高中数学《数列的概念》同步练习14 北师大版必修5

1 数列的概念数列的概念 一 选择题 1 某数列的前四项为 则以下各式 n a0 2 0 2 2 1 1 2 n n a 11 n n a 2 0 n a n n 为奇数 为偶数 其中可作为的通项公式的是 n a A B C D 2 设函数满足 且 则 f x 2 1 2 f nn f n nN 12f 20f A 95 B 97 C 105 D 192 3 已知数列中 则的值是 n a 1 1a 11 1 n nnn a aa 2 nnN 3 5 a a A B C D 15 16 15 8 3 4 3 8 4 已知数列的首项 且 则为 n a 1 1a 1 21 nn aa 2 n 5 a A 7 B 15 C 30 D 31 5 已知 则在数列的前 50 项中最小项和最大项分别是 79 80 n n a n nN n a A B C D 1 a 50 a 1 a 8 a 8 a 9 a 9 a 50 a 提示 化为 作出图像 则可直接求解 8079 1 80 n a n 二 填空题 6 一个通项公式是 3 8 5 24 7 48 9 80 7 已知 则 1 1a 1 1 1 n n a a 2 n 5 a 8 数列中的最大项的值是 2 2293nn 9 已知是递增数列 且对任意都有恒成立 则实数的取值范 n anN 2 n ann 围是 2 三 解答题 10 数列满足 求 123 2312 n aaanan nn n a 11 已知数列的前三项依次是 1 2 3 它的前 n 项和为 试求 23 n Sanbncn a 的值 bc 12 已知一个数列的通项为 再构造一个新数列 sin 2 n n a nN 12 a a 这个数列是否为常数列 证明你的结论 34 a a 56 a a 等差数列 一 选择题 1 2004 武汉市高考模拟题 已知数列是等差数列 且 又 n a 311 50aa 4 13a 则等于 2 a A 1B 4C 5D 6 2 在等差数列中 则该数列的前 5 项和为 n a 3 2a A 10B 16C 20D 32 3 在中 则该数列中相邻两项的乘积是负数 n a 1 15a 1 332 nn aa nN 的项是 A 和 B 和 C 和 D 和 21 a 22 a 22 a 23 a 23 a 24 a 24 a 25 a 4 数列是等差数列的一个充要条件是 是该数列前 n 项和 n a n S A B n Sanb 2 n Sanbnc 3 C D 2 n Sanbn 0a 2 n Sanbn 5 已知数列 当达到最大值时 n 为 n a225 n an n S A 10B 11C 12D 13 6 设是数列的前 n 项和 已知 则 n n S n a 6 36S 324 n S 6 1446 n Sn 等于 A 15 B 16C 17D 18 提示 设 2 n Sanbn 二 填空题 7 设等差数列的公差为 且 则 n a2 14797 50aaaa 提示 36999 aaaa 31 2aad 64 2aad 9997 2aad 8 已知 成等差数列 则 lg 72x lg 45x lg1x log64 264 2 x 9 设等差数列的首项是 3 前 n 项和 n a 2 n Sanbnc 2 lim n n n a S 10 若数列的通项 由 所确定的数列 n a41 n an 12k k aaa b k kN 的前 n 项和为 k b 三 解答题 11 数列中 求数列的通项公式 n x 1 1x 1 2 2 2 n n n x x x n x 12 某产品按质量分 10 个档次 生产最低档次的利润是 8 元 件 每提高一个档次 利润 每件增加 2 元 每提高一个档次 产量减少 3 件 在相同时间内 最低档次的产品可生产 60 件 问 在相同时间内 生产第几档次的产品可获得最大利润 最低档次为第一档次 等比数列 4 一 选择题 1 若 成等差数列 则 lgalgblgc A B 2 ac b 1 lglg 2 bab C 成等差数列 D 成等比数列abcabc 2 一个各项均为正数的等比数列 其任何项都等于它后面两项的和 则其公比是 A B C D 5 2 15 2 2 5 15 2 3 已知 A是 的等差中项 G是 的等比中项 则 abR abab A B C ab AG D ab AG abAG abAG 4 若数列是等比数列 下列命题正确的个数为 n a 均为等比数列 