高三数学第一轮复习：三角恒等变形及应用人教实验版（B）

用心 爱心 专心 高三数学第一轮复习 三角恒等变形及应用人教实验版 高三数学第一轮复习 三角恒等变形及应用人教实验版 B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 三角恒等变形及应用 二 课标要求 1 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程 进一步体会向量方法的作用 2 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦 余弦 正切公式 二倍角的正弦 余 弦 正切公式 了解它们的内在联系 3 能运用上述公式进行简单的恒等变换 包括导出积化和差 和差化积 半角公式 但 不要求记忆 三 命题走向 从近几年的高考考查的方向来看 这部分的高考题以选择 解答题出现的机会较多 有时候也以填空题的形式出现 它们经常与三角函数的性质 解三角形及向量联合考查 主要题型有三角函数求值 通过三角式的变换研究三角函数的性质 本讲内容是高考复习的重点之一 三角函数的化简 求值及三角恒等式的证明是三角 变换的基本问题 历年高考中 在考查三角公式的掌握和运用的同时 还注重考查思维的 灵活性和发散性 以及观察能力 运算及观察能力 运算推理能力和综合分析能力 教学过程 一 基本知识点回顾 1 两角和与差的三角函数 sincoscossin sin sinsincoscos cos tantan tan 1tantan 2 二倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 2 2tan tan2 1tan 3 三角函数式的化简 1 常用方法 直接应用公式进行降次 消项 切割化弦 异名化同名 异角 化同角 三角公式的逆用等 2 化简要求 能求出值的应求出值 使三角函数种数尽量少 使项数尽量 少 尽量使分母不含三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 I 降幂公式 2sin 2 1 cossin 2 2cos1 sin 2 2 2cos1 cos2 II 辅助角公式 22 sincossinaxbxabx 用心 爱心 专心 2222 sincos ba abab 其中 4 三角函数的求值类型有三类 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 要观察所给角与特殊角间的关系 利 用三角变换消去非特殊角 转化为求特殊角的三角函数值问题 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题的 关键在于 变角 如2 等 把所求角用含已知角 的式子表示 求解时要注意角的范围的讨论 3 给值求角 实质上转化为 给值求值 问题 由所得的所求角的函数值结合所求 角的范围及函数的单调性求得角 5 三角恒等式的证明 1 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征 通过三角恒等变换 应用化繁为 简 左右同一等方法 使等式两端化 异 为 同 2 三角条件等式的证题思路是通过观察 发现已知条件和待证等式间的关系 采用 代入法 消参法或分析法进行证明 典型例题典型例题 例例 1 已知0coscos1sinsin 求 cos 的值 解 解 由已知 sin sin 1 cos cos 0 2 2得 2 2cos1 cos 2 1 点评 点评 此题是给出单角的三角函数方程 求复角的余弦值 易犯错误是利用方程组解 sin cos sin cos 但未知数有四个 显然前景并不乐观 其错误的原因在于没 有注意到所求式与已知式的关系 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头本题关键在于化和为积促转化 整体对应 巧应用 例例 2 已知 tan tan是方程06x5x 2 的两个实根 求 22 2sin3sincoscos 的值 分析 分析 由韦达定理可得到tantantantan 及的值 进而可以求出 tan 的值 再将所求值的三角函数式用 tan 表示便可知其值 解一 解一 由韦达定理得 tan6tantan5tan 所以 tan 1 61 5 tantan1 tantan 22 22 2sin3sincoscos sincos 原式 2 2 2tan3tan12 1 311 3 tan11 1 解二 解二 由韦达定理得 tan6tantan5tan 所以 tan 1 61 5 tantan1 tantan 用心 爱心 专心 3 4 kkZ 于是有 22 333331 2sinsin 2cos13 422422 kkk 原式 点评 点评 1 本例解法二比解法一要简捷 好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构 从而寻找解答本题的知识 最近发展区 2 运用两角和与差三角函数公式的关键是熟记 公式 我们不仅要记住公式 更重要的是抓住公式的特征 如角的关系 次数关系 三角 函数名等 