k 为偶数时 设 则km mZ 2 2 2 2 4 mmmZ 此时 角是第一象限角 2 综上 角是第一象限或第三象限的角 2 其变化区域如图所示中阴影部分 这样的区域称为第一 三象限的 前半区 用心 爱心 专心 y y x O x 说明 说明 由已知角的终边位置确定相关角的终边位置常用不等式法 有时也采用数形结 合的方法 本题的结论具有记忆价值 在使用半角公式及需要判断所在象限及区域时 2 直接应用此题的结论 显得更加简洁 类似地可以推出 在第一象限 在第一 三象限的 前半区域 2 在第二象限 在第一 三象限的 后半区域 2 在第三象限 在第二 四象限的 前半区域 2 在第四象限 在第二 四象限的 后半区域 2 例 3 根据下列已知条件 解决扇形有关问题 1 已知扇形的面积为 4cm2 它的周长为 10cm 求扇形中心角的弧度数 2 已知一扇形的周长是 40cm 当它的半径和圆心角取何值时 才能使扇形面积最 大 最大面积是多少 l A B r O 分析 分析 1 要求中心角 根据公式 需求出弧长 l 及半径 r l r 解 解 1 设扇形中心角的弧度数为 弧长为 l 半径为 r 02 根据题意 得 lr lr 210 1 2 4 用心 爱心 专心 解得 r l r l 1 8 4 2 或 当 时 弧度 舍 当 时 弧度 rl l r rl l r 1882 42 1 2 综上 所求扇形中心角的弧度数为 1 2 分析 分析 2 本题运用扇形面积公式 及 l 与 r 的关系式 写出 S 用 r 表示的Slr 1 2 式子 然后就式子本身讨论 S 的最大值以及这时的 r 和 值 解 解 2 设扇形圆心角为 半径为 r 弧长为 l 面积为 S 由已知条件 lrlr 240402 即 由0204022 lrrr 得 20 1 20 r 扇形面积Slrr rrr 1 2 1 2 40220 2 rr10100 20 1 20 2 扇形面积有最大值为 当时 rcm10100 2 cm 此时 弧度 l r r r 40240210 10 2 说明 说明 当扇形周长一定时 扇形面积有最大值 其求法是将面积 S 转化为关于 r 的二 次函数 但要说明 r 的取值范围 特别要注意一个扇形的弧长必须满足 02 lr 考点突破考点突破 考点指要考点指要 近几年的高考试题对任意角的概念与弧度制的考查多结合三角函数的基础知识进行考 查 对求角的集合的交 并等计算技能的考查 有一定综合性 涉及的知识点较多 大部 分是以选择题和填空题的形式出现 属于容易题 历年高考所占分值最多 5 分 因为这部 分知识有可能不单独命题 本讲内容在高考中主要考查 理解任意角的概念 特别是象限角 区间角 终边相同的角的概念及表示方法 例如 2005 年全国卷 III 理 已知 为第三象限的角 则所在的象限是 2 A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 用心 爱心 专心 答案 答案 D 解析 解析 略 本题解法在前面例题中已讲过 理解弧度的意义 并能正确地进行弧度与角度的转换 结合三角函数的基础知识进行综合性考查 解决 任意角的概念与弧度制 问题的基本思路和方法 把任意角化成的形式 k 3600360 在给定的角的集合中 找出终边位于指定区间的一切角 熟练地进行度数与弧度数的互化 公式的应用 l r 典型例题分析典型例题分析 例 4 高考模拟题 若 是第二象限的角 则是 A 第一象限的角B 第二象限的角 C 第三象限的角D 第四象限的角 分析 分析 的象限数可以根据 的象限数直接判断 也可利用角的终边与角 的终边位置关系来判断 解法一 解法一 为第二象限角 2 2 2 22 2 22 2 kkkZ kkkZ kkkZ 为第一象限角 选 A 解法二 解法二 的终边与 的终边关于 y 轴对称 由 为第二象限角 得知为第一象限角 如图所示 y x 评述 评述 本题主要考查终边相同的角和象限角 要求学生熟练范围角的表示方法并能将范围角和坐标系内的图形对应起来 角的范围 是解三角函数题的重要组成部分 应引起重视 解本题时常有同学误认为第二象限角就是 用心 爱心 专心 实际上二者是不等价的 第二象限角的正确表示方法为 2 对这些概念如何正确的理解和区分 在前面 知识点精 kkkZ 2 2 析 中已有所说明 希望同学们重视 例 5 2005 年全国卷 III 理 已知 为第三象限角 则所在的象限是 2 A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 解题思路 解题思路 略 前面例题中已讲过 例 6 已知 1 弧度的圆心角所对的弦长是 2 这个圆心角所对的弧长是 这个圆 心角所夹扇形的面积是 答案 答案 1 1 2 1 11 sin cos 解题思路分析 解题思路分析 如图所示 AOBrad1 过 O 作于 C 延长 OC 交于 DOC AB AB 则 AODBODradACAB 1 2 1 2 1 且 在Rt AOCOA AC AOC 中 sin sin 1 1 2 即扇形的半径为r 1 1 2 