高中数学 第一章知识总结 新人教A版选修2

用心 爱心 专心1 导数的基础知识导数的基础知识 一 导数的定义 0 00 00 0 0 lim lim x x x x f xxf x yf xxxfxy x f xxf x yf xfxy x 1 1 函数在处的导数 2 函数的导数 2 利用定义求导数的步骤 求函数的增量 求平均变化率 00 yf xxf x 00 f xxf xy xx 取极限得导数 0 0 lim x y fx x 下面内容必记 二 导数的运算 下面内容必记 二 导数的运算 1 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式 0 CC 为常数 1 nn xnx 1 1 nn n xnx x 1 mm nn nm m xxx n sin cosxx cos sinxx xx ee ln 0 1 xx aaa aa 且 1 ln x x 1 log 0 1 ln a xaa xa 且 法则 1 口诀 和与差的导数等于导数的和与差 f xg xfxg x 法则 2 口诀 前导后不导相乘 后导前不导相乘 中间是正号 f xg xfxg xf xg x 法则 3 2 0 f xfxg xf xg x g x g xg x 口诀 分母平方要记牢 上导下不导相乘 下导上不导相乘 中间是负号 2 复合函数的导数求法 yf g x 换元 令 则 分别求导再相乘 回代 ug x yf u yg xf u ug x 题型一 导数定义的理解题型一 导数定义的理解 题型二 题型二 导数运算 三 导数的物理意义 1 求瞬时速度 物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数 0 t 0 V Sf t 0 tt 0 ft 即有 00 Vft 2 V s t 表示即时速度 a v t 表示加速度 四 导数的几何意义 函数在处导数的几何意义 曲线在点处切线的斜率是 于是 f x 0 x yf x 00 P xf x 0 kfx 相应的切线方程是 000 yyfxxx 题型三 用导数求曲线的切线 注意两种情况 1 曲线在点处切线 性质 yf x 00 P xf x 0 kfx 切线 相应的切线方程是 000 yyfxxx 2 曲线过点处切线 先设切点 切点为切点为 则斜率则斜率 k k 切点 切点 yf x 00 P xy Q a b fa Q a b 在曲线在曲线上 切点上 切点在切线在切线上 切点上 切点坐标代入方程得关于坐标代入方程得关于 a ba b yf x Q a b 00 yyfaxx Q a b 用心 爱心 专心2 的方程组 的方程组 解方程组来确定切点 最后求斜率斜率 k k 确定切线方程 fa 1 1 在曲线 y x3 3x2 6x 10 的切线中 求斜率最小的切线方程 解析 1 当 x0 1 时 k 有最小值 3 3 1x 36x62x3 yk 2 000 xx 0 此时 P 的坐标为 1 14 故所求切线的方程为 3x y 11 0 五 函数的单调性 设函数在某个区间内可导 yf x 1 该区间内为增函数 0fx f x 2 该区间内为减函数 0fx f x 注意 当在某个区间内个别点处为零 在其余点处为正 或负 时 在这个区间上仍是递增 fx f x 或递减 的 3 在该区间内单调递增在该区间内恒成立 f x 0fx 4 在该区间内单调递减在该区间内恒成立 f x 0fx 题型一 利用导数证明 或判断 函数题型一 利用导数证明 或判断 函数f x x 在某一区间上在某一区间上单调性 单调性 步骤 1 求导数 xfy 2 判断导函数在区间上的符号 xfy 3 下结论 该区间内为增函数 0fx f x 该区间内为减函数 0fx f x 题型二 利用导数求单调区间题型二 利用导数求单调区间 求函数求函数单调区间的步骤为单调区间的步骤为 xfy 1 分析 的定义域 2 求导数 xfy xfy 3 解不等式 解集在定义域内的部分为增区间0 x f 4 解不等式 解集在定义域内的部分为减区间0 x f 题型三 利用单调性求参数的取值 转化为恒成立问题 题型三 利用单调性求参数的取值 转化为恒成立问题 思路一 1 在该区间内单调递增在该区间内恒成立 f x 0fx 2 在该区间内单调递减在该区间内恒成立 f x 0fx 思路二 先求出函数在定义域上的单调增或减区间 则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或 减区间的子集 注意 若函数f x 在 a c 上为减函数 在 c b 上为增函数 则x c 两侧使函数 x 变 f 号 即 x c 为函数的一个极值点 所以 0fc 题型四 先利用导数证明 或判断 函数利用导数证明 或判断 函数 f x 在某一区间上单调性 再比较大小单调性 再比较大小 2 若函数 若则 x x xf ln 5 4 3 fcfbfa A a b c B c b a C c a b D b a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在 R R 内单调递增 xf 0 在 R R 上恒成立 ex a 0 即 a ex在 R R 上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 由题意知 x 0 为 f x 的极小值点 0 f 0 即 e0 a 0 a 1 例例 已知函数 f x x3 ax2 bx c 曲线 y f x 在点 x 1 处的切线为 l 3x y 1 0 若 x 3 2 时 y f x 有极 值 1 求 a b c 的值 2 求 y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解解 1 由 f x x3 ax2 bx c 得 xf 3x2 2ax b 当 x 1 时 切线 l 的斜率为 3 可得 2a b 0 当 x 3 2 时 y f x 有极值 则 3 2 f 0 可得 4a 3b 4 0 由 解得 a 2 b 4 由于切点的横坐标为 x 1 f 1 4 1 a b c 4 c 5 2 由 1 可得 f x x3 2x2 4x 5 xf 3x2 4x 4 令 xf 0 得 x 2 x 3 2 当 x 变化时 y y 的取值及变化如下表 用心 爱心 专心4 x 3 3 2 2 3 2 2 3 2 1 3 2 1 y 0 0 y8 单调递增 13 单调递减 27 95单调递增 4 y f x 在 3 1 上的最大值为 13 最小值为 27 95 例 当 0 x 证明不等式xx x x 1ln 1 证明 证明 x x xxf 1 1ln xxxg 1ln 则 2 1 x x xf 当0 x时 xf 在 0内是增函数 0 fxf 即0 1 1ln x x x 又 x x xg 1 当0 x时 0 x g xg 在 0内是减函数 0 gxg 即 0 1ln xx 因此 当0 x时 不等式xx x x 1ln 1 成立 点评 点评 由题意构造出两个函数 x x xxf 1 1ln xxxg 1ln 利用导数求函数的单调区间或求最值 从而导出是解决本题的关键 1 定积分的概念 定积分的概念 设函数在区间上连续 则 f x a b 1 lim n b i an i ba f x dxf n 2 用定义求定积分的一般方法是 分割 等分区间 近似代替 取点 求和 n a b 1 iii xx 取极限 1 n i i ba f n 1 lim n b i an i ba f x dxf n 3 曲边图形面积 0 b a f xSf x dx 0 b a f xSf x dx 在轴上方的面积取正 下方的面积取负 x 变速运动路程 变力做功 2 1 t t Sv t dt b a WF r dr 4 定积分的性质 定积分的性质 性质性质 2 其中 k 是不为 0 的常数 b a b