高中数学第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛《简单的线性规划（二）》教案

用心 爱心 专心 1 7 7 4 4 简单的线性规划 第二课时 简单的线性规划 第二课时 教学目标 1 了解线性规划的意义以及约束条件 目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概 念 2 理解线性规划问题的图解法 3 培养学生观察 联想以及作图的能力 渗透集合 化归 数形结合的数学思想 教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点 准确求得线性规划问题的最优解 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学方法 学生探索 交流与教师启发 引导相结合的教学方法 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 一 复习引入 上节课我们学习了二元一次不等式表示平面区域 请同学们先作出不等式组 表示的平面区域 请一位同学说出应如何作出这个平面区域 阴影区域的每 43 3525 1 xy xy x 一个点的坐标都是不等式组的解 以不等式组的解为坐标的点也都在阴影区域内 所以 已 知不等式组 实质上就是已知这个阴影区域 二 提出问题 43 35252 1 xy xyzxy x 已知 求的最大值 求的最大值 这是一个我们不太熟悉的问题 实际上是一个函数 2zxy 2zxy 只不过它的自变量不再是单个的 而是与两个自变量 是一个二元函数 其中 xxyx 分别是阴影区域内点的横 纵坐标 阴影区域内每一个点都会对应着一个值 我们不妨yz 先在阴影区域内取一点 看一看它所对应的值是多少 由此开始我们今天的探究 z 三 解决问题 独立探究 合作交流 三分钟独立探究 两分钟合作交流 1 点 2 2 所对应的值为多少 还有哪些点所对应的值与之相同 zz 2 哪些点所对应的值为 7 z 3 有没有点对应的值为 20 z 4 的取值应满足什么条件 z 5 哪个点所对应的值最大 为什么 z 6 如何求出的最大值 z 成果展示 由师生共同完成 1 点 2 2 所对应的值为多少 6 z 用心 爱心 专心 2 还有哪些点所对应的值与之相同 直线上的点 确切的说应该是直线z62 yx 与阴影区域的公共点 62 yx 2 哪些点所对应的值为 7 直线与阴影区域的公共点 z72 yx 这两条直线的关系 平行 斜率都为 2 3 有没有点对应的值为 20 没有 因为直线与阴影区域无公共点 z202 yx 4 的取值应满足什么条件 应该使斜率为 2 的直线与阴影区域有公共点 z 刚才 同学们实际上是用了斜率为 2 的无数条直线把阴影区域分成了无数组 其中每一 组的点所对应的值相等 不同组的点所对应的值不同 那么zz 5 哪个组所对应的值最大 为什么 z 我们看直线 6 的几何意义是什么 6 为直线在26xy 2626xyyx 轴上的截距 一般的 实质上为与阴影区域有公共点的这些y22zxyyxz z 斜率为 2 的直线在轴上的截距 显然 当直线经过点时 有最大值 yAz 6 如何求出的最大值 z 先解出点的坐标 再代入到中求出的值 为最大值 A 5 2 2zxy z 7 反思过程 提炼该题的方法 给出相关概念 如果这个问题重新给你 还用不用再找一个点试一试呢 不用 那解决该题的步骤应该是 怎样的呢 由学生回答 实际上 刚才同学们共同努力解决的这个问题就是我们数学中的线性规划问题 板书课 题 结合该题给出相关概念 8 求的最小值 43 3525 1 xy xy x 已知2zxy 受引例的影响 学生会在潜意识里认为就是直线在轴上的截距 这时 我给出学生zy 上述问题 学生会发现实际上是与截距有关的某个量 2 22 xz zxy y z 刚才 我们已经完成了两个线性规划的问题了 同学们能不能根据这两道题来总结出解决 此类问题的步骤呢 9 一般的 已知某个二元一次不等式组 如何求目标函数的最值 0 BByAxz 四 形成一般方法 1 2 0 Az zAxBy Byx BB 作出可行域 目标函数 变形为 用心 爱心 专心 3 3 4 Az BB 作斜率为的一组平行线 结合的几何意义找到最优解 解方程组求出最优解 并作出答案 五 练习巩固 5315 1 53 1 35 2 35 3 106 xy yx xy zxy zxy zxy 1 已知求下列目标函数的最大值 43 35255 2 1 xy xyzaxya x 2 已知 若目标函数仅在点 处取得最大值 求的取值范围 43 3525 1 xy y xy x x 3 已知 求z 的取值范围 六 课堂小结 1 线性规划的具体操作步骤要熟记于心 要能快速准确地作出可行域 找到最优解 求 出最值 2 线性规划实质上是 数形结合 思想的一种体现 这种思想不仅可以用来求线性目标 函数的最值 也可以用来解决一些非线性目标函数的最值问题 3 线性规划被誉为 20 世纪对科学发展和工程实践影响最大的十大算法之一 在很多实 际问题中都有非常重要的应用 例如 在一些实际问题中 线性目标函数表示利润 我