sin ABlr Slr 的长 扇形 sinsin sin cos 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 112 用心 爱心 专心 O A B D 1 C r l r 1 2 评析 评析 本题主要考查的是扇形弧长公式和扇形面积公式 有些同学在解题中由于没有记忆弧度制下扇形的弧长公式和面积公式 仅记住了角度 制下的相关公式 但又没有掌握好换算的方法 因此造成解题障碍 综合测试综合测试 一 选择题 1 如果角 2 的终边在 x 轴上方 那么 的范围是 A 第一象限角的集合 B 第一或第二象限角的集合 C 第一或第三象限角的集合 D 第一或第四象限角的集合 2 集合 则有 Mx x k kZNx x k kZ 2442 A B MN MN C D MN MN 3 若 的终边关于 y 轴对称 则必有 A B 2 kZ 2 2 kkZ C D 2kkZ 2kkZ 4 若 则与 的终边 18090 180 A 关于 x 轴对称B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称D 以上都不对 5 已知集合 G 小于 P 小于 的角90 MT 锐角 第一象限的角 90 但不小于 0 的角 则下列结论中正确的是 A B MTP MPT C D GPT TGM 用心 爱心 专心 6 若 是第二象限的角 则是第几象限角 3 A 第一或第三象限 B 第一或第二或第四象限 C 第二或第四象限 D 第一或第三或第四象限 7 一个半径为 R 的扇形 它的周长是 4R 则这个扇形所含弓形的面积是 A B 1 2 211 2 sincos R 1 2 11 2 R sincos C D 1 2 2 RRR 22 11 sincos 8 把表示成的形式 使最小的值是 11 4 2kkZ A B C D 3 4 4 4 3 4 二 填空题 9 若 4 与 20 角的终边相同 则适合不等式的角 的集合为 3600 10 若单位圆上的一段弧长等于此圆内接正三角形的边长 则这段弧所对的圆心角的弧 度数是 11 已知集合 AkkkZ 36030360120 则集合 Ba kkkZAB 12 下列命题中 1 终边在坐标轴上的角的集合是 kkZ 90 2 与 40 的终边相同的角的集合是 kkZ 360320 3 终边在第二 四象限的角平分线上的角的集合是 kkZ 36045 4 终边在直线上的角的集合是 yx kkZ 18045 其中正确命题的序号为 你认为正确的都写上 三 解答题 13 半径为 12cm 弧长为的弧所对的圆心角为 试写出与 终边相同8 cm 1 用心 爱心 专心 的角的集合 A 并判断集合 A 是否为的真子集 B k kZ 22 14 已知集合 求 AxxxBx kxkkZ 60 42 2 AB 15 如图所示 在扇形 AOB 中 弧 AB 的长为 l 求此扇形内切圆的 AOB90 面积 A O B 用心 爱心 专心 综合测试答案综合测试答案 一 选择题 1 C 解 解 角 2 的终边在 x 轴上方 则 2 范围是222kkkZ kkkZ 2 当 k 为偶数时 为第一象限角 当 k 为奇数时 为第三象限角 在第一或第三象限 故应选 C 2 C 解法一 解法一 Mx xkkZ 21 4 其中是奇数21k Nx xkkZ 2 4 其中是整数k 2 MN 解法二 解法二 列举法 M N MN 44 3 4 5 4 42 3 4 3 D4 B 5 D 解 解 由于第一象限角不一定小于 90 例如 390 选项 A 错 由于小于 90 的角不一定是第一象限角 例如 60 选项 B 错 由于00 GT 而 选项 C 错 而 第一象限角 小于 90 但不小于 0 的角 锐角 MTG 选 D 6 B 解 解 是第二象限角 用心 爱心 专心 kkkZ kkkZ 36090360180 12030 3 12060 当时 knnZ 3 nn 36030 3 36060 是第一象限的角 3 当时 knnZ 31 nn 360180 3 360180 是第二象限的角 3 当时 knnZ 32 nn 360270 3 360300 是第四象限的角 3 是第一或第二或第四象限的角 3 故选 B 7 D 解 解 设弧长为 l 则lRRlR 242 设弧长所对圆心角为 则 l R 22 ABACRAOCR OCRAOCR SABOCR SlRRRR OAB OAB 2221 1 1 2 11 1 2 1 2 2 2 2 而 而 扇 sinsin coscos sincos 故 SSSRR OAB OAB 弓扇 22 11sincos 故选 D A B C R 1 O 8 A 用心 爱心 专心 二 填空题 9 35526517585 分析 分析 根据终边相同的角的关系有436020 kkZ 然后结合确定 k 值 从而求出 3600 解 解 由题意 436020 kkZ kkZ 905 3600 3609050 4 5 90 5 90 4321 kkZ k kZ k 代入中得到 k 905 355265