成等差数列 2 n a 2n a ln n a 成等比数列 均为等比数列 1 n a n a n ca n ak A 4 B 3 C 2 D 1 5 公比的等比数列的前 n 项和公式恒等于 则这样的数列 1q 11n aa A 不存在 B 必存在 且公比可确定而首项不能确定 C 必存在 且公比不确定而首项确定 D 必存在 但公比和首项均不能确定 6 某企业在 1996 年初贷款M万元 年利率为m 从该年末开始 每年偿还的金额都是a 万元 并恰好在 10 年间还清 则a的值等于 A B C D 10 10 1 11 Mm m 10 1 Mm m 10 10 1 11 Mmm m 10 11 Mm m 二 填空题 7 等比数列中 公比 则 n a1q 200 100S 40 20 1 S q 8 正项等比数列的首项 其前 11 项的几何平均数为 若前 11 项中抽取 n a 5 1 2a 5 2 一项后的几何平均数仍是 则抽取一项的项数为 5 2 9 用分期付款方式购买家用电器一件 价格为 1150 元 购买当天先付 150 元 以后每月 这一天都交付 50 元 并加付欠款利息 月利率为 1 若交付 150 元后的第一个月开始算 分期付款的第一个月 全部欠款付清后 买这件家电实际付款 元 三 解答题 5 10 设有数列 若以 为系数的二次方程 n a 1 5 6 a 1 a 2 a n a 且 都有根 满足 2 1 10 nn axa x nN 2n 331 1 求证为等比数列 1 2 n a 2 求 n a 3 求的前 n 项和 n a n S 11 家用电器一件 现价 2000 元 实行分期付款 每期付款数相同 每期为一月 购买后 一个月付款一次 共付 12 次 即购买后一年付清 如果按月利率 8 每月复利一次计算 那么每期应付款多少 12 2004 年湖北八校联考 数列中 首项 前 n 项和为 对任意点 n a 1 2a n S 点都在平面直角坐标系xoy的曲线C上 曲线C的方程为 1 nnn pSS n p 其中 n 1 2 3 4388xtyt 3t 1 判断是否为等比数列 并证明你的结论 n a 2 若对每个正整数n 则 为边长能否构成三角形 求t的范围 n a 1n a 2n a 6 等差数列与等比数列 一 选择题 1 互不相等的三个正数 成等比数列 又是 的等比中项 是 的abcxabybc 等比中项 那么 三个数 2 x 2 b 2 y A 成等差非等比数列 B 成等比非等差数列 C 既成等差又成等比数列 D 既不成等差也不成等比数列 2 2004 湖北八校联考 等差数列中 则数 n a 147 39aaa 369 27aaa 列前 9 项和等于 n a 9 S A 66B 99C 144D 297 提示 4 13a 6 9a 46 9 9 2 aa S 3 2004 江苏溧阳中学高考模拟题 一张报纸 其厚度为a 面积为b 现将此报纸对折 即沿对边中点的连线折叠 7 次 这时报纸的厚度和面积分别为 A B C D 1 8 8 ab 1 64 64 ab 1 128 128 ab 1 256 256 ab 4 2004 山西省试验中学高考模拟题 已知等比数列的公比为 前 n 项和为 n a0q n S 则与的大小关系是 45 S a 54 S a A B C D 以上都不正确 4554 S aS a 4554 S aS a 4554 S aS a 5 在各项都为正数的等比数列中 若 则 n a 56 9aa 等于 313233310 loglogloglogaaaa A 8B 10C 12D 3 2log 5 6 公差不为零的等差数列第二 三 六项构成等比数列 则公比为 A 1B 2C 3D 4 二 填空题 7 在等差数列中 已知 则使它的前 n 项和取得最大值的自然 n a 34 aa 0d n S 数 n 8 等差数列 的前 n 项和分别为和 且 则 n a n b n A n B 71 427 n n An Bn 7 n n a b 9 在等比数列中 已知 则 n a48 n S 2 60 n S 3n S 10 某企业 2003 年 12 月份的产值是这年一月份产值的倍 则该企业 2003 年年度产值p 的月平均增长率是 三 解答题 11 项数都是 的等差数列与等比数列的首项均为 41n nN n a n ba 0a 且它们的末项相等 试比较中间项的大小 12 一列火车自 A 城驶往 B 城 沿途有 n 个车站 包括起点站 