山东省文登市九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案 人教新课标版

用心 爱心 专心1 山东省文登市九年级数学上册山东省文登市九年级数学上册 一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 教案教案 人教新课标版人教新课标版 一 教学目的 1 使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式 2 使学生掌握不解方程 运用判别式判断一元二次方程根的情况 二 教学重点 难点 重点 一元二次方程根的判别式的应用 难点 一元二次方程根的判别式的推导 三 教学过程 复习提问 1 一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么 2 用公式法求出下列方程的解 1 3x2 x 10 0 2 x2 8x 16 0 3 2x2 6x 5 0 引入新课 通过上述一组题 让学生回答出 一元二次方程的根的情况有三种 即有两个不相等 的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 接下来向学生提出问题 是什么条件决定着一元二次方程的根的情况 这条件与方程 的根之间又有什么关系呢 能否不解方程就可以明确方程的根的情况 这正是我们本课要 探讨的课题 板书本课标题 新课 先讨论上述三个小题中 b2 4ac 的情况与其根的联系 再做如下推导 对任意一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 可将其变形为 a 0 4a2 0 由此可知 b2 4ac 的值的 三岐性 即正 零 负直接影响着方程的根的情况 1 当 b2 4ac 0 时 方程右边是一个正数 2 当 b2 4ac 0 时 方程右边是 0 通过以上讨论 总结出 一元二次方程 ax2 bx c 0 的根的情况可由 b2 4ac 来判 定 故称 b2 4ac 是一元二次方程 ax2 bx c 0 的根的判别式 通常用 来表示 用心 爱心 专心2 综上所述 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 当 0 时 有两个不相等的实数根 当 0 时 有两个相等的实数根 当 0 时 没有实数根 反过来也成立 注 读作 delta 例 不解方程 判别下列方程根的情况 1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0 分析 要想确定上述方程的根的情况 只需算出 确定它的符号情况即可 练习 P26 1 2 3 小结 应用判别式解题应注意以下几点 1 应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式 为应用判别式创造条件 2 不必解方程 只须先求出 确定其符号即可 具体数值不一定要计算出来 3 其逆命题也是成立的 作业 习题 12 3 A 组 1 4 第 9 课 一元二次方程的根的判别式 二 一 教学目的 通过对含有字母系数方程的根的讨论 培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证 能力和逻辑思维能力 培养学生思考问题的灵活性和严密性 二 教学重点 难点 重点 巩固掌握根的判别式的应用能力 难点 利用根的判别式进行有关证明 三 教学过程 复习提问 1 写出一元二次方程 ax2 bx c 0 的根的判别式 2 方程 ax2 bx c 0 a 0 的根有哪几种情况 如何判断 引入新课 教材中 想一想 提出了如下问题 已知关于 x 的方程 2x2 4k 1 x 2k2 1 0 其中 4k 1 2 4 2 2k2 1 16k2 8k 1 16k2 8 8k 9 想一想 当 k 取什么值时 1 方程有两个不相等的实数根 2 方程有两个相等的实 数根 3 方程没有实数根 新课 上述问题 实际上是这样一道题目 例 1 当 k 取什么值时 关于 x 的方程 2x2 4k 1 x 2k2 1 0 1 有两个不相等的实数根 2 有两个相等实数根 3 方程没有实数根 讲解例 1 用心 爱心 专心3 例 2 求证关于 x 的方程 k2 1 x2 2kx k2 4 0 没有实数根 分析 要证明上述方程没有实数根 只须证明其根的判别式 0 即可 例 3 证明关于 x 的方程 x 1 x 2 m2 有两个不相等的实数根 讲解例 3 例 4 已知 a b c 是 ABC 的三边的长 求证方程 a2x2 a2 b2 c2 x b2 0 没有实数 根 讲解例 4 练习 1 若 m n 求证关于 x 的方程 2x2 2 m n x m2 n2 0 无实数根 2 求证 关于 x 的方程 x2 2m 1 x m2 m 0 有两个不相等的实数根 小结 解决判定一元二次方程 ax2 bx c 0 的方程根的情况应依照下列步骤进行 1 计算 2 用配方法将 恒等变形 或变成易于观察其符号的情况 3 判断 的符号 得出结论 