高中数学教学论文 圆锥曲线的新定义及其应用

用心 爱心 专心 圆锥曲线的新定义及其应用圆锥曲线的新定义及其应用 摘要摘要 本文以定圆替代定直线作为准线研究了平面内动点轨迹 用解析的方法得到了圆锥曲线的三 个标准方程 总结出圆锥曲线的新定义 或称第三定义 并探讨了新定义与原第一 第二定义间 的相互关系 在建立准圆 中圆概念后 得出了三种标准圆锥曲线的绘制方法 并初步制成了能画 三种曲线的绘图仪 关键词 关键词 圆锥曲线 定圆 准圆 中圆 1 1 引言引言 圆锥曲线从产生至今已有 2300 多年的历史 早在公元前四世纪古希腊几何学家 天文学家梅内克缪斯 Menaechmus 约公元前 375 325 在解决 倍立方 问题中第一次涉及圆锥曲线的概念 所谓 倍立方 问题 即确定两体积相差二倍的正方体边长的关系问题 若a b分别为两正 方体的边长 当a已知时 如何确定 2 b 2 2 a中的b值 在用尺规作图解决此问题过程中 遇到 了抛物线和双曲线的作图问题 梅内克缪斯提出由圆锥可以截出三种曲线 约百年后 奥波罗尼奥斯 Apollonins 世纪前 262 190 在他的著作 圆锥曲线论 中系统 地阐述了圆锥曲面的定义 利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法 按照平面与圆锥曲面相截角度大小 的不同 如图 1 所示 顺次给出了圆锥曲线的三种名称 即双曲线 hyperbola 抛物线 parabola 和椭圆 ellipse 而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究 他虽然没有明 确给出焦点 准线等概念 但 椭圆上任一点到两定点的距离和为一定值 和 双曲线上的点到 两定点的距离差的绝对值是一个定值 这两个重要性质在他的著作中已有所介绍 这就为后来圆锥 曲线第一定义的建立打下了基础 同时代的欧几里得 Euclid 公元前 330 275 在他的巨著 几何原本 里描述了圆锥曲线 的共性 并给出了圆锥曲线的统一定义 即 平面内一点F和一定直线AB 从平面内的动点 M向AB引垂线 垂足为C 若 MC MF 的值一定 则动点M的轨迹为圆锥曲线 可惜的是欧几 里得没有给出这一定理的证明 600 多年后帕普斯 Pappus 约 290 350 在他的著作 数学汇编 中完善了这一统一定义 并给出了证明 1 圆锥曲线在历史上的两大重要应用是在文艺复兴后的 16 世纪发生的 其一是德国天文学家开 普勒 Kepler 1571 1630 经过许多次失败后 他发觉 对于观察到的火星运动 唯一的解释乃 是 火星轨道是以太阳为焦点的一个椭圆轨道 他同时给出了离心率的概念 其二是伽利略 Galileo 1564 1642 他结合精确的实验和数学分析 解决了抛射体坠落问题 证明若无空 气 抛射体便要遵循抛物线的路线 17 世纪笛卡尔坐标系的出现 将几何学与代数学结合在一起 使圆锥曲线的研究又前进了一 大步 1655 年英国数学家威廉斯 Wallis 导出了圆锥曲线方程 到 18 世纪 人们广泛地探讨了解析几何 除直角坐标系之外又建立了极坐标系 并能把这两 种坐标系相互转换 1745 年欧拉 Euler 1707 1783 发表了 分析引论 书中给出了现代形式下圆锥曲线的 系统阐述 包括现代教材中所用的圆准曲线标准方程 圆锥曲线的广泛实际应用激发了我的学习兴趣 数与形相结合的研究方法提高了我的思维能力 我在寻求用尺规作图法画圆锥曲线的过程中 较深入地研究了圆锥曲线的第一与第二定义 但对于 椭圆和双曲线的第二定义感到抽象难懂 它们也不便于用尺规绘制 因此 在用定圆替代定直线的 解析研究中 我试图寻找有利于尺规作图并能描述圆锥曲线的另一简明定义 2 2 关于圆锥曲线的第一定义与第二定义关于圆锥曲线的第一定义与第二定义 高中现有教材中 椭圆 双曲线和抛物线统称为圆锥曲线 第一定义表明 平面内到两定点 1 F 2 F距离之和为常数 