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用 而且抓住了公 式的结构特征 有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结 构特征 联想到相应的公式 从而找到解题的切入点 3 对公式的逆用公式 变形式也 要熟悉 如 tantantantantantan tantantantantantan tantantantan1tan cossinsincoscos 例例 3 化简下列各式 1 2 2 3 2cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 cos 4 cot2 sincos 2 22 分析 分析 1 若注意到化简式是开平方根和 2的二倍 是的二倍 是 2 以及其范 围不难找到解题的突破口 2 由于分子是一个平方差 分母中的角 244 若注意到这两大特征 不难得到解题的切入点 解 解 1 因为 coscos2cos 2 1 2 1 2 2 3 所以 又因 2 sin 2 sincos 2 1 2 1 24 3 所以 所以 原式 2 sin 2 原式 4 cos 4 sin2 2cos 4 cos 4 tan2 2cos 2 1 2cos 2cos 2 2 sin 2cos 点评 点评 1 在二倍角公式中 两个角的倍数关系 不仅限于 2 是 的二倍 要熟悉 多种形式的两个角的倍数关系 同时还要注意 44 2 三个角的内在联系的作用 用心 爱心 专心 4 cos 4 sin22 2 sin2cos是常用的三角变换 2 化简题一定 要找准解题的突破口或切入点 其中的降次 消元 切割化弦 异名化同名 异角化同角 是常用的化简技巧 3 公式变形 sin2 2sin cos 2 2cos1 cos2 2 2cos1 sin 2 例例 4 若的值求 x xx xx tan1 cos22sin 4 7 12 17 5 3 4 cos 2 分析 分析 注意22 4442 xxxx 及的两变换 就有以下的两种解法 解一 解一 由 2 43 5 4 7 12 17 xx 得 34 cossin 4545 xx 又因 2 coscoscoscossinsin 44444410 xxxx 7 2 sintan7 10 xx 从而 2 2 7 227 2 22 101010 2sin cos2sin28 1tan1 775 xxx x 原式 解二 解二 原式 x 4 tanx2sin xtan1 xtan1 xcosxsin2 2 7 sin2sin 2cos22cos1 424425 xxxx 而 3 4 x 4 cos x 4 sin x 4 x tan 7428 25375 所以 原式 点评 点评 此题若将 3 cos 45 x 的左边展开成 3 coscossinsin 445 xx 再求 cosx sinx 的值 就很繁琐 把作为整体x 4 并注意角的变换 2 xx2 24 运用二倍 角公式 问题就化难为易 化繁为简 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头所以在解答有条件限制的求值问题时 要善于发现所 求的三角函数的角与已知条件的角的联系 一般方法是拼角与拆角 如 2 2222 2 等 用心 爱心 专心 例例 5 已知正实数 a b 满足的值 求 a b ba ba 15 8 tan 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin 分析 分析 从方程的观点考虑 如果给等式左边的分子 分母同时除以 a 则已知等式可 化为关于的方 a b 程 从而可求出 a b 若注意到等式左边的分子 分母都具有 cossinba 的结构 可考虑引入辅助角求解 解一 解一 由题设得 15 8 cos 15 8 sin 5 sin 5 cos 5 cos 5 sin a b a b 3 3 tan 515 8 cos 515 8 sin 5 sin 15 8 sin 5 cos 15 8 cos 5 sin 15 8 cos 5 cos 15 8 sin a b 解二 解二 22 sincossin 555 abab 因为 22 cossincostan 555 8 tantan 515 8 5153 tantantan3 33 b abab a kk b k a 其中 由题设得 所以 即 故 解三 解三 tan 8 5 tan 15 1tan 5 b a b a 原式可变形为 点评 点评 以上解法中 方法一用了集中变量的思想 是一种基本解法 解法二通过模式 联想 引入辅助角 技巧性较强 但辅助角公式 sincossin 22 baba tan b a 其中 或sincosab 22 costan a ab b 其中在历年高考中 使用频率是相当高的 应加以关注 解法三利用了换元法 但实质上是综合了解法一和解 用心 爱心 专心 法二的解法优点 所以解法三最佳 例例 6 2000 全国理 17 已知函数 y 2 1 cos2x 2 3 sinxcosx 1 x R 1 当函数 y 取得最大值时 求自变量 x 的集合 2 该函数的图象可由 