抛物线经典例题

1 1 抛物线习题精选精讲抛物线习题精选精讲 1 抛物线 抛物线 二次曲线的和谐线二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法 可抛物线只有一种 到一个定点和一条定直线的距离相等的所有 点的集合 其离心率 e 1 这使它既与椭圆 双曲线相依相伴 又鼎立在圆锥曲线之中 由于这个美好的 1 既使它享尽和谐之美 又生出多少华丽的篇章 例 1 P 为抛物线上任一点 F 为焦点 则以 PF 为直径的圆与 y 轴 pxy2 2 相交 相切 相离 位置由 P 确定 A B C D 解析 如图 抛物线的焦点为 准线是 0 2 p F 作 PH 于 H 交 y 轴于 Q 那么 2 p l x lPFPH 且 作 MN y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的 2 p QHOF 中位线 故以 111 222 MNOFPQPHPF PF 为直径的圆与 y 轴相切 选 B 评注 相似的问题对于椭圆和双曲线来说 其结论则 分别是相离或相交的 2 焦点弦 焦点弦 常考常新的亮点弦常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题 许多都与它的焦点弦有关 理解并掌握这个焦点弦的性质 对破解这些试题是大 有帮助的 例 2 过抛物线的焦点 F 作直线交抛物线于两点 求证 02 2 ppxy 1122 A x yB xy 1 2 12 ABxxp pBFAF 211 证明 1 如图设抛物线的准线为 作l 1 AAl 11111 2 p A BBlBAAx 于 则AF 两式相加即得 12 2 p BFBBx 12 ABxxp 2 当 AB x 轴时 有 成立 AFBFp 112 AFBFp 当 AB 与 x 轴不垂直时 设焦点弦 AB 的方程为 代入抛物线方程 2 p yk x 化简得 2 2 2 2 p kxpx 2 2222 201 4 p k xp kxk X Y P H MN O 0 2 p F 2 p l x 2 2ypx Q X Y F A x y 1 1 B x y 2 2 A1 B1 l 2 2 方程 1 之二根为 x1 x2 1 2 2 4 k xx 12 2 11 12 1212 111111 22 24 xxp pp ppAFBFAABB xx x xxx 1212 22 12 12 2 2 424 xxpxxp p pppp xxp xx 故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直 恒有成立 pBFAF 211 3 切线 切线 抛物线与函数有缘抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题 又与它的切线有关 理解并掌握抛物线的切线方程 是解题者不可或缺的基 本功 例 3 证明 过抛物线上一点 M x0 y0 的切线方程是 y0y p x x0 2 2ypx 证明 对方程两边取导数 2 2ypx 22 p y ypy y 切线的斜率 由点斜式方程 0 0 x x p ky y 2 00000 0 1 p yyxxy ypxpxy y y0y p x x0 2 00 21ypx 代入 即得 4 定点与定值 定点与定值 抛物线埋在深处的宝藏抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现 却容易为人疏忽的定点和定值 掌握它们 在解题中常会有意想不到 的收获 例如 1 一动圆的圆心在抛物线上 且动圆恒与直线相切 则此动圆必过定点 xy8 2 02 x 4 0 2 0 0 2 0 2ABCD 显然 本题是例 1 的翻版 该圆必过抛物线的焦点 选 B 2 抛物线的通径长为 2p 2 2ypx 3 设抛物线过焦点的弦两端分别为 那么 2 2ypx 1122 A x yB xy 2 12 y yp 以下再举一例 例 4 设抛物线的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1 证明 以 A1B1为直径的圆必过一 2 2ypx 定点 3 3 分析 假定这条焦点弦就是抛物线的通径 那么 A1B1 AB 2p 而 A1B1与 AB 的距离为 p 可知该圆 必过抛物线的焦点 由此我们猜想 一切这样的圆都过抛物线的焦点 以下我们对 AB 的一般情形给于证明 证明 如图设焦点两端分别为 1122 A x yB xy 那么 22 121112 y ypCACByyp 设抛物线的准线交 x 轴于 C 那么 CFp 2 111111 90AFBCFCACBAFB 中故 这就说明 以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点 通法通法 特法特法 妙法妙法 1 解析法 解析法 为对称问题解困排难为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何 所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题 如对称问题等 例 5 07 四川文科卷 10 题 已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0 对称的相异两点 A B 则 AB 等于 A 3 B 4 C 3 D 422 分析 直线 AB 必与直线 x y 0 垂直 且线段 AB 的中点必在直线 x y 0 上 因得解法如下 解析 点 A B 关于直线 x y 0 对称 设直线AB 的方程 为 由yxm 2 2 301 3 yxm xxm yx 设方程 1 之两根为 x1 x2 