高中数学《变量间的相关关系》文字素材1 新人教A版必修3

用心 爱心 专心1 变量间的相关性变量间的相关性 知识导学知识导学 一 课标要求 1 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图 并利用散点图直观认识变量 间的相关关系 2 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程 知道最小二乘法的思想 能根据 给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 二 要点清点 一 变量间的相关关系 1 变量间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类 一类是确定性的函数关系 另一类是变量间确实存 在关系 但又不具备函数关系所要求的确定性 它们的关系是带有随机性的 此时我们称 两个变量具有相关关系 注 相关关系与函数关系的异同点 1 相同点 两者均是指两个变量的关系 2 不同点 函数关系是一种确定的关系 相关关系是一种非确定的关系 函数关系是一种因果关系 而相关关系不一定是因果关系 也可能是伴随关系 2 散点图 把两个变量作为横 纵坐标 在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点 这样的 图形叫做散点图 注 散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围 我们就可以得出结论 这两个 变量具有相关关系 如果变量的对应点分布没有规律 我们就可以得出结论 这两个变量 不具有相关关系 3 正相关 负相关 具有相关关系的两个变量 如果一个变量的值由小变大时 另一个变量的值也由小变大 这种相关称为正相关 反之 如果一个变量的值由小变大时 另一个变量的值由大变小 这种相关称为负相关 二 两个变量的线性相关 1 线性相关 回归直线 如果散点图中 相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点 分布在一条直线 用心 爱心 专心2 附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这样的直线可以画出许多条 其中 最贴近 这些数据点的一条 我们称之为回归直线 2 用最小二乘法求回归直线方程 记回归直线方程为 yabx a b叫做回归系数 利用最小二乘法可以求得回归系 数 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii x ynxyxxyy b xnxxx aybx 其中 1 1 n i i xx n 1 1 n i i yy n 注 1 我们知道 回归直线是数据点最贴近的直线 反映贴近程度的数据是离差的平 方和 即总离差 2 1 n ii i Qyabx 这样 回归直线就是所有直线中Q取最小值的那 一条 这种使 离差平方和为最小 的方法 叫做最小二乘法 2 利用最小二乘法求回归系数a b时 是将离差的平方和Q转化为关于a或b的二 次函数 利用二次函数知识求得的 3 求回归直线方程的步骤 1 作出给出数据的散点图 并直观地判断是否是线性相关的 2 求出x y 3 求出 2 i x ii x y 4 求出a和b 写出回归直线方程 4 回归直线方程的应用 1 描述两变量之间的依存关系 利用回归直线方程即可定量描述两个变量间依存的数 量关系 2 利用回归方程进行预测 把预报因子 即自变量x 代入回归方程对预报量 即因 变量y 进行估计 即可得到个体y值的容许区间 3 利用回归方程进行统计控制规定y值的变化 通过控制x的范围来实现统计控制的 目标 如已经得到了空气中 2 NO的浓度和汽车流量间的回归方程 即可通过控制汽车流量 用心 爱心 专心3 来控制空气中 2 NO的浓度 5 利用散点图和回归直线方程的注意事项 1 做回归分析要有实际意义 2 回归分析前 最好先作出散点图 以判断是否是线性相关关系 3 回归直线不要外延 三 范例剖析 例 1 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是 A 小麦产量与施肥值 B 球的体积与表面积 C 蛋鸭产蛋个数与饲养天数 D 甘蔗的含糖量与生长期的日照天数 分析 设球的半径为r 则球的体积为 3 4 3 Vr 球的表面积 2 4Sr 显然这两者 不是线性关系 解析 B 评注 线性关系是一种函数关系 因此具有确定性 本题中的B两者之间有相关关系 但不具有线性关系 例 2 要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响 在高一年级学生中随机抽 取了 10 名学生 他们的入学成绩与期末考试成绩如下表 学生编号 12345678910 入学成绩x 63674588817152995876 期末成绩y 65785282928973985675 1 若变量x与y之间具有线性相关关系 求出回归直线方程 2 若某学生的入学成绩为 80 分 试估计他的期末成绩 解析 1 1 6367458881 71 5299587670 10 x 1 657852829289739856776 10 y 1 2 2 1 0 76556 n ii i n i i x ynxy b xnx 22 4108aybx 用心 爱心 专心4 所求线性回归直线方程为 22 41080 76556yx 2 某学生的入学成绩为 80 分 代入上式可求得84y 即这个学生期末成绩的预测 值为 84 分 评注 知道x与y呈线性相关关系 无须进行相关性检验 否则 应首先进行相关性检 验 如果本身两个变量不具备相关关系 或者说 它们之间相关关系不显著 即使求出回 归直线方程也是毫无意义的 而且用其估计和预测的量也是不可信的 例 3 下表是我国居民生活污水排放量的一组数据 年份 19951996199719981999200020012002 排放量 151189 1194 8203 8220 9227 7232 3 试估计 1996 年我国居民生活污水的排放量 并预测 2004 年生活污水的排放量 单位 8 10 t 分析 要估计或预测 可考虑先求回归直线方程 将年份与污水的排放量的相关关系表达 出来 可先剔除 1996 年 样本容量为 7 解析 设 1995 年为第 1 年 2002 年为第 8 年 列表 用科学计算器进行有关计算 i 1234567 i x 1345678 i y 151189 1194 8203 8220 9227 7232 3 ii x y 151 567 3779 2 1019 1325 41593 91858 4 4 857x 202 8y 7 2 1 200 i i x 7 2 1 292648 68 i i y 7 1 7294 2 ii i x y 7 1 72 2 2 1 7 7294 27 4 857 202 8 11 45 2007 4 857 7 ii i i i x yxy b xx 202 8 11 45 4 857147 2aybx 所求回归直线方程为 11 45147 2yx 从而当2x 时 170 1y 当9x 时 用心 爱心 专心5 250 25y 1996 年污水排放量估计为 8 170 1 10 t 2004 年污水排放量估计为 8 250 25 10 t 评注 灵活选取数据可以简化运算 当只要求分析两变量相关关系用其解决实际问题时 可选取恰当的变量进行分析 例 3 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据 房屋面积 2 m 11511080135105 销售价格 万元 24 821 618 429 222 1 画出数据对应的散点图 2 求线性回归方程 并在散点图中加上回归直线 3 据 2 的结果估计当房屋面积为 150 2 m时的销售价格 分析 将表中各对数据在平面直角坐标系中描点 便得到具有相关关系的两个变量的一组 数据的图形 即得散点图 按照求回归直线方程的步骤和公式 写出回归直线方程 解析 1 数据对应的散点图如下图所示 2 5 1 1 109 5 i i xx 5 2 1 1570 i i xx 23 2y 5 1 311 2 ii i xxyy 设所求回归直线方程为 ybxa 则 5 1 5 2 1 311 2 0 1982 1570 ii i i i xxyy b xx 23 2 109 0 19821