高中数学《等比数列的前n项和》教案5 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 课课 题题 3 53 5 等比数列的前等比数列的前 n n 项和 二 项和 二 教学目的 教学目的 1 会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题qnaaS nn 1 2 提高分析 解决问题能力 教学重点 教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 教学难点 教学难点 灵活使用公式解决问题 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 首先回忆一下前几节课所学主要内容 1 1 等比数列 等比数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 即 q q 0 1 n n a a 2 2 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 0 1 1 1 qaqaa n n1 0 n m nm aaqa q 3 3 成等比数列 q q 0 n a n n a a 1 Nn 0 是数列 成等比数列的必要非充分条件 n a n a 4 4 既是等差又是等比数列的数列 既是等差又是等比数列的数列 非零常数列 5 5 等比中项 等比中项 G为a与b的等比中项 即G a b同号 ab 6 6 性质 性质 若 m n p q qpnm aaaa 7 7 判断等比数列的方法 判断等比数列的方法 定义法 中项法 通项公式法 8 8 等比数列的增减性 等比数列的增减性 当 q 1 0 或 0 q 1 1 0 或 0 q0 时 是递减数列 当 q 1 时 1 a 1 a n a 用心 爱心 专心2 是常数列 当 q 0 时 是摆动数列 n a n a 9 9 等比数列的前 等比数列的前 n n 项和公式 项和公式 当时 或 1 q q qa S n n 1 1 1 q qaa S n n 1 1 当 q 1 时 1 naSn 当已知 q n 时用公式 当已知 q 时 用公式 1 a 1 a n a 1010 是等比数列的前 n 项和 n S n a 当q 1 且k为偶数时 不是等比数列 kkkkk SSSSS 232 当q 1 或k为奇数时 仍成等比数列 kkkkk SSSSS 232 二 例题讲解二 例题讲解 例 1 已知等差数列 的第二项为 8 前十项的和为 185 从数列 n a n a 中 依次取出第 2 项 第 4 项 第 8 项 第项按原来的顺序排成一 n 2 个新数列 求数列 的通项公式和前项和公式 n b n b n S 解 解得 5 d 3 1854510 8 1 1 da da 1 a 3n 2 3 2 n a n b n a2 n 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 n S 2 2 3 2 n 2 3 2n 6 2n 6 分组求和法 12 12 2 n n 2 例 2 设数列为求此数列前项的和 n a 132 4 3 2 1 n nxxxx 0 xn 解 用错项相消法 132 4321 n n nxxxxS nn n nxxnxxxxS 132 132 用心 爱心 专心3 nn n nxxxxSx 12 11 当时 1 x n n n nx x x Sx 1 1 1 x nxnxx nnn 1 1 1 x nxxn nn 1 11 1 2 1 1 11 x nxxn S nn n 当时 1 x 2 1 4321 nn nSn 例 3 等比数列前项和与积分别为 S 和 T 数列的前项和为 n an n a 1 n S 求证 n S S T 2 证 当时 1 q 1 naS n aT 1 1 a n S 成立 2 2 1 1 1 1 Ta a n na S S n n n 当时 1 q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 qqa q q qa SqaT q qa S n nn nn n 成立 2 2 1 2 1 1 1 2 1 Tqaqa S S nn n n n n 综上所述 命题成立 用心 爱心 专心4 例 4 设首项为正数的等比数列 它的前项之和为 80 前项之和为nn2 6560 且前项中数值最大的项为 54 求此数列n 解 由题意 81821 26560 1 1 180 1 1 2 1 1 nn n n qq q qa q qa 代入 1 得 从而 qqa n 1801 1 01 1 qa1 q 递增 前项中数值最大的项应为第项 n ann 1 1 n qa 11 1 nnn qqqq 5481 1 n q 3 275481 1 1 n n n q q qq 2131 1 qa 此数列为 162 54 18 6 2 例 5 求和 x 其中 1 1 1 2 2 n n y x y x y x 0 x 1 y 1 分析 上面各个括号内的式子均由两项组成 其中各括号内的前一项与后 一项分别组成等比数列 分别求出这两个等比数列的和 就能得到所求式子的 和 解 当x 0 x 1 y 1 时 x 1 1 1 2 2 n n y x y x y 111 2 2 n n yyy xxx 用心 爱心 专心5 y yy x xx nn 1 1 1 1 1 1 1 nn nn yy y x xx 1 1 1 1 三 练习三 练习 设数列前项之和为 若且 n an n S2 1 21 SS 问 数列成等比数列吗 2023 11 nSSS nnn n a 解 023 11 nnn SSS 即 02 11 nnnn SSSS02 1 nn aa 即 成等比数列2 1 n n a a 2 n n a 2 n 又 2 1 1 1 2 12211 a a SSaSa 不成等比数列 但当时成 n a 2 n 2 n 即 22 11 1 n n a n n 四 小结四 小结 本节课学习了以下内容 熟练求和公式的应用 五 课后作业五 课后作业 1 三数成等比数列 若将第三数减去 32 则成等差数列 若将该等差数 列中项减去 4 也成等比数列 求原三数 2 10 50 或