A 和终点站 B 车上有一邮 政车厢 每停靠一站便要卸下前面各站的邮袋一个 同时又要装上该站发往后面各站的邮 袋各一个 设从第站出发时 邮政车厢内共有 1 2 n 个邮袋 试求 k k ak 1 数列的通项公式 k a 2 为何值时 最大 求出的最大值 k k a k a 数列求和 一 选择题 1 数列中 且 则这个数列的前 30 项的绝对值之和为 n a 1 60a 1 3 nn aa A 495B 765C 3105D 120 2 化简的结果是 211 12222 22 nn n Snnn A B C D 1 222 n n 1 22 n n 22 n n 1 22 n n 3 在项数为的等差数列中 所有奇数项和与偶数项和之比为 21n A B C D 1n n 1 2 n n 21n n 1 4 等比数列前 n 项和为 54 前 2n 项和为 60 则前 3n 项和为 8 A B C D 6664 2 66 3 2 60 3 5 在 50 和 350 之间所有末位数是 1 的整数之和是 A 5880B 5539C 5208D 4877 6 数列的通项公式是 若前 n 项和为 10 则项数 n 为 n a 1 1 n a nn A 11B 99C 120D 121 二 填空题 7 一条信息 若一人收知后用一小时将信息传给两个人 这两个人又用一小时各传给未知 此信息的另外两个人 如此继续下去 一天时间可传遍 人 8 1 3579121 n n 9 对于每个自然数 n 抛物线与轴交于两点 则 22 211ynn xnx x n A n B 的值为 200420042211 BABABA 10 项数为奇数的等差数列 奇数项之和为 44 偶数项之和为 33 则该数列的中间项和项 数分别为 三 解答题 11 1 是等差数列 求 n a0 n a 12231 111 nn a aa aaa 2 求数列的前 n 项和 21 2n n 12 2004 湖南师大附中高考模拟题 已知二次函数经过点 2 f xaxbxc 0 0 导数 当时 是整数的个数记为 21fxx 1xn nnN f x n a 1 求的值 abc 2 求数列的通项公式 n a 3 令 求的前 n 项和 1 2 n nn b a a n b n S 数学归纳法 9 一 选择题 1 已知 则等于 111 1231 f n nnn 1f k A B 1 311 f k k 1 32 f k k C D 1111 3233341 f k kkkk 11 341 f k kk 2 用同数学归纳法证明 在验证时 左端计 2 21 1 1 1 n n a aaa a 1a 1n 算所得项为 A 1B C D 1a 2 1aa 23 1aaa 3 某个命题与自然数 n 有关 如果 时 该命题成立 那么可推出当nk kN 时 该命题成立 现已知当时该命题不成立 那么 1nk 5n A 当时该命题不成立B 当时该命题成立6n 6n C 当时该命题不成立D 当时该命题成立4n 4n 4 用数学归纳法证明不等式时 n 应取的第一个值为 2 2nn A 1B 2C 3D 4 5 用数学归纳法证明不等式的过程中 由递推到 11113 1224nnnn nk 时 不等式左边 1nk A 增加了一项 1 21k B 增加了两项 1 21k 1 21k C 增加了 B 项中的两项 但又减少了另一项 1 1k D 增加了 A 项中的一项 但又减少了另一项 1 1k 二 填空题 6 用数学归纳法证明 时 第一 11111111 1 234212122nnnnn 步应验证左式是 右式是 7 用数学归纳法证明 时 在第二步证明从 111 1 2321 n n 1nNn 到成立时 左边增加了的项数是 nk 1nk 8 用数学归纳法证明 是非负实数 时 假设 22 n nn abab ab nN 10 命题成立之后 证明命题成立的关键是 nk 1nk 三 解答题 9 求证 能被 14 整除 4221 35 nn 10 已知是定义在上的数值函数 满足 f x N 1 22f 2 对任意有 m nN f mnf mf n 3 当时 mn f mf n 求证 在上恒成立 f xx N 归纳 猜想 证明 一 填空题 1 则分别为 2 2 x f x x 1 1x 1 1 nn xf x 2 nnN 234 xxx 猜想 n x 2 有浓度为的酒精满瓶共升 每次倒出升 再用水加满 一共倒了 10 amn nm 次 加了 10 次水后 瓶内的酒精浓度为 