此常数大于 21F F 其动点轨迹 2 为椭圆 1 F 2 F称为椭圆焦点 两点之间的距离称为椭圆的焦距 平面内到两定点 1 F 2 F距离 之差绝对值为常数 此常数小于 21F F 其动点轨迹为双曲线 1 F 2 F称为双曲线的焦点 两 点之间的距离称为双曲线的焦距 平面内到定点F与到定直线l距离相等的动点其轨迹为抛物线 F称为抛物线的焦点 l称为抛物线的准线 第二定义称为统一定义 它以定点和定直线为参照系 被选为参考的定点和定直线称为参照系 在平面内取一定点F和一定直线AB 从平面内的动点M向AB引垂线 垂足为c 若 e MC MF 为一定值 e称为离心率 F称为焦点 AB称为准线 则当e 1 时 动点M的轨 迹是椭圆 e 1 时是双曲线 e 1 时是抛物线 实际上第一定义与第二定义对抛物线而言 表达是相同的 3 3 以定点定圆为参照系的圆锥曲线统一表达式以定点定圆为参照系的圆锥曲线统一表达式 3 13 1 基于第一定义的圆锥曲线标准方程基于第一定义的圆锥曲线标准方程 从第一定义出发 经过公式推证 得到如下圆锥曲线的三种标准方程 椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 1 双曲线方程 1 2 2 2 2 b y a x 2 抛物线方程 pxy2 2 3 3 23 2 基于第二定义的圆锥曲线标准方程基于第二定义的圆锥曲线标准方程 建立直角坐标系如图 2 给出焦点坐标F 0 c和准线 与x轴垂直 交点坐标为K 0 f 作动点M yx 由M向准线作垂线MA 将动点M与 焦点连线MF 根据第二定义 用坐标表示MF与MA的距离 然后作比 建立如下公式 e xf yxc MA MF 22 4 式中e为离心率 将 4 式展开 有理化 22222222 22 22 xefxefeyxcxc xfeyxc 合并同类项后得统一表达式如下 3 2222222 2 1 cfexfecyxe 5 取 a c e c a f 2 则统一表达式 5 可化为 222 22 42 2 22 22 2 22 2cac ca ac x ca ac cyx a ca 6 若 0 e1 则01 2 e 将 222 bac 代入 6 式 调整正负号后 得 1 2 2 2 2 b y a x 双曲线标准方程 若e 1 则01 2 e 此时 2 x项将不存在 取 2 p ccf 通式 5 可化为 44 22 2 22 2 pp x pp y 7 即pxy2 2 抛物线标准方程 根据第二定义 通过解析的方法建立统一表达式 5 并按离心率 e 的不同 理所当然地得 到了三种标准方程 3 33 3 问题的提出问题的提出 由圆锥曲线第二定义可以看到 只有抛物线的定义最简明 e 1 时表示 MF MA 因而研究起来较方便 而椭圆和双曲线的e 1 则表示 MF MA 这时将出 现各种各样的情况 无固定简明规律可寻 于是思考另一个问题 对于椭圆和双曲线是否也能找出类似于 MF MA 的条件从而 使得问题的思考更加简单呢 显然 如果重复以原有的焦点和准线为参照系是不行的 因其与第二定义相矛盾 但是如果 将参照系加以改动 是否能出现预想的效果呢 第二定义中参照系是定点和定直线 是否可以用其它图形取而代之呢 点 线 圆 一级比一级复杂 所以定点可不变 那么将定直线换为定圆是否可行呢 4 若使动点到定点的距离和动点到定圆的距离 相等 动点的轨迹是怎样的呢 3 43 4 以定点和定圆为参照系的圆锥曲线统一表达式以定点和定圆为参照系的圆锥曲线统一表达式 按照图 2 的方式建立图 3 定点坐标为 2 F c 0 定圆是以 1 F rf 0 为圆心 r为半径 的圆 此圆与x轴的右交点坐标为K f 0 作动点M 连线段 2 MF 作MF1射线与定圆相 交于A MA线段的长度按 所给定义即为动点M到定圆的距离 令 2 MF MA 将会得到动点M的轨迹 首先建立如下方程 1 22 22 2 yxfrr yxc MA MF 8 