高中数学 1.3.3球的表面积与体积教案 新人教A版必修2

用心 爱心 专心1 第三课时第三课时 球的表面积与体积球的表面积与体积 一 教学目标 1 知识与技能 1 了解球的表面积与体积公式 不要求记忆公式 2 培养学生空间想象能力和思维能力 2 过程与方法 通过作轴截面 寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系 3 情感 态度与价值 让学生更好地认识空间几何体的结构特征 培养学生学习的兴趣 二 教学重点 难点 重点 球的表面积与体积的计算 难点 简单组合体的体积计算 三 教学方法 讲练结合 教学过程教学内容师生互动设计意图 新课引入 复习柱体 锥体 台体的表 面积和体积 点出主题 师生共同复习 教师点 出点题 板书 复习巩固 探索新知 1 球的体积 3 4 3 VR 2 球的表面积 2 4SR 师 设球的半径为R 那 么它的体积 3 4 3 VR 它 的面积 2 4SR 现在请大家 观察这两个公式 思考它们 都有什么特点 生 这两个公式说明球 的体积和表面积都由球的半 径R惟一确定 其中球的体积 是半径R的三次函数 球的 表面积是半径R的二次函数 师 肯定 球的体积 公式和球的表面积公式以后 可以证明 这节课主要学习它 们的应用 加强对公 式的认识 培养学生 理解能力 典例分析 例 1 如图 圆柱的底面直径与 高都等于球的直径 教师投影例 1 并读题 学生先独立完成 教师投影答 案并点评 本题联系各有关 本题较易 学生独立 完成 有 用心 爱心 专心2 求证 1 球的体积等于圆柱体积 的 2 3 2 球的表面积等于圆柱的 侧面积 证明 1 设球的半径为R 则圆柱的底面半径为R 高为 2R 因为 3 4 3 VR 球 23 22VRRR 圆柱 所以 2 3 VV 球圆柱 2 因为 2 4SR 球 2 224SRRR 圆柱侧 所以 S球 S圆柱侧 例 2 球与圆台的上 下底面 及侧面都相切 且球面面积与圆 台的侧面积之比为 3 4 则球的体 积与圆台的体积之比为 A 6 13 B 5 14 C 3 4 D 7 15 解析 如图所示 作圆台 的轴截面等腰梯形ABCD 球的大 圆O内切于梯形ABCD 设球的半 径为R 圆台 的上 下底面半径分别为r1 r2 由平面几何知识知 圆台的高为 2R 母线长为r1 r2 量的关键性要素是球的半径 教师投影例 2 并读题 师 请大家思考一下这 道题中组合体的结构特征 生 球内切于圆台 师 你准备怎样研究这 个组合体 生 画出球和圆台的轴 截面 师 圆台的高与球的哪 一个量相等 生 球的直径 师 根据球和圆台的体 积公式 你认为本题解题关 键是什么 生 求出球的半径与圆 台的上 下底面半径间的关 系 师投影轴截面图 边分 析边板书有关过程 利于培养 学生问题 解决的能 力 通过师生 讨论 突 破问题解 决的关键 培养学生 空间想象 能力和问 题解决的 能力 用心 爱心 专心3 AOB 90 OE AB E 为切点 R2 OE2 AE BE r1 r2 由已知S球 S圆台侧 4 R2 r1 r2 2 3 4 r1 r2 2 2 16 3 R V球 V圆台 3 22 11 22 4 3 1 2 3 R rrrrR 22 2 22 121 2 22 16 3 RR rrrr RR 6 13 故 选 A 例 3 在球面上有四个点 P A B C 如果PA PB PC两 两垂直且PA PB PC a 求 这个球的体积 解 PA PB PC两两垂直 PA PB PC a 以PA PB PC为相邻三条 棱可以构造正方体 又 P A B C四点是球面 上四点 球是正方体的外接球 正 方体的对角线是球的直径 3 23 2 Ra Ra 师 简单几何体的切接 问题 包括简单几何体的内 外切和内外接 在解决这类 问题时要准确地画出它们的 图形 一般要通过一些特殊 点 如切点 某些顶点 或 一些特殊的线 如轴线或高 线等 作几何体的截面 在 截面上运用平面几何的知识 研究有关元素的位置关系和 数量关系 