微元法的探究及其应用论文

信阳师范学院华锐学院 本科毕业论文本科毕业论文 专 业 数学计算机科学系 年 级 2008 级 姓 名 胡锦波 论文题目 微元法的探究及其应用 指导教师 黄封林 职称 讲师 2012 年 5 月 5 日 学号 20087031192 目目 录录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Key Words 1 1 微元理论 1 2 利用微元的一般条件 2 3 微元法的解题步骤 4 4 微元的应用 5 4 1 微元在几何中的应用 5 4 1 1 平面曲线弧长的计算 5 4 1 2 曲面面积的计算 5 4 2 微元法在物理学中的应用 6 4 2 1 电磁感应中的应用 6 4 2 2 变力做功的问题 7 5 微元法在其他方面的应用 8 5 1 算数平均值的求法 8 5 2 经济上的应用 9 5 3 日常生活的应用 9 参考文献 11 1 微元法的探究及其应用微元法的探究及其应用 学生姓名 胡锦波 学号 20087031192 数学与计算机科学系 数学与应用数学专业 指导老师 黄封林 职称 讲师 摘摘 要要 微元法是处理微积分问题的重要方法 微元法的使用使原本复杂 的积分问题变得容易处理 本文将给出微元法的原理 使用方法及使用条件 使 对微元法有更深刻的认识 然后介绍微元法在几何学 物理上的应用 解决一些 具体的实际问题 并研究如何使用微元法更加简单 高效 关键词关键词 定积分 微元法 弧长 面积 功 Abstract Micro element method is an important treatment method for calculus problems The use of Micro element method make originally complex integral problem becomes easy to deal with This paper will give the principle of micro element method the use of methods and conditions of use of micro element method to gain a deeper understanding Then introduce applications of micro element method in geometry and physics to solve specific practical problems and learn how to use micro element method is more simple and efficient Key Words Definite integral Micro element method Arc lengths Area Power 1 1 微元法理论微元法理论 应用定积分解决实际问题时 通常并不是通过定积分定义中的四步曲 分割 取 近似 求和 取极限 得到定积分表达式的 而是利用步骤更简单的微元法 又称 元素法 得到定积分表达式 它在处理各类积分的应用问题中是一脉相通的 也 是学好各类积分的理论依据 微元法理论是通过定积分的定义演化而来的要想深 刻理解微元法需要先了解定积分的定义 设函数在上有界 若对任意分法 f x a b a b 012 n axxxxb 令任取 只要时 趋于确定的值 则 1iii xxx 1 max 0 i i n x 1 n ii i fx I 称此极限值为函数在区间上的定积分 记作 即I f x a b b a f x dx 2 此时称在上可积 计算曲边梯形面积的具 0 1 lim n b ii a i f x dxfx f x a b 体步骤 1 分割 在区间中任意插入个分点 用直线 a b1n 012 n axxxxb 将曲边梯形分成个小曲边梯形 i xx n 2 局部近似 在第 个窄曲边梯形上任取 作以为底 以为高的窄i 1 iii xx 1 ii xx i f 矩形 并以此窄矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积 得 i A iii Afx 1 1 2 iii xxxin 3 求和 11 nn iii ii AAfx 4 取极限 令 则有 1 max i i n x 0 1 lim n ii i Afx 我们可以发现上述操作过程来得较为繁琐 我们就是要把上述复杂的问 题通过微元法转化为求定积分的问题 这样问题就变得极其简单 2 2 利用微元的一般条件利用微元的一般条件 一般地 若某一实际问题中的所求量符合下列条件 便可以考虑用定积分U 来表示这个量 U 1 是与一个变量的变化区间有关的量 U a b 2 对于区间具有可加性 就是说如果把区间分成许多部分区间 U a b a b 相应地分成许多部分量 等于所有部分量之和 UU 3 3 在中任一微小区间上的分量 误差是的高U a bxx Uf xx x 阶无穷小量 即当时 那么就可以考虑通过微元法用定积0 x Uf xx 分来表示这个量 一般情况下 应用问题的变化是非均匀的 但在局部变化的一瞬间 改变量 可近似地看成是均匀变化的 这一瞬间的改变量往往正是 但注意 用dU 近似代替时 要求误差是的高阶无穷 即上述 3 的 dUf x dx U x 成立 对某些特殊问题 凭借直观图形得出的有时是错误 0 