则 12 1xx 设 AB 的中点为 M x0 y0 则 代入 x y 0 y0 故有 12 0 1 22 xx x 1 2 1 1 2 2 M 从而 直线 AB 的方程为 方程 1 成为 解得 1myx 1yx 2 20 xx 从而 故得 A 2 1 B 1 2 选 C 2 1x 1 2y 3 2AB 2 几何法 几何法 为解析法添彩扬威为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展 但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算 这又使得许多考生 对解析几何习题望而生畏 针对这种现状 人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法 其中最有成 效的就是几何法 例 6 07 全国全国 1 卷卷 11 题 题 抛物线的焦点为 准线为 经过且斜率为的直线与抛 2 4yx FlF3 物线在轴上方的部分相交于点 垂足为 则的面积 xAAKl KAKF A B C D 43 34 38 X Y A B F A 1 B 1 1 M C X O Y A B M 0lxy 4 4 x y M x y F1 c 0 F2 c 0 O H 2 a l x c r1r2 r2 解析 如图直线 AF 的斜率为时 AFX 60 3 AFK 为正三角形 设准线 交 x 轴于 M 则l2 FMp 且 KFM 60 选 C 2 3 4 44 3 4 AKF KFS 评注 1 平面几何知识 边长为 a 的正三角形的 面积用公式计算 2 3 4 Sa 2 本题如果用解析法 需先列方程组求点 A 的坐标 再计算正三角形的边长和面积 虽不是很 难 但决没有如上的几何法简单 3 定义法 定义法 追本求真的简单一着追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难 但如果返朴归真 用最原始的定义去做 反而特别简单 例 7 07 湖北卷 7 题 双曲线 的左准线为 左焦点和右焦点分别为和 抛物线的线为 22 1 22 1 00 xy Cab ab l 1 F 2 F 2 Cl 焦点为与的一个交点为 则等于 21 FC 2 CM 121 12 FFMF MFMF A B C D 1 1 1 2 1 2 分析 这道题如果用解析法去做 计算会特别繁杂 而平面几何知识又一时用不上 那么就从最 原始的定义方面去寻找出路吧 如图 我们先做必要的准备工作 设双曲线的半 焦距 c 离心率为 e 作 令MHlH 于 点 M 在抛物线上 1122 MFr MFr 11 1 22 22 MFMFr MHMFre MHMFr 故 这就是说 的实质是离心率 e 1 2 MF MF 其次 与离心率 e 有什么关系 注意到 12 1 FF MF 1212 1111 221 11 FFe rrcea ee MFrrre X Y O F 1 0 A K 60 Y 2 2px L x 1 M 5 5 这样 最后的答案就自然浮出水面了 由于 选 A 121 12 11 FFMF ee MFMF 4 三角法 三角法 本身也是一种解析本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源 利用三角手段 可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同 角的三角函数 然后根据各种三角关系实施 九九归一 达到解题目的 因此 在解析几何解题中 恰当地引入三角资源 常可以摆脱困境 简化计算 例 8 07 重庆文科 21 题 如图 倾斜角为 a 的直线经过抛物 线的焦点 F 且与抛物线交于 A B 两点 xy8 2 求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程 若 a 为锐角 作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P 证明 FP FP cos2a 为定值 并求此定值 解析 焦点 F 2 0 准线 2l x 直线 AB tan21 yx 代入 1 整理得 2 8 y x 2 tan816tan02yy 设方程 2 之二根为 y1 y2 则 12 12 8 tan 16 yy yy 设 AB 中点为 12 0 00 2 00 4 4cot 2tan cot24cot2 yy y M xy xy 则 AB 的垂直平分线方程是 2 4cotcot4cot2yx 令 y 0 则 22 4cot64cot6xP 有 0 故 222 4cot624 cot14cosFPOPOF 于是 FP FP cos2a 故为定值 222 4csc1 cos24csc2sin8 5 消去法 消去法 合理减负的常用方法合理减负的常用方法 避免解析几何中的繁杂运算 是革新 创新的永恒课题 其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不 求 它类似兵法上所说的 不战而屈人之兵 例 9 是否存在同时满足下列两条件的直线 1 与抛物线有两个不同的交点 A 和llxy8 2 B 2 线段 AB 被直线 x 5y 5 0 垂直平分 若不存在 说明理由 若存在 求出直线 的方程 1 ll 解析 假定在抛物线上存在这样的两点xy8 2 1122 A xyB xy 则有 A M 6 6 2 11 121212 2 22 8 8 8 yx yyyyxx yx 12 1212 8 AB yy k xxyy 线段 AB 被直线 x 5y 5 0 垂直平分 且 1 l 1 1 5 5 lAB kk 即 12 8 5 yy 12 8 5 yy 设线段 AB 的中点为 代入 