函数奇偶性知识点与经典题型归纳

1 函数奇偶性函数奇偶性 知识梳理知识梳理 1 1 奇函数 偶函数的定义 1 奇函数 设函数的定义域为 如果对内的任意一个 都有 yf x DDx fxf x 则这个函数叫奇函数奇函数 2 偶函数 设函数的定义域为 如果对内的任意一个 都有 yf x DDx fxf x 则这个函数叫做偶函数偶函数 3 奇偶性 如果函数 f x是奇函数或偶函数 那么我们就说函数 f x具有奇偶性 4 非奇非偶函数 无奇偶性的函数是非奇非偶函数 注意 1 奇函数若在0 x 时有定义 则 0 0f 2 若且的定义域关于原点对称 则既是奇函数又是偶函数 0f x f x f x 2 2 奇 偶 函数的基本性质 1 对称性 奇函数的图象关于原点原点对称 偶函数的图象关于轴轴对称 y 2 单调性 奇函数在其对称区间上的单调性相同 偶函数在其对称区间上的单调性相反 3 3 判断函数奇偶性的方法 1 图像法 2 定义法 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 1 确定 f x 与 f x 的关系 2 作出相应结论 3 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 例题精讲例题精讲 例 1 若函数是偶函数 求的值 2 f xaxbx b 解 函数 f x ax2 bx 是偶函数 f x f x ax2 bx ax2 bx 2bx 0 b 0 例 3 已知函数在轴左边的图象如下图所示 画出它右边的图象 2 1 f x x y 题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 例 4 判断下列函数的奇偶性 1 2 1 f xxx 2 2 1 f xx x 3 1 1 f xxx 4 22f xxx 5 22 11f xxx 6 2 2 0 0 xxx f x xxx 解 1 的定义域为 R 关于原点对称 2 1 f xxx 22 1 1 fxxxxxf x 即 是偶函数 fxf x f x 2 的定义域为 1 f xx x 0 x x 由于定义域关于原点不对称 故既不是奇函数也不是偶函数 f x 3 的定义域为 R 关于原点对称 1 1 f xxx f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 4 的定义域为 2 22f xxx 由于定义域关于原点不对称 故既不是奇函数也不是偶函数 f x 5 的定义域为 1 1 22 11f xxx 由且 所以 1 0f 1 0f 0f x 所以图象既关于原点对称 又关于 y 轴对称 f x 故既是奇函数又是偶函数 f x 6 显然定义域关于原点对称 当 x 0 时 x 0 f x x2 x x x2 当 x0 f x x x2 x2 x 即 2 2 0 0 xxx fx xxx 即 fxf x 为奇函数 f x 题型二题型二 利用函数的奇偶性求函数值利用函数的奇偶性求函数值 例 2 若 f x 是定义在 R 上的奇函数 f 3 2 求 f 3 和 f 0 的值 解 f x 是定义在 R 上的奇函数 f 3 f 3 2 f 0 0 3 例 5 已知 f x 是奇函数 g x 是偶函数 且 f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 求 g 1 解 由 f x 是奇函数 g x 是偶函数 得 fxf x gxg x 所以 f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 由 消掉 f 1 得 g 1 3 题型三题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式 例 6 已知函数是定义在 R 上的偶函数 当 x 0 时 f x x3 x2 f x 当 x 0 时 求 f x 的解析式 解 当时 有0 x 0 x 所以 3232 fxxxxx 又因为在 R 上为偶函数 f x 所以 32 f xfxxx 所以当时 0 x 32 f xxx 例 7 若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足 求 f x g x x f xg xe g x 解 因为为偶函数 为奇函数 f x g x 所以 fxf x gxg x 因为 x f xg xe 所以 x fxgxe 所以 x f xg xe 由 式消去 得 f x 2 xx ee g x 课堂练习课堂练习 仔细读题 一定要选择最佳答案哟 1 1 函数是 11f xxx A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 2 2 已知函数为奇函数 且当时 则 f x0 x 2 1 f xx x 1 f A 2 B 1 C 0 D 2 3 3 f x 为偶函数 且当 x 0 时 f x 2 则当 x 0 时 有 A f x 2 B f x 2 C f x 2 D f x R 4 4 已知函数 y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 则 A f 0 f 1 f 2 B f 1 f 0 f 2 C f 1 f 2 f 0 D f 2 f 1 f 0 5 5 已知函数 f x ax2 bx c a 0 是偶函数 那么 g x ax3 bx2 cx 是 A 奇函数 B 偶函数 C 既奇且偶函数D 非奇非偶函数 6 6 定义在 R 上的奇函数 f x 在 0 上是增函数 又 f 3 0 则不等式 xf x 0 4 的解集为 A 3 0 0 3 B 3 3 C 3 0 3 D 3 0 3 7 7 若 f x 在 5 5 上是奇函数 且 f 3 f 1 则下列各式中一定成立的是 A f 1 f 1 C f 2 f 3 D f 3 f 5 8 8 设 f x 在 2 1 上为减函数 最小值为 3 且 f x 为偶函数 则 f x 在 1 2 上 A 为减函数 最大值为 3 B 为减函数 最小值为 3 C 为增函数 最大值为 3 D 为增函数 最小值为 3 9 9 下列四个函数中 既是偶函数又在 0 上为增函数的是 A y x 3 B y x 2 1 C y x 1 D y 2 x 10 10 若函数 f x x 1 x a 为偶函数 则 a A 1 B 1 C 0 D 不存在 11 11 偶函数 y f x 的图象与 x 轴有三个交点 则方程 f x 0 的所有根之和为 12 12 如图 给出了偶函数 y f x 的局部图象 试比较 f 1 与 f 3 的大小 13 已知函数是奇函数 求的值 0 p f xxm p x m 14 已知 f x 是偶函数 g x 是奇函数 且 f x g x x2 x 2 求 f x g x 的表达式 x y O 3 2 1 5 1