高三数学理第一轮复习：指数、对数函数人教版

用心 爱心 专心 高三数学理第一轮复习 指数 对数函数人教版高三数学理第一轮复习 指数 对数函数人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 高三第一轮复习 指数 对数函数 二 教学重 难点 理解分数指数幂的概念 掌握指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图象和性质 理解对数的概念 掌握对数的运算性质 掌握对数函数的概念 图象和性质 能运用指数 函数和对数函数的性质解决某些简单实际问题 典型例题典型例题 例 1 要使函数ay xx 421在 1 上0 y恒成立 求a的取值范围 解 解 由题意 得0421 a xx 在 1 上恒成立 即 x x a 4 21 在 1 x上恒成立 又 xx x x 2 1 2 1 4 21 2 4 1 2 1 2 1 2 x 当 1 x时 值域为 4 3 4 3 a 例 2 已知 1 3 log 2 3 1 xxf 求 xf的值域及单调区间 解 解 真数3 1 3 2 x 13log 1 3 log 3 1 2 3 1 x 即 xf的值域是 1 又0 1 3 2 x 得3131 x 1 31 x时 2 1 3 x单调递增 从而 xf单调递减 31 1 x时 xf单调递增 例 3 已知函数 1 1 log x mx xf a 是奇函数 0 a 1 a 1 求m的值 2 判断 xf在区间 1 上的单调性并加以证明 用心 爱心 专心 3 当1 a 2 arx时 xf的值域是 1 求a与r的值 解析 解析 1 xf是奇函数 xfxf 在其定义域内恒成立 即 1 1 log x mx a 1 1 log x mx a 222 11xxm 恒成立 1 m或m1 舍去 1 m 2 由 1 得 1 0 1 1 log aa x x xf a 任取 21 xx 1 设 21 xx 令 1 1 x x xt 则 1 1 1 1 1 x x xt 1 1 2 2 2 x x xt 1 1 2 1 1 1 1 21 12 2 2 1 1 21 xx xx x x x x xtxt 2121 1 1xxxx 0 01 01 1221 xxxx 21 xtxt 即 1 1 1 1 2 2 1 1 x x x x 当1 a时 1 1 log 1 1 log 2 2 1 1 x x x x aa xf在 1 上是减函数 当10 a时 xf在 1 上是增函数 3 当a1 时 要使 xf的值域是 1 则1 1 1 log x x a a x x 1 1 即0 1 1 1 x axa 而1 a 上式化为0 1 1 1 x a a x 又 1 2 1 log 1 1 log xx x xf aa 当1 x时 0 xf 当1 x时 0 xf 因而 欲使 xf的值域是 1 必须1 x 用心 爱心 专心 对不等式 当且仅当 1 1 1 a a x时成立 1 1 1 2 1 a a a a r 1 r 32 a 例 4 设ba 分别是方程03log2 xx和032 x x 的根 求ba 及 b a2log2 的值 解 解 在直角坐标系中分别作出函数 x y2 和 2 log yx的图象 再作直线xy 和 3 xy的图象 如图 x y2 与xy 2 log 互为反函数 它们的图象关于直线xy 对称 方程03log2 xx的根a就是直线3 xy与对数函数 2 log yx的图象的交 点 A 的横坐标 方程032 x x 的根 b 就是直线3 xy与指数函数2 y x 的图象 的交点 B 的横坐标 设3 xy与xy 的交点为 M 则 M 2 3 2 3 而由对称性知 M 为线段 AB 的 中点 32 M xba 322log2 M b ya 例 5 设函数axf x 31 1 若 xf的定义域为 1 求a的取值范围 2 若 xf在 1 上有意义 求a的取值范围 用心 爱心 专心 解 解 1 由题意知 031 a x 的解集为 1 13 a x 当0 a时 Rx 不合题意 当a0 时 a x 1 3 1 log3 a x 1 1 log3 a 3 1 a 2 由题意知 031 a x 在 1 上恒成立 即 x a 3 1 在 1 上恒成立 令 xg x 3 1 1 x 则 3 1 max xg 3 1 a 例 6 设函数 14 log 2 2 mxmxxf 1 若 xf的定义域为 R 求m的取值范围 2 若 xf的值域为 R 求m的取值范围 解 解 1 由题意知 014 2 mxmx的解集为 R 当0 m时 成立 当0 m时 0416 0 2 mm m 4 1 0 m 由 知 4 1 0 m 2 令14 2 mxmxxt 则 log 2 xtxfy 函数的值域为 R 必有 xt取到大于 0 的所有值 即 0 14 2 mxmxxtxt 0416 0 2 mm m 4 1 m 例 7 已知 2 2 1 P 22 log 2 2 xaxy的定义域为 Q 1 若 QP 求实数a的取值范围 2 若2 22 log 2 2 xax在 2 1 2 内有解 求a的取值范围 用心 爱心 专心 解 解 1 若 QP 则在 2 2 1 内至少有一个值 使022 2 xax成立 即在 2 2 1 内 至少有一个值使 xx a 22 2 成立 设 xx t 22 2 当 2 2 1 x时 2 1 4 t 4 a 2 方程2 22 log 2 2 xax在 2 2 1 内有解 4log 22 log 2 2 2 xax 022 2 xax在 2 2 1 内有解 即在 2 2 1 内有值使 xx a 22 2 成立 设 2 1 2 11 2 22 2 2 xxx at 2 2 1 x时 12 2 3 t 12 2 3 a 例 8 设txtxM 1log 2 log 2 2 2 