作业 习题 12 3 B 组 第 10 课 一元二次方程的根与系数的关系 一 一 教学目的 1 使学生掌握一元二次方程根与系数的关系 即韦达定理 并学会初步运用 2 培养学生分析 观察以及利用求根公式进行推理论证的能力 二 教学重点 难点 重点 韦达定理的推导和初步运用 难点 定理的应用 三 教学过程 复习提问 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 的求根公式应如何表述 2 上述方程两根之和等于什么 两根之积呢 新课 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 由此得出 一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 又称 韦达定理 如果 ax2 bx c 0 a 0 的两个根是 x1 x2 那么 我们再来看二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 px q 0 的根与系数的关系 用心 爱心 专心4 得出 如果方程 x2 px q 0 的两根是 x1 x2 那么 x1 x2 p x1x2 q 由 x1 x2 p x1x2 q 可知 p x1 x2 q x1 x2 方程 x2 px q 0 即 x2 x1 x2 x x1 x2 0 这就是说 以两个数 x1 x2 为根的一元二次方程 二次项系数为 1 是 x2 x1 x2 x x1 x2 0 例 1 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根是 2 求它的另一根及 k 的值 讲解例 1 练习 P32 1 2 小结 1 本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理 应在应用过程中熟记定理 2 要掌握定理的两个应用 一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积 二是已 知方程一根求另一根及系数中字母的值 作业 习题 12 4 A 组 1 第 11 课 一元二次方程的根与系数的关系 二 一 教学目的 1 复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理 2 学习定理的又一应用 即 已知方程 求方程两根的代数式的值 3 通过应用定理 培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力 二 教学重点 难点 重点 已知方程求关于根的代数式的值 难点 用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式 三 教学过程 复习提问 1 一元二次方程根与系数关系的定理是什么 2 下列各方程两根之和与两根之积各是什么 1 x2 3x 18 0 2 x2 5x 4 5 3 3x2 7x 2 0 4 2x2 3x 0 引入新课 考虑下列两个问题 1 方程5x2 kx 6 0 两根互为相反数 k 为何值 2 方程 2x2 7x k 0 的两根中有一个根为 0 k 为何值 我们可以从这两题中看出 根与系数之间的运算是十分巧妙的 本课我们将深入探讨 这一问题 新课 例 2 利用根与系数的关系 求一元二次方程 2x2 3x 1 0 两根的 1 平方和 2 倒数 用心 爱心 专心5 和 在讲本题时 要突出讲使用韦达定理 寻求 x2 px q 0 中的 p q 的值 例 4 已知两个数的和等于 8 积等于 9 求这两个数 这是一道 根与系数的关系定理 的应用题 要注意讲此类题的解题步骤 1 运用定理构造方程 2 解方程求两根 3 得出所欲求的两个数 练习 P32 3 4 5 小结 本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法 1 已知方程求两根的各种代数式 的值 2 已知两根的代数式的值 构造新方程 3 已知两根的和与积 构造方程 解方 程 求出与根对应的数 作业 习题 12 4 A 组 2 3 4 第 12 课 二次三项式的因式分解 公式法 一 一 教学目的 1 使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系 2 使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式 二 教学重点 难点 重点 用求根法分解二次三项式 难点 方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别 三 教学过程 复习提问 解方程 1 x2 x 6 0 2 3x2 11x 10 0 3 4x2 8x 1 0 引入新课 在解上述方程时 第 1 2 题均可用十字相乘法分解因式 迅速求解 而第 3 题则只有 采用其他方法 此题给我们启示 用十字相乘法分解二次三项式 有时是无法做到的 是 否存在新的方法能分解二次三项式呢 第 3 个方程的求解给我们以启发 