高中数学：2.1《指数函数》学案（新人教A版必修1）

第第 5 5 课时课时 指数函数指数函数 1 1 根式 根式 1 定义 若 axn 则x称为a的n次方根 当n为奇数时 na与 次方根记作 当n为偶数时 负数a没有n次方根 而正数a有两个n次方根且互为相反数 记作 a 0 2 性质 aa nn 当n为奇数时 aa nn 当n为偶数时 nn a 0 0 aa aa 2 指数 指数 1 规定 a0 a 0 a p 0 m nm n aaam 2 运算性质 raaaa srsr 0 a 0 r s Q raaa srsr 0 a 0 r s Q rbababa rrr 0 0 a 0 r s Q 注 上述性质对 r s R R 均适用 3 3 指数函数 指数函数 定义 函数 称为指数函数 1 函数的定义域为 2 函数的值 域为 3 当 时函数为减函数 当 时为增函数 函数图像 1 过点 图象在 2 指数函数以 为渐近线 当 10 a 时 图象 向 无限接近x轴 当 1 a 时 图象向 无限接近x轴 3 函数 xx ayay 与 的图象关 于 对称 函数值的变化特征 10 a1 a 基础过关基础过关 与 0 x 与 0 x 与 0 x 与 0 x 与 0 x 与 0 x 例例 1 1 已知 a 9 1 b 9 求 1 3 15 3 8 3 3 2 7 aaaa 2 1 11 ab ba 解 解 1 原式 3 1 2 7 a 3 1 2 3 a a 2 1 3 8 2 1 3 15 a 2 1 6 7 a 2 5 3 4 a 2 1 a 9 1 原式 3 2 方法一方法一 化去负指数后解 11 11 1 11 ba ab ab ba ab ba ab ba a 9 9 1 b a b 9 82 方法二方法二 利用运算性质解 11 1111 1 11 1 1 11 ab abba b ba a ab ba a 9 9 1 b a b 9 82 变式训练变式训练 1 1 化简下列各式 其中各字母均为正数 1 65 3 1 2 1 2 1 1 3 2 ba baba 2 4 3 6 5 2 1 3 3 2 1 2 1 2 3 1 bababa 解 解 1 原式 1 00 6 5 3 1 2 1 6 1 2 1 3 1 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 1 baba ba baba 2 原式 4 51 4 5 4 5 4 5 2 2 5 2 3 2 3 2 1 2 3 3 1 3 6 1 2 3 3 1 3 6 1 ab ab ab bababababa 例例 2 2 函数 f x x2 bx c 满足 f 1 x f 1 x 且 f 0 3 则 f bx 与 f cx 的大小关系是 A f bx f cx B f bx f cx C f bx f cx D 大小关系随 x 的不同而不同 解 解 A 变式训练变式训练 2 2 已知实数 a b 满足等式 ba 3 1 2 1 下列五个关系式 0 b a a b 0 0 a b b a 0 a b 其中不可能成立的关系式有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 典型例题典型例题 解 解 B 例例 3 3 求下列函数的定义域 值域及其单调区间 1 f x 3 45 2 xx 2 g x 5 2 1 4 4 1 xx 解 解 1 依题意 x2 5x 4 0 解得 x 4 或 x 1 f x 的定义域是 1 4 令 u 4 9 2 5 45 22 xxx x 1 4 u 0 即45 2 xx 0 而 f x 3 45 2 xx 30 1 函数 f x 的值域是 1 u 4 9 2 5 2 x 当 x 1 时 u 是减函数 当 x 4 时 u 是增函数 而 3 1 由复合函数的单调性可知 f x 3 45 2 xx 在 1 上是减函数 在 4 上是增函数 故 f x 的增区间是 4 减区间是 1 2 由 g x 5 2 1 4 2 1 5 2 1 4 4 1 2 xxxx 函数的定义域为 R R 令 t 2 1 x t 0 g t t2 4t 5 t 2 2 9 t 0 g t t 2 2 9 9 等号成立的条件是 t 2 即 g x 9 等号成立的条件是 x 2 1 2 即 x 1 g x 的值域是 9 由 g t t 2 2 9 t 0 而 t x 2 1 是减函数 要求 g x 的增区间实际上是求 g t 的减 区间 求 g x 的减区间实际上是求 g t 的增区间 g t 在 0 2 上递增 在 2 上递减 由 0 t x 2 1 2 可得 x 1 由 t x 2 1 2 可得 x 1 g x 在 1 上递减 在 1 上递增 故 g x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 1 变式训练变式训练 3 3 求下列函数的单调递增区间 1 y 2 26 2 1 xx 2 y 2 6 2 xx 解 解 1 函数的定义域为 R 令 u 6 x 2x2 则 y u 2 1 二次函数 u 6 x 2x2的对称轴为 x 4 1 在区间 4 1 上 u 6 x 2x2是减函数 又函数 y 2 1 u是减函数 函数 y 2 26 2 1 xx 在 4 1 上是增函数 故 y 2 26 2 1 xx 单调递增区间为 4 1 2 令 u x2 x 6 则 y 2u 二次函数 u x2 x 6 的对称轴是 x 2 1 在区间 2 1 上 u x2 x 6 是增函数 又函数 y 2u为增函数 函数 y 2 6 2 xx 在区间 2 1 上是增函数 故函数 y 2 6 2 xx 的单调递增区间是 2 1 例例 4 4 设 a 0 f x x x a ae e 是 R R 上的偶函数 1 求 a 的值 2 求证 f x 在 0 上是增函数 1 解 解 f x 是 R 上的偶函数 f x f x e e e e x x x x a a a a a e 1 e 1 x x a 0 对一切 x 均成立 a a 1 0 而 a 0 a 1 2 证明证明 在 0 上任取 x1 x2 且 x1 x2 则 f x1 f x2 1 e x 1 e 1 x 2 e x 2 e 1 x ee 12 xx 1 e 1 21 xx x1 x2 ee 21 xx 有 0 ee 12 xx x1 0 x2 0 x1 x2 0 21 e xx 1 21 e 1 xx 1 0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 故 f x 在 0 上是增函数 变式训练变式训练 4 4 已知定义在 R R 上的奇函数 f x 有最小正周期 2 且当 x 0 1 时 f x 14 2 x x 1 求 f x 在 1 1 上的解析式 2 证明 f x 在 0 1 上是减函数 1 解 解 当 x 1 0 时 x 0 1 f x 是奇函数 f x f x 14 2 14 2 x x x x 由 f 0 f 0 f 0 且 f 1 f 1 f 1 2 f 1 得 f 0 f 1 f 1 0 在区间 1 1 上 有 f x 1 0 10 0 1 14 2 1 0 14 2 x x x x x x x 2 证明证明 当 x 0 1 时 f x 14 2 x x 设 0 x1 x2 1 则 f x1 f x2 14 14 12 22 14 2 14 2 21 2112 2 2 1 1 xx xxxx x x x x 0 x1 x2 1 12 22 xx 0 2 21 xx 1 0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 故 f x 在 0 1 上单调递减 1 b N a ab N logaN b 其中 N 0 a 0 a 1 是同一数量关系的三种不同表示形式 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化 选择最好的形式进行运算 在运算中 根式常常化为指数式比较方便 而对数式一般应化为同底 2 处理指数函数的有关问题 要紧密联系函