Uf xxx dU 的 所以使用微元法应注意 这里 检验是否为的高阶无穷小量就 Uf xx x 是一件极为重要的事情 同时往往也不是一件容易的事 因此对的 Uf xx 合理性需特别的小心 下面就这个问题作出 简单的探讨 在任一小区间 若能够把所求量的微小增量近似 x xxa b UU 表示为的线性形式 x Uf xx 其中为某一连续函数 而当时 这样以来 我们f0 x 0 Uf xxx 只要把定积分计算出来 就是所求量的结果 但是 我们不禁会问 b a f x dx U 时 为什么有 明白这个问题 对微元法加深理解0 x 0 Uf xxx 是很有用处的 这里就给出简单的证明 因为 所以 x a U xf x xx x Uf x dx 再根据积积分分第第一一中中值值定定理理 可得 xx x Uf x dxfx 其中是介于与之间的常量 则 xxx Uf xx ff x x 因为是连续的 所以 当时 有 从而有也就是 f x0 x x ff x 故 问题得证 0 Uf x x 0 0 Uf xxx 4 我们在数学分析课本求旋转曲面面积的时就对验证 0 Uf xxx 过程做了详细说明 这里就不做详细的介绍 所以 用微元法求解问题时 对 的验证 我们必须要引起足够的重视 0 Uf xxx 3 3 微元法的解题步骤微元法的解题步骤 微元法实质是把求累加量问题转化为定积分计算的简化 它省却了分微段 近似求和等过程 直接由微元累积导出积分 微元法是指通过从分析事物的极小 部分入手 达到使事物的整体问题得以解决的一种方法 运用微元法 在一定 的条件下可以把变化的 运动的 物理规律不适用的整体对象或整体过程转 化为不变的 静止的 物理规律适用的元对象或元过程 即变为理想的对 象 或过程 微元法可以是把研究物体取微元部分进行分析 也可以是把研究过程取 微元阶段进行分析 微元法的基本数学工具是有关近似 极限 数列知识以及 几何 三角中的知识 因此 微元法的集体步骤 简而言之就是分割 近似代替 求和 取极限求积分 具体操作就是 设想有一个函数 所求量可以表示为 然后实 F xA AF bF a 际进行以下三步 第一步 取 并确定它的变化区间 dx a b 第二步 设想把分成许多个小区间 取其中任一个小区间 相应 a b x xdx 于这个小区间的部分量 能近似地表示为与的乘积 就把称A f xdx f x dx 为量的微元并记作 即 AdA AdAf x dx 第三步 在区间上积分 得到 a b b a Af x dxF bF a 这里的关键和难点是求 在解决具体问题时本着是的线性主部的dAdAA 原则 这样计算的为精确值 A 明确了微元法的实质 求解步骤以及应该注意的问题 用微元法求解问题就 变得方便多了 下面给出实例 5 例例 1 1 求曲线 与区间所围的面积 3 yx 0 1 分析 分析 因在上连续 所以在可积 对进行等分 3 xf x 0 1 f x 0 1 0 1n 记其分割为取为区间的右端点 01 n Tx xx i i n 1 i ii nn 然后求极限或取积分即可求解 1 2 in 解 解 所求面积 1 3 00 1 1 lim 4 n ii T i Sfxx dx 4 4 微元法的应用微元法的应用 4 14 1 微元法在几何中的应用微元法在几何中的应用 我们在计算某些几何图形的面积时 往往会碰到那些不规则的几何图形 直 接计算起来很困难甚至无从下手 这时候微元法就发挥了极大作用 4 1 1 平面曲线弧长的计算 对平面曲线弧长的计算 我们采取的方法就是把所给的平面曲线无线切割 切成无限个小段 这些小段可以形象称为 微元 然后采取微元积分法就可以 将复杂问题简单化了 例例 2 2 求曲线的弧长 2 1 ln 1 0 2 yxx 解解 由弧长公式 1122 22 22 00 211 1 ln3 112 S xx ldsdx xx 4 1 2 曲面面积的计算 在平面图形的面积计算过程当中 对图形进行适当的分割有时是必要的 我 们所求面积的图形就好比一块大蛋糕 必要的时候 我们就得拿起小刀 对这块 蛋糕 进行分割 把它切割成符合我们要求的形状 然后再求出每小块 蛋糕 的面积 最后把它们加起来就是整块 蛋糕 的面积了 类似于求平面曲线弧长 的方法 对所给的图形面积进行无限切割 得到无数个小块 就是面积微元 同样 6 的 采取微元积分法就可以求解 例例3 3 计算由抛物线与直线所围成的平面图形的面积 2 2yx 4yx 解解 如图 抛物线与直线的交点 2 2 8 4 它的变化范围是 在其上任取子区间 则得面积微元 2 4 y ydy 于是面积 2 1 4 2 dAyy 22 2 22 1 4 2 AdAyy dy 图1 4 3 2 11 4 26 18 yy 若选横坐标x为积分变量 它的变化范围为 在上 0 8 0 2 面积微元 在上 面积微元 因而 2 4 dAxxdx 2 8 2 4 dAxxdx 面积 28 02 2 22418Axdxxxdx 这里选取为积分变量 计算过程简便一些 y 4 24 2 微元法在物理学中的应用微元法在物理学中的应用 微元法的应用是微积分思想在解决物理问题的应用和体现 在力学 热学和 电磁学中的应用尤多 微元法的思想是 对于复杂的物理对象 要化整体到局部 将不能解决的问题转化为可解决问题的集合 在一定的条件下可以把变化的 运动的 物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的 静止的 物理 