新课 二次三项式 ax2 bx c a 0 我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式 下面我 们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法 易知 解一元二次方程 2x2 6x 4 0 时 可将左边分解因式 即 2 x 1 x 2 0 求得其两根 x1 1 x2 2 反之 我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式 即 令二次三项式为 0 解此一元二次方程 求出其根 从而分解二次三项式 具体方法如下 如果一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两个根是 用心 爱心 专心6 a x2 x1 x2 x x1x2 a x x1 x x2 从而得出如下结论 在分解二次三项式 ax2 bx c 的因式时 可先用公式求出方程 ax2 bx c 0 的两根 x1 x2 然后写成 ax2 bx c a x x1 x x2 例如 方程 2x2 6x 4 0 的两根是 x1 1 x2 2 则可将二次三项式分解因式 得 2x2 6x 4 2 x 1 x 2 例 1 把 4x2 5 分解因式 讲解例 1 练习 P37 1 小结 用公式法解决二次三项式的因式分解问题时 其步骤为 1 令二次三项式 ax2 bx c 0 2 解方程 用求根公式等方法 得方程两根 x1 x2 3 代入 a x x1 x x2 作业 习题 12 5 A 组 1 第 13 课 二次三项式的因式分解 公式法 二 一 教学目的 使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法 二 教学重点 难点 重点 用求根公式法分解二次三项式 难点 二元二次三项式的因式分解 三 教学过程 复习提问 求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些 引入新课 上节课我们证明了 ax2 bx c a x x1 x x2 其中 x1 x2 分别等于什么 应用这一结论 今天我们深入的探讨一些问题 新课 例 2 把 4x2 8x 1 分解因式 此题注意将二次项系数 4 分解乘入两因式的必要性 即化简结论 例 3 把 2x2 8xy 5y2 分解因式 注意视之为关于 x 的方程 视 y 为常数的重要性 练习 P37 2 小结 二次三项式 ax2 bx c a 0 分解因式的方法有三种 即 用心 爱心 专心7 1 利用完全平方公式 2 十字相乘法 即 x2 a b x ab x a x b acx2 ad bc x bd ax b cx d 3 求根法 ax2 bx c a x x1 x x2 1 当 b2 4ac 0 时 可在实数范围内分解 2 当 b2 4ac 0 时 在实数范围内不能分解 作业 习题 12 5 A 组 2 第 14 课一元二次方程的应用 一 一 教学目的 1 使学生会列出一元二次方程解应用题 2 使学生通过列方程解应用题 进一步提高逻辑思维能力和分析问题 解决问题的能 力 二 教学重点 难点 重点 由应用问题的条件列方程的方法 难点 设 元 的灵活性和解的讨论 三 教学过程 复习提问 1 一元二次方程有哪些解法 要求学生答出 开方法 配方法 公式法 因式分解 法 2 回忆一元二次方程解的情况 要求学生按 0 0 0 三种情况回答问 题 3 我们已经学过的列方程解应用题时 有哪些基本步骤 要求学生回答 审题 设未知数 根据等量关系列方程 组 解方程 组 检验并写出答案 引入新课 我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用 此类问题还有吗 回答是肯定的 还有很多 本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题 新课 本章开始时 教材 P3 中我们提出了如下问题 用一块长 80cm 宽 60cm 的薄钢片 在 四个角上截去四个相同的小正方形 然后做成底面积为 1500cm2 的无盖长方形盒子 试问 应如何求出截去的小正方形的边长 解 设小正方形边长为 xcm 则盒子底面的长 宽分别为 80 2x cm 及 60 2x cm 依 题意 可得 80 2x 60 2x 1500 即 x2 70 x 825 0 当时 我们不会解此方程 现在 可用求根公式解此方程了 用心 爱心 专心8 x1 55 x2 15 当 x 55 时 80 2x 30 60 2x 50 当 x 15 时 80 2x 50 60 2X 30 由于长 宽不能取负值 故只能取 x 15 即小正方形的边长为 15cm 我们再回忆本章第 1 节中的一个应用题 剪一块面积是 150cm2 的长方形铁片 使它的长比宽多 5cm 这块铁片应怎样剪 分析 要解决此问题 需求出铁片的长和宽 由于长比宽多 5cm 可设宽为未知数来 列方程 解 设这块铁片宽 xcm 则长是 x 5 cm 依题意 得 x x 5 