若t在 2 2 上变化时 M 的值域为正数 求x的取值范围 解 解 1log2 log 1 log 2 2 22 xxtxM 当 2 2 t时 恒成立 0 2 0 2 t t 1log1log 1log3log 22 22 xx xx 或 或 3log2 x或1log2 x 8 x或 2 1 0 x 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 若函数1 bay x 0 a且1 a 的图象经过二 三 四象限 则一定有 A 10 a且0 b B 1 a且0 b C 10 a且0 b D 1 a且0 b 2 已知函数 4 1 4 2 1 xxf x xf x 则 3log2 2 f的值为 A 3 1 B 6 1 C 12 1 D 24 1 3 若10 a 且函数xxf a log 则下列各式中成立的是 用心 爱心 专心 A 4 1 3 1 2 fff B 3 1 2 4 1 fff C 4 1 2 3 1 fff D 2 3 1 4 1 fff 4 已知0 a 集合 2 axxA 1 x axB 若 BA 则实数 a的取值范围是 A 2 B 1 0 C 2 1 0 D 1 1 0 5 已知函数 3 log 2 axxxf a a0 且1 a 满足 对任意实数 21 xx 当 2 21 a xx 时 总有0 21 xfxf 那么实数a的取值范围为 A 0 3 B 1 3 C 0 32 D 1 32 6 设函数xxf a log 1 0 aa 满足2 9 f 则 2 log9 1 f等于 A 2 B 2 C 2 D 2 7 已知nm 1 令 2 log ma n 2 log mb n loglogmc nn 则 A cba B bca C cab D bac 8 若方程 1 2 1 4 1 xx 0 a有正数解 则实数a的取值范围是 A 1 B 2 C 2 3 D 0 3 二 解答题 1 已知函数 x x x xf 1 1 log 1 2 求函数 xf的定义域 并讨论它的奇偶性和单调 性 2 若方程 lg 3lg lg 2 Raaxx在区间 3 4 内有解 则a的取值范围是 3 设Ra 12 22 x x aa xf Rx 是奇函数 1 求a的值 2 判断 xf的单调性 并证明你的结论 3 当0 k时 解关于x的不等式 k x xf 1 log 2 1 用心 爱心 专心 4 当3 n时 比较 nf与 1 1 n n ng的大小 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 选择题 1 C 解析 解析 作出函数1 bay x 的草图或用特值法 2 D 解析 解析 43log23 2 43log3 2 24 1 2 1 2 1 2 1 3log3 3log2 3log33log3 22 22 ff 3 D 解析 解析 由题意知 1 log 1 0 log xx xx xf a a 故 4 1 3 1 ff 又 2 1 log2log 2 aa f 故 3 1 2 ff 4 C 解析 解析 22 axaxA 当1 a时 0 xxB 又 BA 故02 a 即a2 当1 a时 B 当10 a时 0 xxB 又02 a 故 BA 综上 可知 2 1 0 a 5 D 解析 解析 由题意知函数 xf在 2 a 上恒成立且单调递减 即 1 012 2 a a 解得 321 a 6 A 解析 解析 由题意知 9log2 a 3 a xxf 3 log 的反函数为 1 xf x 3 所以23 2 log 2log 9 1 9 f 故选 A 7 D 解析 解析 nm 1 1log0 m n 0 loglog m nn 用心 爱心 专心 8 D 解析 解析 令1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 221 xxxxx xf 当x0 时 xf的值域为 0 3 方程0 2 1 4 1 1 a xx 有正数解 即axf 在 0 上能成立 故 3 0 a 即 0 3 a 二 解答题 1 解 1 由 0 1 1 0 x x x 解得 xf的定义域为 1 0 0 1 2 x xf 1 x x 1 1 log2 1 2 1 1 log 1 x x x 1 1 log 1 2 xf x x x xf为奇函数 3 任取10 21 xx 2 2 2 21 1 2 1 21 1 1 log 1 1 1 log 1 x x xx x x xfxf 1 1 1 1 log 12 12 2 21 12 xx xx xx xx 2112 2112 2 21 12 1 1 log xxxx xxxx xx xx 10 21 xx 2112 0 xxxx 故0 1 1 21122112 xxxxxxxx 故1 1 1 2112 2112 xxxx xxxx 0 1 1 log 2112 2112 2 xxxx xxxx 故0 21 xfxf xf在 0 1 上为减函数 又 xf为奇函数 xf在 0 1 上也为减函数 用心 爱心 专心 2 解 原题可化为a x x 3 2 在 3 4 内有解 即 3 2 x x a在 3 4 内能成立 由 3 1 4 1 1 13 1 3 2 2 t x t xx x x a tt 2 3 1 3 2 16 7 3 2 tt 故 7 16 2 3 a 3 解析 解析 1 Rx 且 xf是奇函数 0 0 f 即 2 22 0 a 1 a 而当1 a时 12 12 x x xf 有 21 21 12 12 xfxf x x x x xf为奇函数 故1 a为所求 2 12 12 x x xf在Rx 上可导 2 12 12 12 12 12 x xxxx xf 2 12 12 2 ln2 12 2 ln2 x xxxx 0 12 2 2 ln2 2 x