3 在数列中 已知 依次计算 后 归 n a 1 2a 1 31 n n n a a a nN 2 a 3 a 4 a 纳 推测出的表达式是 n a 4 数列 的第 20 项是 1 2 2 5 3 10 4 17 5 26 6 37 5 已知满足 存在正数 使得对所有正整数 有成立 其中为 n atn 2 n n ta tS n S 11 数列前 n 项和 则可通过计算 猜得 n a 1 S 2 S 3 S n S 6 设 对任意恒有 又 0f n nN x yN f xyf xfy 24f 则 1f 3f 4f 7 若 则 00 1ab 11 2 nnn aab 11nnn bab 1 2 n 22 11 2ab 22 22 2ab 22 33 2ab 22 20052005 2ab 8 平面上有 n 条直线 它们任何两条不平行 任何三条不共点 设条这样的直线百平面k 分成 个区域 则 条直线把平面分成的区域数 f k1k 1f kf k 二 解答题 9 已知数列满足 求出前四项 推测的表达式 再证明 n a2 nn Sna nN 10 已知 对 试比较与的大小 并且说明理 nn nn xx f x xx nN 2f 2 2 1 1 n n 由 数列与数学归纳法单元测试题 一 选择题一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有 一项是符合题目要求的 1 数列 中 前三项依次为 则等于 n a 1 1 xx6 5 x 1 101 a A 50 B 13 C 24 D 8 2 若a b c 成等差数列 则函数的图像与x轴的交点的个数是 cbxaxxf 2 12 A 0 个 B 1 个C 2 个D 不确定 3 差数列中 公差 1 8 则 n ad 174 aa 20642 aaaa A 40 B 45 C 50 D 55 4 已知数列 a n 的通项公式是 则 S n 达到最小值时 n 的值是 249 n an A 23 B 24 C 25 D 26 5 在等差数列 则在 Sn中最大的负数为 0 0 10111110 aaaaan 且中 A S17B S18C S19D S20 6 已知数列的前 n 项和 那么下述结论正确的是 n a 3为常数kkS n n A 为任意实数时 是等比数列k n a B 1 时 是等比数列k n a C 0 时 是等比数列k n a D 不可能是等比数列 n a 7 数列中 是公比为的等比数列 满足 n a 1 0 nnn aaa且 0 qq 则公比的取值范围是 211 nnnn aaaa 32 Nnaa nn q A B 2 21 0 q 2 51 0 q C D 2 21 0 q 2 51 0 q 8 数列 an 中 已知S1 1 S2 2 且Sn 1 3Sn 2Sn 1 0 n N 则此数列为 A 等差数列 B 等比数列 C 从第二项起为等差数列 D 从第二项起为等比数列 9 数列 an 的前n项和Sn 5n 3n2 n 则有 N A Sn na1 nan B Sn nan na1 13 C nan Sn na1 D nan Sn na1 10 已知某数列前项之和为 且前个偶数项的和为 则前个奇数项的n 3 nn 34 2 nnn 和为 A B C D 1 3 2 nn 34 2 nn 2 3n 3 2 1 n 11 已知等差数列与等比数列的首项均为 1 且公差 d1 公比 q 0 且 q1 n a n b 则集合的元素最多有 nn n ab A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 12 已知 则在数列 的前 50 项中最小项和最大项分别是 80 79 n n an Nn n a A B C D 501 a a 81 a a 98 a a 509 a a 二 填空题 二 填空题 13 数列的前 项的和Sn 3n2 n 1 则此数列的通项公式a n n a 14 在之间插入n个正数 使这n 2 个正数成等比数列 则插入的n个正数之积1 1 n n 和 为 15 等差数列中 公差d 0 a1 a3 a9 成等比数列 则 n a 1042 931 aaa aaa 16 当x 1 0 时 1 3x 5x 2 2n 1 xn 1 三 解答题 三 解答题 17 本题满分 12 分 已知 等差数列 中 14 前 10 项和 n a 4 a185 10 S 求 n a 将 中的第 2 项 第 4 项 