150 即 x2 5x 150 0 x1 10 x2 15 舍去 x 10 x 5 15 答 应将之剪成长 15cm 宽 10cm 的形状 练习 P41 1 2 小结 利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是 审题 设未知数 列方程 解 方程 依题意检验所得的根 得出结论并作答 作业 习题 12 6 A 组 1 2 3 第 15 课 一元二次方程的应用 二 一 教学目的 使学生掌握有关面积和体积方面以及 药液问题 的一元二次方程应用题的解法 提 高学生化实际问题为数学问题的能力 二 教学重点 难点 重点 用图示法分析题意列方程 难点 方程的布列 三 教学过程 复习提问 本小节第一课我们介绍了什么问题 引入新课 今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及 药液问题 的一元二次方程的应用题 及其解法 新课 例 1 如图 1 有一块长 25cm 宽 15cm 的长方形铁皮 如果在铁皮的四个角上截去四 个相同的小正方形 然后把四边折起来 做成一个底面积为 231cm2 的无盖长方体盒子 求 截去的小正方形的边长应是多少 用心 爱心 专心9 分析 如图 1 考虑设截去的小正方形边长为 xcm 则底面的长为 25 2x cm 宽为 15 2x cm 由此 知由长 宽 矩形面积 可列出方程 解 设小正方形的边长为 xcm 依题意 得 25 2x 15 2x 231 即 x2 20 x 36 0 解得 x1 2 x2 18 舍去 答 截去的小正方形的边长为 2cm 例 2 一个容器盛满药液 20 升 第一次倒出若干升 用水加满 第二次倒出同样的升 数 这时容器里剩下药液 5 升 问每次倒出药液多少升 x 10 答 第一 二次倒出药液分别为 10 升 5 升 练习 P41 3 4 小结 1 注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题 2 要注意关于 药液问题 应用题 列方程要以 剩下药液 为依据列式 作业 习题 12 6 4 5 6 7 第 16 课 一元二次方程的应用 三 一 教学目的 使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法 并进一步培养学生分析问 题和解决问题的能力 二 教学重点 难点 重点 弄清有关增长率的数量关系 难点 利用数量关系列方程的方法 三 教学过程 复习提问 1 问题 1 某厂生产某种产品 产品总数为 1600 个 合格品数为 1563 个 合格率 是多少 2 某种田农户用 800 千克稻谷碾出 600 千克大米 问出米率是多少 3 某商店二月份的营业额为 3 5 万元 三月份的营业额为 5 万元 三月份与二月份相 比 营业额的增长率是多少 新课 例 1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为 5000 吨 三月份上升到 7200 吨 这两个月 平均每月增产的百分率是多少 分析 用译式法讨论列式 一月份产量为 5000 吨 若月增长率为 x 则二月份比一月份增产 5000 x 吨 二月份产量为 5000 5000 x 5000 1 x 吨 三月份比二月份增产 5000 1 x x吨 三月份产量为 5000 1 x 5000 1 x x 5000 1 x 2 吨 再根据题意 即可列出方 用心 爱心 专心10 程 解 设平均每月增长的百分率为 x 根据题意 得 5000 1 x 2 7200 即 1 x 2 1 44 1 x 1 2 x1 0 2 x2 2 2 不合题意 舍去 答 平均每月增长率为 20 例 2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍 50 万册 第一季度共印 182 万册 问二 三月 份平均每月的增长率是多少 解 设每月增长率为 x 依题意得 50 50 1 x 50 1 x 2 182 答 二 三月份平均月增长率为 20 练习 P41 5 小结 依题意 依增长情况列方程是此类题目解题的关键 作业 习题 12 6 A 组 8 第 17 课可化为一元二次方程的分式方程 教学目的 1 使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法 会用去分母或换元法求方程的 解 2 使学生了解解分式方程产生增根的原因 掌握验根的方法 3 结合教学对学生进行化归转化思想的培养 教学重点 将分式方程转化为一元二次方程 教学难点 分式方程验根的必要性的认识 教学过程 一 复习 1 我们学过分式方程 同学们还记得怎样解分式方程吗 2 请同学们解下列方程 3 请同学们结合上面两个题 回答下列问题 1 什么是分式方程 解分式方程的一般方法与步骤是什么 2 在解分式方程过程中 容易犯的错误是什么 应当怎样避免 3 解分式方程为什么必须验根 应当怎样验根 指出 分母里含有未知数的方程叫做分式方程 解分式方程的一般思路是化分式方程为整式 用心 爱心 专心11 方程 