进而把问题解决 教师投影例 3 并读题 学生先思考 讨论 教师视 情况控制时间 给予引导 最后由学生分析 教师板书 有关过程 师 计算球的体积 首先必 须先求出球的半径 由于 PA PB PC是两两垂直的而 且相等的三条棱 所以P ABC可以看成一个正方体的一 角 四点P A B C在球上 所以此球可视为PA PB PC 为相邻三条棱的正方体的外 接球 其直径为正方体的对 角线 本题有两 种解题方 法 此处 采用构造 法解题 目标培养 学生联想 转化化归 的能力 另 一种方法 因要应用 球的性质 可在以后 讨论 用心 爱心 专心4 33 443 332 VRa 3 3 2 a 随堂练习 1 1 将一个气球的半径扩 大 1 倍 它的体积扩大到原来的 几倍 2 一个正方体的顶点都在 球面上 它的棱长是a cm 求球 的体积 3 一个球的体积是 100 cm2 试计算它的表面积 取 3 14 结果精确到 1cm2 可用计 算器 参考答案 1 1 8 倍 2 3 3 6 a cm 3 104 学生独立完成 巩固 所学知识 归纳总结 1 球的体积和表面积 2 等积变换 3 轴截面的应用 学生独立思考 归纳 然后师生共同交流 完善 归纳 知识 提 高学生自 我整合知 识的能力 课后作业1 3 第三课时 习案学生独立完成 固化练习 提升能力 备用例题 例 1 已知过球面上三点A B C的截面到球心的距离等于球半径 的一半 且AC BC 6 AB 4 求球面面积与球的体积 分析 可以用球的截面性质 即截面小圆的圆心到球心的线段 垂直于截面小圆平面 解析 如图 设球心为O 球半径为R 作OO1 平面ABC于O1 由于OA OB OC R 则O1是 ABC的外心 用心 爱心 专心5 设M是AB的中点 由于AC BC 则O1 CM 设O1M x 易知O1M AB 则O1A 22 2x O1C CM O1M 22 62 x 又O1A O1C 2222 262xx 解得 7 2 4 x 则O1A O1B O1C 9 2 4 在 Rt OO1A中 O1O 2 R OO1A 90 OA R 由勾股定理得 222 9 2 24 R R 解得 3 6 2 R 故 23 4 454 27 6 3 SRVR 球面球 例 2 如图所示棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 边长为a PD a PA PC 2a 且PD是四棱锥的高 1 在这个四棱锥中放入一个球 求球的最大半径 2 求四棱锥外接球的半径 分析 1 当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大 即球心到各个面的距离 均相等 联想到用体积分割法求解 2 四棱锥的外接球的球心到P A B C D五点的 距离均为半径 只要找出球心的位置即可 球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线 上 解析 1 设此球半径为R 最大的球应与四棱锥各个面都相切 设球心为S 连结 SA SB SC SP 则把此四棱锥分为五个棱锥 设它们的高均为R 3 111 333 PABCDABCD VSPDa a aa A 2 11 22 PADPDC SSa aa AA 图 4 3 9 用心 爱心 专心6 2 12 2 22 PABPBC SSaaa AA S ABCD a2 VP ABCD VS PDA VS PDC V S ABCD VS PAB Vs PBC 3 11 33 PADPDCPABPBCABCD aR SSSSS AAAAA 322222 111122 332222 aRaaaaa 所以 23 1 22 33 R aa 222 1 22 22 a Raa 即球的最大半径为 2 1 2 a 2 法一 设PB的中点为F 因为在 Rt PDB中 FP FB FD 在 Rt PAB中 FA FP FB 在 Rt PBC中 FP FB FC 所以FP FB FA FC FD 所以F为四棱锥外接球