高中数学 奥赛辅导精品第七讲 三角恒等式和三角不等式

1 第七讲第七讲 三角恒等式和三角不等式三角恒等式和三角不等式 知识 方法 技能 三角恒等变形 既要遵循代数式恒等变形的一般法则 又有三角所特有的规律 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类 证明三角恒等式时 首先要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度 以决定恒等变形的方向 其次要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的角 函数名称 次数以及结构的差别与联系 抓住其主 要差异 选择恰当的公式对其进行恒等变形 从而逐步消除差异 统一形式 完成证明 和差化积 积化和差 切割化弦 降次 等是我们常用的变形技巧 当然有时也可 以利用万能公式 弦化切割 将题目转化为一个关于的代数恒等式的证明问题 2 tan x t 要快捷地完成三角恒等式的证明 必须选择恰当的三角公式 为此 同学们要熟练掌握 各公式及各公式的来龙去脉和变形形式 上图为三角公式脉络图 由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和 基础 此外 三角是代数与几何联系的 桥梁 与复数也有紧密的联系 因而许多三角问题 往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法 三角不等式首先是不等式 因此 要掌握证明不等式的常用方法 配方法 比较法 放 缩法 基本不等式法 数学归纳法等 其次 三角不等式又有自己的特点 含有三角式 因而三角函数的单调性 有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型 解决这类问题 要充分利用好三角 形内角和等于 180 这一结论及其变形形式 如果问题中同时涉及边和角 则应尽量利用正 弦定理 余弦定理 面积公式等进行转化 实现边角统一 求三角形面积的海伦公式 大家往往不甚熟悉 但十分有用 2 1 cbapcpbpappS 其中 例例 1 1 已知 cos sin tan 1 sin sin A AA 求证 T T 2 2 C S 2 2 2 T C S 万 能 公 式 C S C S 相除相除相除 3 3 C S 积化和差 和差化积 相加减 2 T 2 思路分析 条件涉及到角 而结论涉及到角 故可利用 消除条件与结论间角的差异 当然亦可从式中的 A 或 入手 证法 1 sin sin A sin sin A cos sin cossin sin sin cos cos sin A A cos sin tan 0 cos 0cos 1 A A A 从而 证法 2 sin sin cos sin sin sin sin cos sin sin sin A tan sin cos sin sin sin sin cos sin sin 例例 2 2 证明 cos64cos353215cos77cos 7 xxxocsxx 思路分析 等号左边涉及角 7x 5x 3x x右边仅涉及角x 可将左边各项逐步转化为 xsin 的表达式 但相对较繁 观察到右边的次数较高 可尝试降次 xcos 证明 因为 cos33coscos4 cos3cos43cos 33 xxxxxx 所以 从而有xxxxx 226 cos9cos3cos63coscos16 2cos1 2 9 2cos4 cos3 2 6cos1 xxx x xxxxxxxx xxxxx cos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64 2cos992cos64cos66cos1cos32 7 6 cos353cos215cos77cos cos20cos153cos153cos65cos65cos7cos xxxx xxxxxxx 评述 本题看似 化简为繁 实质上抓住了降次这一关键 很是简捷 另本题也可利用 复数求解 令 展开即 77 1 cos128 1 cos2 sincos z z z ziz 从而则 可 例例 3 3 求证 112tan312tan18tan18tan3 3 思路分析 等式左边同时出现 联想到公式 12tan18tan 12tan18tan tantan1 tantan tan 证明 12tan312tan18tan18tan3 1 12tan18tan 12tan18tan1 1218tan 3 12tan18tan 12tan18 tan3 评述 本题方法具有一定的普遍性 仿此可证 43tan1 2tan1 1tan1 等 22 2 44tan1 例例 4 4 已知 20012tan2sec 2001 tan1 tan1 求证 证明 4 tan 2 2 sin 2 2 cos 1 2cos 2sin1 2tan2sec 2001 tan1 tan1 例例 5 5 证 明 3sin 60sin 60sin sin4 证明 3 sin4sin33sin 60sin 60sin sin4 sin60coscos60 sinsin60coscos60 sinsin4 sin 2 1 cos 2 3 sin4 sin 4 1 cos 4 3 sin4 sin 4 3 sin4 22 22 2 评述 这是三倍角的正弦的又一表示 类似地 有 60cos 60cos cos43cos 利用这几个公式可解下例 60tan 60tan tan3tan 例例 6 6 求证 16 1 78cos66cos42cos6cos sin1 sin2 sin3 sin89 106 4 1 45 证明 cos6 cos42 cos66 cos78 4 cos6 cos54 cos66 54cos 78cos42cos 16 1 54cos4 183cos 4 1 54cos4 78cos42cos18cos sin1 sin2 sin3 sin89 sin1 sin59 sin61 sin2 sin58 sin62 sin29 sin31 sin89 sin30 s in60 4 3 87sin6sin3sin 4 1 29 60sin30sin 87sin33sin27 sin 66sin54sin6 sin63sin57sin3 sin3 4 1 30 45sin 54sin36 sin63sin27 sin72sin18 sin18sin9 sin3 4 1 81sin18sin9sin3 4 1 40 40 36sin18cos2 2 3 4 1 54cos72sin2 2 3 4 1 54cos18sin36cos18cos2 2 3 4 1 54cos72cos36cos18cos2 2 3 4 1 18cos36cos54cos72cos2 2 3 4 1 72sin54sin36sin18sin 2 23 4 1 43 43 42 42 42 42 又 72cos1 36cos1 4 1 36sin18 cos 2 16 5 72cos36cos1 4 1 72cos36cos72cos36cos1 4 1 即 所以 4 5 36sin18cos 106 4 1 89sin2sin1sin 45 5 例例7 7 证明 对任一自然数n 及任意实数为任一整数 有mnk m x k 2 1 0 2 2cotcot 2sin 1 4sin 1 2sin 1 xx xxx n n 思路分析 本题左边为 n 项的和 右边为 2 项之差 故尝试将左边各项 裂 成两项之差 并希冀能消去其中许多中间项 证明 2cotcot 2sin 2cos cossin2 cos2 2sin 2coscos2 2sin 1 22 xx x x xx x x xx x 同理 xx x 4cot2cot 4sin 1 xx x nn n 2cot2cot 2sin 1 1 评述 本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得 裂项相消 在解题中具有一定的普遍性 类似可证下列各题 n n nn tan tan tan 1tan 3tan2tan2tantan 1cot1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2cot2cot2tan22tan22tan2tan 1122 nnnn 例例 8 8 证明 2 sin 2 1 sin 2 sin sin 2sin sin sin nn n 证明 2 cos 2 cos 2 1 2 sinsin sin 2sin sin sin 2 sin 2 12 cos 2 12 cos 2 1 2 sin sin 2 3 cos 2 5 cos 2 1 2 sin 2sin 2 cos 2 3 cos 2 1 2 sin sin n nn n 各项相加得 类似地 2 1 s