解分式方程的一般步骤是 1 把方程中各分式的分母因式分解 确定各分式的最简公分母 2 用最简公分母去乘方程两边 约去分母 使分式方程化为整式方程 3 解这个整式方程 得到此整式方程的根 4 检验 解分式方程容易犯的错误有 1 去分母时 原方程的整式部分漏乘 2 约去分母后 分子是多项式时 要注意添括号 根据方程同解原理 方程两边都乘以不等于零的同一个数 所得方程与原方程同 解 而我们在解分式方程时 方程两边同时乘以最简公分母 它是一个整式 当此整式为 零时 就破坏了方程的同解原理 因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根 所以解 分式方程必须验根 验根的一般方法是 把最后整式方程的根代入最简公分母 看结果是 否为零 使最简公分母为零的根为原方程的增根 必须舍去 否则是原方程的根 二 新课 讲解例 1 讲解例 2 三 练习 P49 1 2 四 小结 1 分式方程的定义 2 分式方程的一般解法及解方程步骤 3 用换元法解分式方程时 方程具备的特点 验根的方法 五 作业 习题 12 7 A 组 1 2 3 4 第 18 课可化为一元二次方程的分式方程的应用 教学目的 1 使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法 会用去分母或换元法求方程的 解 2 会列出可化为一元二次方程的分式方程 解应用题 3 在教学中培养学生分析问题与解决问题的能力 教学重点 列方程 教学过程 一 复习 用心 爱心 专心12 1 什么叫分式方程 解分式方程的一般方法是什么 在不同的解法过程中应分别注意 什么 二 新课 今天我们学习利用分式方程解应用题 例 1 甲乙二人同时从张庄出发 步行 15 千米来到李庄 甲比乙每小时多走 1 千米 结 果比乙早到半小时 二人每小时各走几千米 讲解例 1 例 2 某农场开挖一条长 960m 的渠道 开工后每天比原计划多挖 20m 结果提前 4 天完 成任务 原计划每天挖多少 讲解例 2 三 练习 1 从甲站到乙站有 150 千米 一列快车和一列慢车同时从甲站开出 1 小时后 快车 在慢车前 12 千米 快车到达乙站此慢车早 25 分 快车和慢车每小时各走几千米 2 某工厂贮存 350 吨煤 由于改进炉灶和烧煤技术 每天能节约 2 吨煤 使贮存煤比 原计划多用 20 天 贮存的煤原计划用多少天 每天烧少吨 3 甲 乙两队学生绿化校园 如果两队合作 6 天可以完成 如果单独工作 甲队比 乙队少用 5 天 两队单独工作各需多少天完成 四 小结 1 列方程解应用题的一般步骤 2 列分式方程解应用题验根的两个目的 五 作业 习题 12 7A 组 4 5 第 19 课 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一 一 教学目的 1 使学生了解二元二次方程 二元二次方程组的概念 2 使学生熟练掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程 组 二 教学重点 难点 重点 用代入法解二元二次方程组 难点 二元一次方程代入二元二次方程的技巧 三 教学过程 复习提问 1 我们学过哪些方程及其解法 2 二元一次方程组有哪些解法 其解法步骤是什么 引入新课 我们已经知道 方程就是含有未知数的等式 方程 用心 爱心 专心13 x2 2xy y2 x y 6 0 是一个含有两个未知数 并且含有未知数的项的最高次数是 2 的方程 这样的方程我 们怎样称呼它呢 新课 形如方程 和下述方程 1 x2 3y2 4x 3y 6 0 2 xy 3y 7 0 3 x2 3xy 5 0 4 x2 y2 4 0 等 含有两个未知数 并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫做二元二次方 程 其中 中 x2 2xy y2 叫做这个方程的二次项 4x 3y 叫做一次项 6 叫做常数 项 我们看下面的两个方程组 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的 第二个方程组是由 两个二元二次方程组成的 像这样的方程组叫做二元二次方程组 本课主要研究由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法来解 注意以下三点 2 为什么将 x1 x2 代入 3 作此类题要按格式写规范 练习 P57 1 2 小结 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的二元二次方程组 其解法步骤是 将一次方程代入二次方程 将之化为一元方程 解一元方程 求出一个未知数的值 将求出的一个未知数的值代入一次方程 求出另一个未知数的值 写出方程组的解 作业 P12 8A 组 1 2 第 19 课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 二 用心 爱心 专心14 一 教学目的 1 使学生深入理解二元二次方程 二元二次方