将此式进行两次有理化 推导过程如下 22 22222222222 22222 222222222 2222 2222 4 4 2 4 2 2 2 2 2 xcfr xfrcrcfrfrcryxcxcr xcfrfrcryxcr yxcxcyxcrryxxfrfr yxcryxfr yxfrryxc 或 动点到定圆的距离定义为 平面内动点到定圆上各点距离中的最短距离 不难证明 这个最短距离所在直线必过定圆的圆心 合并同类项后 得新的圆锥曲线统一表达式 2222222 22222222 4 48 4 4 crfrcrxfr crcfrcryrxcfrr 9 3 53 5 由新的圆锥曲线统一表达式推导三个标准方程由新的圆锥曲线统一表达式推导三个标准方程 统一表达式 9 中有三个参数r f c 与前面 5 式相比 参数中多了一个半径r 但少 了一个离心率e f和c两式相同 9 与 5 式中都有 2 x项 2 y项x项和常数项 所以两式都是二 次曲线方程 由 9 式调整参数也可以得到与 5 式同样的三个标准方程 3 5 13 5 1 椭圆标准方程的推证椭圆标准方程的推证 5 对于图 3 如果将定圆圆心 1 F设为左焦点 2 F设为右 焦点 M就很像椭圆上一点 因此令 OF1 c 即 cfr 从椭圆的第一定义出发 1 F 2 F若是左右焦点 则 MF1 MF2 a2 因已给定 MA 2 MF 所以得出 AF1 MF1 MA MF1 MF2 a2r 当cfr ra2时代入统一表达式 9 化简后得到 44 44 4 42448 44 44 4 222 222222 22222 caa caaxacca yaxca 10 取 222 bca 得到 222222 bayaxb 即1 2 2 2 2 b y a x 椭圆标准方程 3 5 23 5 2 双曲线标准方程的推证双曲线标准方程的推证 取 222 bac 由 10 式得到 222222 bayaxb 即1 2 2 2 2 b y a x 双曲线标准方程 3 5 33 5 3 抛物线标准方程的推证抛物线标准方程的推证 在研究推证抛物线方程时 考虑到标准抛物线方程中 2 y项系数为 1 因此先将式 9 都除以 4 2 r 并对 2 x项系数简化得到 2 222222 2 2222 22 2 2 4 4 4 48 2 r crfrcr x r frcrcfrcr yx r cfcfr 11 抛物线的推证关键在 2 x项的系数 只有在此项系数为零时才可能出现抛物线 研究 11 式中 2 x项的系数 很容易发现f c或cfr 2时 此项系数为零 但是将f c或cfr 2代入 6 x项的系数中计算后也为零 同样常数项也为零 结果是y 0 并没有抛物线 这相当于K点与 2 F点重合 或定圆与x轴左交点与 2 F重合 即定点与定圆上一点重合 这时 只有y 0 即在x轴上 的各点到定点与定圆上距离相等 经上述讨论在推导抛物线标准方程时不能取f c也不能取cfr 2 参照原定义 取 cf 2 p c 如何能使 2 x项系数为零呢 研究 11 式中 2 x项系数时发现 当cf 以及cfr 2时 2 2 2 2 2 2 r cf r cf r cfcfr 一般不能为零 因为cf 为常数 此时要使此项系 数为 0 只有 r 即定圆半径无限大时 定圆就变成了过K点的一条定直线 此时再将 cf 2 p c 代入 11 式 得出当 r时各项系数的情况如下 2 x项系数讨论 0 2 2 2 2 2 2 2 22 2 r r p r p r p r pr r cfcfr 12 x项系数讨论 2 2222 4 48 r frcrcfrcr p r p p r c c r rccrcr r 22 4 4 4 2 2 48 2 2 2 2 13 常数项讨论 0 4 4 4 2 4 4 2 2222 2 222 2 222222 r prpr r crrc r crfrcr 14 7 代入 11 最终得到 pxy2 2 抛物线标准方程 