y sinx x R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 1 解 解 y 2 1 cos2x 2 3 sinxcosx 1 4 1 2cos2x 1 4 1 4 3 2sinxcosx 1 4 1 cos2x 4 3 sin2x 4 5 2 1 cos2x sin 6 sin2x cos 6 4 5 2 1 sin 2x 6 4 5 y 取得最大值必须且只须 2x 6 2 2k k Z 即 x 6 k k Z 所以当函数 y 取得最大值时 自变量 x 的集合为 x x 6 k k Z 2 将函数 y sinx 依次进行如下变换 把函数 y sinx 的图象向左平移 6 得到函数 y sin x 6 的图象 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到函数 y sin 2x 6 的图象 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 1 倍 横坐标不变 得到函数 y 2 1 sin 2x 6 的图象 把得到的图象向上平移 4 5 个单位长度 得到函数 y 2 1 sin 2x 6 4 5 的图象 综上得到函数 y 2 1 cos2x 2 3 sinxcosx 1 的图象 点评 点评 本题主要考查三角函数的图象和性质 考查利用三角公式进行恒等变形的技能 以及运算能力 例例 7 2000 全国文 17 已知函数 y 3sinx cosx x R 用心 爱心 专心 1 当函数 y 取得最大值时 求自变量 x 的集合 2 该函数的图象可由 y sinx x R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 解 解 1 y 3sinx cosx 2 sinxcos 6 cosxsin 6 2sin x 6 x R y 取得最大值必须且只须 x 6 2 2k k Z 即 x 3 2k k Z 所以 当函数 y 取得最大值时 自变量 x 的集合为 x x 3 2k k Z 2 变换的步骤是 把函数 y sinx 的图象向左平移 6 得到函数 y sin x 6 的图象 令所得到的图象上各点横坐标不变 把纵坐标伸长到原来的 2 倍 得到函数 y 2sin x 6 的图象 经过这样的变换就得到函数 y 3sinx cosx 的图象 点评 点评 本题主要考查三角函数的图象和性质 利用三角公式进行恒等变形的技能及运 算能力 例例 8 06 北京理 15 已知函数 12sin 2 4 cos x f x x 求 f x的定义域 设 为第四象限的角 且tan 4 3 求 f 的值 解 解 由 cos0 x 得 2 xkkZ 故 f x的定义域为 2 x xkkZ 因为 4 tan 3 且 是第四象限的角 所以 43 sin cos 55 故 cos 4 2sin21 f 22 12 sin2cos2 22 cos 1 sin2cos2 cos 2 2cos2sincos cos 2 cossin 14 5 点评 点评 本题作为高考题的第一大题出现 考查基础的三角函数的性质和三角变换 用心 爱心 专心 例例 9 06 重庆理 17 设函数 f x 3cos2 x sin xcos x a 其中 0 a R 且 f x 的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 6 求 的值 如果 f x 在区间 6 5 3 上的最小值为3 求 a 的值 解 解 I 依题意得 1 2 6322 II 由 I 知 a 2 3 3 xsin x f 又当 5 36 x 时 7 0 36 x 故 1 sin 1 23 x 从而 f x在区间 5 36 上的最小值为 13 3 22 a 故 31 2 a 例例 10 06 上海理 17 求函数y 2 4 cos 4 cos xx x2sin3的值域和最 小正周期 解 解 y cos x 4 cos x 4 3sin2x cos2x 3sin2x 2sin 2x 6 函数 y cos x 4 cos x 4 3sin2x 的值域是 2 2 最小正周期是 例例 11 已知向量 sin 1 1 cos 22 ab I 若 ab 求 II 求ab 的最大值 解 解 1 ab 0 ba sincos0 4 22 2 sin1 cos1 sin1 cos1 ab 22 sin2sin1 cos2cos12 sincos 3 2 2sin 3 4 当sin 4 1 时ab 有最大值 此时 4 最大值为2 2321 点评 点评 本题主要考查以下知识点 1 向量垂直转化为数量积为 0 2 特殊角的三角 函数值 3 三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4 已知向量的坐标表示求模 难 度中等 计算量不大 例例 12 有一块扇形铁板 半径为 R 圆心角为 60 从这个扇形中切割下一个内接矩形 即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上 求这个内接矩形的最大面积 