x 5y 5 0 得 x 1 于是 12 000 4 25 yy M xyy 则 AB 中点为 故存在符合题设条件的直线 其方程为 4 1 5 M 4 51255210 5 yxxy 即 6 探索法 探索法 奔向数学方法的高深层次奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题 初看起来好似 树高荫深 叫樵夫难以下手 这时就得冷静分析 探索规律 不断地猜想 证明 再猜想 再证明 终于发现 无限风光在险峰 例 10 07 安徽卷 14 题 如图 抛物线 y x2 1 与 x 轴的正半轴交于点 A 将线段 OA 的 n 等分 点从左至右依次记为 P1 P2 Pn 1 过这些分点分别作 x 轴的垂线 与抛物线的交点依次为 Q1 Q2 Qn 1 从而得到 n 1 个直角三角形 Q1OP1 Q2P1P2 Qn 1Pn 1Pn 1 当 n 时 这些三 角形的面积之和的极限为 解析 1 1OA n 图中每个直角三角形的底边长均为 设 OA 上第 k 个分点为 2 2 2 0 11 k kk Pyxy nn 代入 第 k 个三角形的面积为 2 1 1 1 2 k k a nn 2 22 1 22 1211411 1 212 n nnn Sn nnn 故这些三角形的面积之和的极限 2 1411111 limlim 14 12123 nn nn S nnn 抛物线定义的妙用抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题的求解 若能巧妙地应用定义思考 常能化繁为简 优化解题思路 提高思维能力 现举例说明如下 一 求轨迹 或方程 例 1 已知动点 M 的坐标满足方程 则动点 M 的轨迹是 A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 以上都不对 解 由题意得 7 7 即动点到直线的距离等于它到原点 0 0 的距离 由抛物线定义可知 动点 M 的轨迹是以原点 0 0 为焦点 以直线为准线的抛物线 故选 C 二 求参数的值 例 2 已知抛物线的顶点在原点 焦点在 y 轴上 抛物线上一点到焦点距离为 5 求 m 的值 解 设抛物线方程为 准线方程 点 M 到焦点距离与到准线距离相等 解得 抛物线方程为 把代入得 三 求角 例 3 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A B 两点 若 A B 在抛物线准线上的射影分别为 则 A 45 B 60 C 90 D 120 图 1 解 如图 1 由抛物线的定义知 则 由题意知 即 故选 C 四 求三角形面积 例 4 设 O 为抛物线的顶点 F 为抛物线的焦点且 PQ 为过焦点的弦 若 求 OPQ 的 面积 解析 如图 2 不妨设抛物线方程为 点 点 8 8 图 2 则由抛物线定义知 又 则 由得 即 又 PQ 为过焦点的弦 所以 则 所以 点评 将焦点弦分成两段 利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示 结合抛物线方程 利用韦达定理 是常见的基本技能 五 求最值 例 5 设 P 是抛物线上的一个动点 1 求点 P 到点 A 1 1 的距离与点 P 到直线的距离之和的最小值 2 若 B 3 2 求的最小值 解 1 如图 3 易知抛物线的焦点为 F 1 0 准线是 由抛物线的定义知 点 P 到直线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离 于是 问题转化为 在曲线上求一点 P 使点 P 到点 A 1 1 的距离与点 P 到 F 1 0 的距离之和最 小 显然 连结 AF 交曲线于 P 点 则所求最小值为 即为 图 3 2 如图 4 自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q 交抛物线于点 则 则有 即的最小值为 4 9 9 图 4 点评 本题利用抛物线的定义 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 从而构造出 两点间线段距离最短 使问题获解 六 证明 例 6 求证 以抛物线过焦点的弦为直径的圆 必与此抛物线的准线相切 证明 如图 5 设抛物线的准线为 过 A B 两点分别作 AC BD 垂直于 垂足分别为 C D 取线段 AB 中点 M 作 MH 垂直 于 H 图 5 由抛物线的定义有 ABDC 是直角梯形 即为圆的半径 而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直 故本题得证 抛物线与面积问题抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题 解答此类问题时 要充分利用抛物线和面 积的有关知识 重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离 得出相应的线段长或高 从而求解 例 1 如图 1 二次函数的图像与 x 轴交于 A B 两点 其中 A 点坐标为 1 0 点 C 0 5 点 D 1 8 在抛物线上 M 为抛物线的顶点 图 1 1 求抛物线的解析式 2 求 MCB 的面积 解 1 设抛物线的解析式为 根据题意得 10 10 解得 所求的抛物线的解析式为 2 C 点坐标为 0 5 OC 5 令 则 解得 B 点坐标为 5 0 OB 5 顶点 M 的坐标为 2 9 过点 M 作 MN AB 于点 N 则 ON 2 MN 9 例 2 如图 2 面积为 18 的等腰直角三角形 OAB 的一条直角边 OA 在 x 轴上 二次函数 的图像过原点 A 点和斜边 OB 的中点 