4 4 第三定义的提出第三定义的提出 在上述论证过程中 与椭圆和双曲线标准方程对应的定点是右焦点 2 F c 0 或左焦点 1 F c 0 对应的定圆是以左焦点 1 F c 0 或右焦点 2 F c 0 为圆心 2a为半径的圆 这种圆称为准圆 与标准抛物线对应的定点是焦点F 2 p 0 定圆是与x轴相交为K 2 p 0 圆心在x轴 上半径为无穷大的圆 这种圆也称为准圆 综上所述可以得出结论 平面内到定点和定圆 定点不在定圆上 距离相等的点 它的轨迹是 圆锥曲线 即椭圆 双曲线 抛物线 当定点为焦点 定圆为准圆时 它的轨迹属于三种标准圆锥 曲线 这就是我给出的圆锥曲线的新定义 或称第三定义 5 5 圆锥曲线三个定义的相互关系圆锥曲线三个定义的相互关系 由第三定义既然也能推出三种标准圆锥曲线的方程 那么它与圆锥曲线的第一 第二定义之间 肯定是有内在联系的 5 15 1 第三定义与第一定义之间的相互关系第三定义与第一定义之间的相互关系 将 8 式稍作变化可得 222 2 yxcyxfrr 此式即反映了椭圆的第一定义 8 式是否能反映出 双曲线 的第一定义呢 根据已有的第一定义的结论 逆向思维 若要出现差为定值则 8 式中的比值必取 1 但问题 是 比值符号的变化是否会影响公式推导的结果呢 经过计算后得出结论 因进行了两次有理化 比值的 正负不会对推导结果 9 式 产生影响 因此 令 8 式中 比值取 1 稍作变化后可得 222 2 yxcyxfrr 此式即反映了双曲线的第一定义 根据前面的推证 如果要得到抛物线 必须要求定圆 半径 r 从图 3 1 中可以看出 r时AK趋近于 直线 MA趋近于水平 此时 8 式中 MA 将趋近于 8 fx 从而使 8 式转化为 22 yxcfx 此式即反映了抛物线的第一定义 注意 此 时 8 式比值又将为 1 但不影响 9 式 5 25 2 第三定义与第二定义之间的相互关系第三定义与第二定义之间的相互关系 第三定义与第二定义的关系 如图 4 5 主要反映在到准圆的距离 MA 和到准线的距离 MB 之间的关系上 只要将椭圆和双曲线的标准方程和相应参数代入两个距离的表达式中 可证 明出 MB MA 为定值 且定值等于离心率e 证明略 对于抛物线从图 5 中可以看出 MB MA 当K点不 动且 r时A点趋向于B e应等于 1 5 35 3 相互关系的结论相互关系的结论 综上所述 可以得出结论 第三定义是第一定义三种情况的综合 动点到第三定义中准圆的距离与到第二定义中准线的距离之比为离心率 对于前文提到利用极坐标研究圆锥曲线的问题 可以推导出由第三定义建立的圆锥曲线方程与 现有极坐标方程具有完全相同的形式 但在推证抛物线的极坐标方程时 仍然要让准圆的半径趋近 于无穷大 详见附录 1 第三定义是第一定义的综合 又与第二定义等价 而最终又在极坐标中得到统一 由此可体现 出数学的和谐美 6 6 圆锥曲线的统一性质圆锥曲线的统一性质 定理 焦点与准圆上任一点连线的中点 其轨迹为以原点为心 a为半径的圆 9 证明 如图 6 所示 若N点为 2 AF中点 当A在准圆上移动时寻找N点的轨迹 由图 6 可建立如下方程 222 4cxxfryr 取 arcfr2 得到 222 444xya 即 222 ayx 此轨迹为以坐标原点为圆心 a为半径的圆 上述证明也可由图解法给出 此圆称为中圆 有了焦点 准圆 中圆的概念后使得标准圆锥 曲线作图变得十分简易 7 7 圆锥曲线尺规作图法圆锥曲线尺规作图法 7 17 1 椭圆尺规作图法椭圆尺规作图法 图 7 中给定焦点 准圆和中圆后 当准圆的半径大 于焦距时 过焦点 1 F引射线 AF1 2 AF连线与中圆交于 N 过N作 2 AF垂线与AF1交于M 则M为椭圆上 一点 不难证明 MA 2 MF 因此M点满足第 三定义且ca 7 27 2 双曲线尺规作图法双曲线尺规作图法 图 8 中给定焦点 准圆和中圆后 当准圆的半径 小于焦距时 过 1 F引射线 AF1 2 AF连线与中圆交于 