用心 爱心 专心 分析 分析 本题入手要解决好两个问题 1 内接矩形的放置有两种情况 如图所示 应该分别予以处理 2 求最大值问题这里应构造函数 怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量 解 解 如图 1 设 FOA 则 FG Rsin 又设矩形 EFGH 的面积为 S 那么 又 0 60 故当 cos 2 60 1 即 30 时 如图 2 设 FOA 则 EF 2Rsin 30 在 OFG 中 OGF 150 设矩形的面积为 S 那么 S EF FG 4R2sin sin 30 2R2 cos 2 30 cos30 又 0 30 故当 cos 2 30 1 思维小结 从近年高考的考查方向来看 这部分常常以选择题和填空题的形式出现 有时也以大 题的形式出现 分值约占 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头因此能否掌握好本重点内容 在一定程度上制约着在高考中 成功与否 1 两角和与两角差的正弦 余弦 正切公式 二倍角的正弦 余弦 正切公式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头在学习时 用心 爱心 专心 应注意以下几点 1 不仅对公式的正用逆用要熟悉 而且对公式的变形应用也要熟悉 2 善于拆角 拼角 如 22 等 3 注意倍角的相对性 4 要时时注意角的范围 5 化简要求 熟悉常用的方法与技巧 如切化弦 异名化同名 异角化同角等 2 证明三角等式的思路和方法 1 思路 利用三角公式进行化名 化角 改变运算结构 使等式两边化为同一形式 2 证明三角不等式的方法 比较法 配方法 反证法 分析法 利用函数的单调性 利用正 余弦函数的有界性 利用单位圆三角函数线及判别法等 3 解答三角高考题的策略 1 发现差异 观察角 函数运算间的差异 即进行所谓的 差异分析 2 寻找联系 运用相关公式 找出差异之间的内在联系 3 合理转化 选择恰当的公式 促使差异的转化 4 加强三角函数应用意识的训练 1999 年高考理科第 20 题实质是一个三角问题 由于考生对三角函数的概念认识肤浅 不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系 造成思维障碍 思路受阻 实际 上 三角函数是以角为自变量的函数 也是以实数为自变量的函数 它产生于生产实践 是客观实际的抽象 同时又广泛地应用于客观实际 故应培养实践第一的观点 总之 三角 部分的考查保持了内容稳定 难度稳定 题量稳定 题型稳定 考查的重点是三角函数的 概念 性质和图象 三角函数的求值问题以及三角变换的方法 5 变为主线 抓好训练 变是本章的主题 在三角变换考查中 角的变换 三角函数名的变换 三角函数次数 的变换 三角函数式表达形式的变换等比比皆是 在训练中 强化变换意识是关键 但题 目不可太难 较特殊技巧的题目不做 立足课本 掌握课本中常见问题的解法 把课本中 习题进行归类 并进行分析比较 寻找解题规律 针对高考中的题目看 还要强化变角训练 经常注意收集角间关系的观察分析方法 另 外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也 要加强 这也是高考的重点 同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 化简 sin600 的值是 A 0 5 B 0 5 C 3 2 D 3 2 2 若10 a x 2 则 1 1 cos cos 2 x x a a x x ax xa 的值是 A 1B 1 C 3 D 3 3 若 3 0 则 sinlog3 3等于 用心 爱心 专心 A sin B sin 1 C sin D cos 1 4 如果1弧度的圆心角所对的弦长为2 那么这个圆心角所对的弧长为 A 5 0sin 1 B sin0 5 C 2sin0 5D tan0 5 5 已知sinsin 那么下列命题成立的是 A 若 是第一象限角 则coscos B 若 是第二象限角 则tantan C 若 是第三象限角 则coscos D 若 是第四象限角 则tantan 6 若 为锐角且2coscos 1 则 1 coscos 的值为 A 22 B 6 C 6 D 4 二 填空题 1 已知角 的终边与函数 0 0125 xyx决定的函数图象重合 sin 1 tan 1 cos 的值为 2 若 是第三象限的角 是第二象限的角 则 2 是第 象限的角 3 在半径为30m的圆形广场中央上空 设置一个照明光源 射向地面的光呈圆锥形 且 其轴截面顶角为 120 若要光源恰好照亮整个广场 则其高应为 m 精确到 0 1m 4 如果 0sintan 且 1cossin0 那么 的终边在第 象限 5 若集合 3 Ax kxkkZ 22Bxx 则BA 三 解答题 1 角 的终边上的点P与 baA关于x轴对称 0 0 ba 角 的终边上的点Q与 A关于直线xy 对称 求 sincos 1 tan tan cos sin 之值 2 一个扇形OAB的周长为20 求扇形的半径 圆心角各取何值时 此扇形的面积最大 3 求 66 44