高中数学 1.2应用举例（三）全册精品教案 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 1 21 2 解三角形应用举例解三角形应用举例 第三课时第三课时 一 教学目标一 教学目标 1 1 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 2 2 通过综合训练强化学生的相应能力 让学生有效 积极 主动地参与到探究问题的过程中来 逐步让学生自主发现规律 举一反三 3 3 培养学生提出问题 正确分析问题 独立解决问题的能力 并激发学生的探索精神 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 重点 重点 能根据正弦定理 余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 难点 难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 三 教学过程三 教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 提问 提问 前面我们学习了如何测量距离和高度 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余 边的问题 然而在实际的航海生活中 人们又会遇到新的问题 在浩瀚无垠的海面上如何确保 轮船不迷失方向 保持一定的航速和航向呢 今天我们接着探讨这方面的测量问题 讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1 如图 一艘海轮从 A 出发 沿北偏东 75 的方向航行 67 5 n mile 后到达海岛 B 然后从 B 出 发 沿北偏东 32 的方向航行 54 0 n mile 后达到海岛 C 如果下次航行直接从 A 出发到达 C 此船应 该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到 0 1 距离精确到 0 01n mile 学生看图思考并讲述解题思路 分析 首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边 所对的角 ABC 即可用余弦定理算出 AC 边 再 根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 CAB 解 在 ABC 中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 AC ABCBCABBCAB cos2 22 137cos 0 54 5 672 0 54 5 67 22 113 15 根据正弦定理 CAB BC sin ABC AC sin sin CAB AC ABCBC sin 15 113 137sin0 54 0 3255 所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 答 此船应该沿北偏东 56 1 的方向航行 需要航行 113 15n mile 例例 2 2 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 沿 BE 方向前进 30m 至点 C 处测得顶端 A 的 仰角为 2 再继续前进 103m 至 D 点 测得顶端 A 的仰角为 4 求 的大小和建筑物 AE 的高 用心 爱心 专心2 解法一 用正弦定理求解 由已知可得在 ACD 中 AC BC 30 AD DC 103 ADC 180 4 2sin 310 4180sin 30 因为 sin4 2sin2 cos2 cos2 2 3 得 2 30 15 在 Rt ADE 中 AE ADsin60 15 答 所求角 为 15 建筑物高度为 15m 解法二 设方程来求解 设 DE x AE h 在 Rt ACE 中 103 x 2 h 2 30 2 在 Rt ADE 中 x 2 h 2 103 2 两式相减 得 x 53 h 15 在 Rt ACE 中 tan2 x h 310 3 3 2 30 15 答 所求角 为 15 建筑物高度为 15m 解法三 用倍角公式求解 设建筑物高为 AE 8 由题意 得 BAC CAD 2 AC BC 30m AD CD 103m 在 Rt ACE 中 sin2 30 x 在 Rt ADE 中 sin4 310 4 得 cos2 2 3 2 30 15 AE ADsin60 15 答 所求角 为 15 建筑物高度为 15m 例例 3 3 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船 正沿南偏东 75 的方向以 10 海里 小时的速度向我海岸行驶 巡逻艇立即以 14 海里 小时的速度沿着直线方向追去 问巡逻 艇应该沿什么方向去追 需要多少时间才追赶上该走私船 用心 爱心 专心3 师 你能根据题意画出方位图 教师启发学生做图建立数学模型 分析 这道题的关键是计算出三角形的各边 即需要引入时间这个参变量 解 如图 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船 则 CB 10 x AB 14x AC 9 ACB 75 45 120 14x 2 9 2 10 x 2 2 9 10 xcos 120 化简得 32x 2 30 x 27 0 即 x 2 3 或 x 16 9 舍去 所以 BC 10 x 15 AB 14x 21 又因为 sin BAC AB BC 120sin 21 15 2 3 14 35 BAC 383 1 或 BAC 1417 4 钝角不合题意 舍去 383 1 45 833 1 答 巡逻艇应该沿北偏东 833 1 方向去追 经过 1 4 小时才追赶上该走私船 评注 评注 在求解三角形中 我们可以根据正弦函数的定义得到两个解 但作为有关现实生活的应用题 必须检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 课堂练习课堂练习 课本第 16 页练习 课时小结课时小结 解三角形的应用题时 通常会遇到两