M 图 2 1 求出这个二次函数的解析式和对称轴 2 在坐标轴上是否存一点 P 使 PMA 中 PA PM 如果存在 写出 P 点的坐标 如果不存在 说明理 由 解 1 等腰直角 OAB 的面积为 18 OA OB 6 M 是斜边 OB 的中点 点 A 的坐标为 6 0 点 M 的坐标为 3 3 抛物线 解得 解析式为 对称轴为 2 答 在 x 轴 y 轴上都存在点 P 使 PAM 中 PA PM 11 11 P 点在 x 轴上 且满足 PA PM 时 点 P 坐标为 3 0 P 点在 y 轴上 且满足 PA PM 时 点 P 坐标为 0 3 例 3 二次函数的图像一部分如图 3 已知它的顶点 M 在第二象限 且经过点 A 1 0 和点 B 0 1 图 3 1 请判断实数 a 的取值范围 并说明理由 2 设此二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为 c 当 AMC 的面积为 ABC 面积的倍时 求 a 的值 解 1 由图象可知 图象过点 0 1 所以 c 1 图象过点 1 0 则 当时 应有 则 当代入 得 即 所以 实数 a 的取值范围为 2 此时函数 要使 可求得 例 4 如图 4 在同一直角坐标系内 如果 x 轴与一次函数的图象以及分别过 C 1 0 D 4 0 两点且平行于 y 轴的两条直线所围成的图形 ABDC 的面积为 7 图 4 1 求 K 的值 2 求过 F C D 三点的抛物线的解析式 3 线段 CD 上的一个动点 P 从点 D 出发 以 1 单位 秒的速度沿 DC 的方向移动 点 P 不重合于点 C 过 P 点作直线 PQ CD 交 EF 于 Q 当 P 从点 D 出发 t 秒后 求四边形 PQFC 的面积 S 与 t 之间的函数关系 式 并确定 t 的取值范围 解 1 点 A B 在一次函数的图象上 且 四边形 ABDC 的面积为 7 12 12 2 由 F 0 4 C 1 0 D 4 0 得 3 PD 1 t t OP 4 t 即 抛物线抛物线 1 已知抛物线已知抛物线 D y2 4x 的焦点与椭圆的焦点与椭圆 Q 的右焦点的右焦点 F1重合 且点重合 且点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 在椭圆在椭圆 Q 上 上 求椭圆 求椭圆 Q 的方程及其离心率 的方程及其离心率 若倾斜角为 若倾斜角为 45 的直线的直线 l 2 6 2 P 过椭圆过椭圆 Q 的左焦点的左焦点 F2 且与椭圆相交于 且与椭圆相交于 A B 两点 求两点 求 ABF1的面积 的面积 解 由题意知 抛物线的焦点为 1 0 xy4 2 椭圆 Q 的右焦点 F1的坐标为 1 0 1 22 ba 又点在椭圆 Q 上 即 2 6 2 P1 2 6 2 2 2 2 2 ba 1 2 32 22 ba 由 解得 椭圆 Q 的方程为 离心离 3 4 22 ba1 34 22 yx 2 1 1 2 2 a b a c e 由 知 F2 1 0 直线 l 的方程为 设1 1 45tan0 xyxy 即 由方程组 消 y 整理 得 2211 yxByxA 1 34 1 22 yx xy 7 8 7 8 0887 2121 2 xxxxxx 13 13 7 212 4 2 2 21 2 2121 xxxxxxAB 又点 F1到直线 l 的距离 2 1 1 11 2 d 7 12 2 7 212 2 1 2 1 1 dABS ABF 2 如图所示 抛物线如图所示 抛物线 y2 4x 的顶点为的顶点为 O 点 点 A 的坐标为的坐标为 5 0 倾斜角为 倾斜角为的直线的直线 l 与线段与线段 OA 相交相交 不经不经 4 过点过点 O 或点或点 A 且交抛物线于且交抛物线于 M N 两点 求两点 求 AMN 面积最大时直线面积最大时直线 l 的方程 并求的方程 并求 AMN 的最大的最大 面积面积 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由题意 可设 l 的方程为 y x m 其中 5 m 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由方程组 消去 y 得 xy mxy 4 2 x2 2m 4 x m2 0 直线 l 与抛物线有两个不同交点 M N 方程 的判别式 2m 4 2 4m2 16 1 m 0 解得 m 1 又 5 m 0 m 的范围为 5 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 4 2m x1 x2 m2 MN 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点 A 到直线 l 的距离为 d 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2m 2 5m S 2 5 m 从而 S 2 4 1 m 5 m 2 2 2 2m 5 m 5 m 2 m 1 3 5522mmm 3 128 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 S 8 当且仅当 2 2m 5 m 即 m 1 时取等号 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 故直线 l 的方程为 y x 1 AMN 的最大2 面 积为 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 解法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由题意 可设 l 与 x 轴相交