N 过N作 2 AF垂线与AF1的延长线交于M点 则 为M双曲线上一点 不难证明 MA 2 MF 因此M点满足第三定义且ca 7 37 3 抛物线尺规作图法抛物线尺规作图法 图 9 中给定焦点 准圆和中圆后 准圆上任取一点 A AF与中圆 相当于y轴 交于N 过N点作AF垂线 10 与过A并垂直准圆的水平线交于M点 则M点即为抛物线上一点 不难证 明 MA MF 因此M点满足第三定义且半径r为无穷大 根据新定义及由新定义得到的定理以及上述三种尺规作图法 现已初步制作出圆锥曲线的统一 绘图仪 专文另述 详见附录 2 8 8 展望展望 第三定义最主要的特点是定义的简明统一性 它非常直观 便于记忆 特别在绘图上 增加 中圆概念后 变得非常简单方便 如能将第三定义引入教材 对中学生学习圆锥曲线这一章会有很 大帮助 公式 9 是第三定义的基础 在特定条件下可以由此公式导出标准方程 当没有这些特定条件 存在时 曲线将如何变化 显然这是应该继续研究的 另外由第三定义还会导出哪些性质 比如双曲线的渐近线与准圆和中圆有什么关系等 此外 到两个定圆的距离相等的点轨迹是否是二次曲线 第三定义与空间圆锥又存在何种关系等问题值得进一步探讨 9 9 结束语结束语 在本人及辅导教师的共同努力下 本文经历了近十次砺炼后终于初见结果 尤其感谢北京理工 大学陆际联教授为我的论文作了最后的指导 鉴定和校订修改 这是一个终生难忘的过程 不仅使 我对数学的学习产生了更为浓厚的兴趣 并对该学科的基础知识有了较深层次的理解 更是对自我 创新能力的一次挑战 在这一既艰苦又兴奋的过程中 有成功的喜悦也有失败的痛楚 这使我深刻 的体会到科技创新之路上的艰辛 虽然我现在的研究已有初步成果 但仍有很多部份值得推敲和继 续的发现 科学的研究永无止境 知识的探寻永无止境 今后我应继续努力争取更大的突破 参考文献 参考文献 除 1 外均来自 网站 1 全日制高级中学教科书 数学第二册上 人民教育出版社 2004 北京 2 圆锥曲线的产生与发展 山东胜利油田第一中学 张洪杰 选自 中学生数学 2000 年 8 月 上 3 圆锥曲线源起 4 圆锥曲线曲折史 5 圆锥曲线的多种作法 张艺腾 6 以 Sketchpad 画圆锥曲线 子杰 香港道教 合会青松中学 EduMath 18 6 2004 7 圆锥曲线概说 11 8 掀开圆锥曲线的面纱 梅全雄 9 圆锥曲线中的数学美及其价值探讨 刘吉存 山东省胜利油田第二高级中学 10 圆锥曲线准线的尺规作图法 胡保耀 附录附录 1 1 用第三定义推证圆锥曲线极坐标统一方程用第三定义推证圆锥曲线极坐标统一方程 建立如附录图所示极坐标系 以 2 F为圆心 以 r为半径做准圆 准圆与极轴交点为K K到极点 1 F的距离 1 KF cf f与c为常数 动点M到极 点 1 F的距离为 到准圆的距离为MA 根据第三定义应有MA 利用余弦定理可得到 如下表达式 附录 1 1 图 r cos 2 22 cfrcfr 有理化后 得 2222 2cos 2 rrcfrcfr 2 1 cos 22 cfrrcfrr cos 2 1 22 cfrr cfrr A 对于椭圆 双曲线取ccfrar2 2 代入后得 代入得 令取 a c ac c a a c epc c a pe a c a c a c a ca ca 222 2 22 cos1 cos cos1e ep 现有极坐标表达式 对于抛物线 将 A 式分子分母均除以r 化简后得 取 cos1 cos 1 1 2 2 cf r cf r cf cf r pcf 有 12 cos1 P 现有极坐标表达式 附录附录 2 2 圆锥曲线绘图仪的制作和使用圆锥曲线绘图仪的制作和使用 从第三定义出发在给定中圆后能很简捷的得到三种标准圆锥曲线 那么从焦点 准圆 中圆出 发也能制成圆锥曲线的统一绘图仪 附录附录 2 12 1 制作原理制作原理 以双曲线为例 说明绘图仪的制作原理 双曲线标准方程给出后 焦点 1 F 2 F 均能