规律适用的元对象或元过程 即变为理想的对象或过程 即将事件过程经历的 空间或时间分割为无限小的空间或时间的集合 这个分割的过程即是微分的应用 在 每个无限小范围内 是可以将非线性视为线性 将非理想视为理想的 从而可以顺 利的在小范围内解决问题 将所有的小范围内的问题都解决掉后 再把全部结果 累积叠加 就得到了问题结论 这个积累的过程就是积分 4 2 1 电磁感应中的应用 例例4 4 如图所示 六段相互平行的金属导轨在同一水平面内 长度分别为和L 宽间距的导轨间相距均为 窄间距的导轨间相距均为 最左端用导线L2L2L 7 连接阻值为的电阻 各段导轨间均用导线连接 整个装置处于方向竖直向下 R 磁感应强度为的匀强磁场中 质量为的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑Bm 动 在滑动过程中保持与导轨垂直 导轨和导体棒电阻均忽略不计 现使导体棒 从位置以初速度垂直于导轨向右运动 则ab 0 v 1 若导体棒在大小为 沿初速度方向的恒定拉力作用下运动 到达位置Fcd 时的速度为 求在此运动的过程中电路v 产生的焦耳热 2 若导体棒在水平拉力作用下向右 做匀速运动 求导体棒运动到位置的cd 过程中 水平拉力做的功和电路中电流的有效值 图 2 3 若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用 求运动到位置时的速度大cd 小 解析 解析 1 22 0 11 9 22 QFLmvmv 2 23 0 12 18B L v WWW R 0 2BLv I R 重点讨论第 3 题 3 设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为和 1 v 在宽间距轨道上 根据牛顿第二定律 在时间内有 2 v ttt F vt m 则 1 2BL vI t m qI t 1 11 E qt RR 23 1 4B L v Rm 同理有 23 2 2B L v Rm 所以导体棒运动到位置时的速度大小cd 23 0120 18 3 B L vvvvv mR 4 2 2 变力作功问题 设力与物体的运动方向平行 约定 以物体的运动方向为坐标轴的正向 与坐标轴方向一致时为正 相反时为F R v0 B LLL2L 2L2L L2L a b c d c 8 负 如果是常力 则使得物体由点到点时 所作的功为 一般Fab abFW 如果是变力 设为 考虑物体在此力的作用下由点到点时所作的F xFF ab 功 积分变量 bax 功的微元为 图 3 badxxx dxxFdWW b a b a dxxFdWW 例例 5 5 将一弹簧平放 一端固定 已知将弹簧拉长 10 厘米用力需要 5牛顿 g 问若将弹簧拉长 15 厘米 克服弹性力所作的功是多少 解解 当弹簧被拉长为米时 弹性力为 从而所使用的外力为xkxf 1 由于米时 N 故 即 所作功kxff 1 1 0 xgf5 gk50 xgf50 为 5625 0 2 15 0 5050 2 15 0 0 xdxdxxFW b a J 5 5 微元法在其他方面的应用微元法在其他方面的应用 微元法在数学其他领域也有其广泛应用 甚至在经济 化工 医学 生物等 领域都有它的广泛应用 如人口统计 心脏输出量的测定 单位时间内的血流量 化学反应物的生成 生物群落的量的计算等等 下面举出三个方面来进行讨论 5 15 1 算术平均值的求法算术平均值的求法 设函数在闭区间上连续 将分成等份 设等分点依次为 xf ba ban 当足够大 每个小区间的长就足够小 于是可bxxxxa n 210 n ba x n 用近似代替小区间上各点的函数值 于是 i xf 11 xxx ii ni 2 1 在区间的近似平均值为 xf ba n i i n xf nn xfxfxf y 1 21 1 xF O ax dxx b x 9 当时 的极限就是在的平均值 据此 以及定积分的定义 0 xy xf ba 得 00 11 111 lim lim nn b ii axx ii yf xxf xxf x dx nbaba 例例 6 6 计算从 0 秒到秒这段时间内自由落体的平均速度 T 解解 自由落体的速度为 所以要计算的平均速度为 gtv 2 0 0 1 02 T Tg gT vgtdtt TT 5 25 2 经济上的应用经济上的应用 例例7 7 已知某厂生产某产品在时刻 的总产量的变化率 t 单位 小时 2 Rt505t0 6t 求从到这四个小总产量 1 t5 t 解解 设总产量为 已知在时刻时总产量的变化率为 它随时间 变R R t t 化 则总产量在内的微元为 R dttt dR 2 5050 6 dRR t dtttdt 因此 在内总产量为 5 1 5 2 1 50 5t 0 6t 23 2Rdt 5 35 3 日常生活中的应用日常生活中的应用 例例8 8 人口统计模型 某城市1990年的人口密度近似为表示 2 4 20 p r r 距市中心 公里区域内的人口数 单位为每平方公里10 万人 试求距市中心r 区域内的人口数 2km 解解 假设我们从城市中心画一条射线 把这条线上从0到2 之间分成个小n 区间 每个小区间的长度为 每个小区间确定了一个环 估算每个环中的人r 口数并把它们相加 就得到了总人口数 第 个环的面积为 i 2 222 1iii rrrrr 222 2 iii rrr rr 2 2 i r rr 10 于