第项按原来的顺序排成一个新数列 求此数 n a n 2 列的前项和 n n G 18 本题满分 12 分 数列的通项公式 n a 1 1 1 1 1 1 321 2 nn aaaanfNn n a 设 1 求 f 1 f 2 f 3 f 4 的值 2 由上述结果推测出计算f n 的公式 并用数学归纳法加以证明 14 19 本题满分 12 分 设Sn为数列 an 的前 项的和 且Sn an 1 n N 数 2 3 列 bn 的通项公式bn 4n 5 求证 数列 an 是等比数列 若d a1 a2 a3 b1 b2 b3 则称d为数列 an 和 bn 的公共项 按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 dn 求数列 dn 的通项公 式 20 本题满分 12 分 已知数列中 前项和与通项满足 n a1 1 an n S n a 求通项的表达式 2 12 2 2 nNn S S a n n nn a 21 本题满分 12 分 甲 乙两同学利用暑假到某县进行社会实践 对该县的养鸡场连续 六年来的规模进行调查研究 得到如下两个不同的信息图 15 A 图表明 从第 1 年平均每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个养鸡场出产 2 万只鸡 B 图表明 由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年的 10 个 请你根据提供的信息解答下列问题 1 第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少 2 哪一年的规模最大 为什么 22 本题满分 14 分 对于函数 若存在成立 则称的不动点 如果函 xf 000 xxfRx 使 0 xfx 为 数 有且只有两个不动点 0 2 且 2 Ncb cbx ax xf 2 1 2 f 1 求函数的解析式 xf 2 已知各项不为零的数列 求数列通项 1 1 4 n nn a fSa满足 n a 3 如果数列满足 求证 当时 恒有成立 n a 4 11nn afaa 2 n3 n a 数列与答案 数列的概念 一 选择题 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 二 填空题 6 7 8 108 9 1 2 21 1 211 n n n a n 8 5 3 三 解答题 10 解析 1 1 2 36a 16 当时 2n 123 2312 n aaanan nn 1231 23111 n aaanann n 得 31 n nan n 31 n an 当时 上式1n 1 2 36a 31 n an 评析 此题的解法与已知求的方法类似 n S n a 11 解析 由已知可得 1 1S 2 3S 3 6S 1 2483 39276 abc abc abc 解之得 1 2 a 1 2 b 0c 12 证 设这个数列的第 n 项为 则 n C 212nnn Caa nN 212 212 sinsin 22 nnn nn Caa sinsin 2 nn cossinnn 为常数 11 sin 22sin2 22 n 这个数列是常数列 评析 1 此题的关键是找出新数列的第 n 项与已知数列的关系式 n C n a 212nnn Caa nN 2 思考问题时 不要仅停留在前几项 而更重要的是要抽象到第 n 项 这是数学的 重要思想方法 等差数列 一 选择题 17 1 C 2 A 3 C 4 D 5 C 6 D 提示 设 2 n Sanbn 二 填空题 7 82 提示 31 2aad 64 2aad 9997 2aad 8 9 4 10 3 2 2 2nn 三 解答题 11 解析 思路 1 计算出 猜想 再证明 2 x 3 x 4 x n x 思路 2 1 2 2 2 n n n x x x 2 2 1 2 2 2 n n n x x x 即 2 222 1 2111 22 n nnn x xxx 22 1 111 2 nn xx 数列是首项为 公差为的等差数列 2 1 n x 2 1 1 1 x 1 2 22 1 11111 111 222 n n nn xx 由已知可得 0 n x 2 1 n x n 12 解析 10 个档次的产品的每件利润构成等差数列 8 10 12 82126 n ann 10 个档次的产品相同时间内的产量构成数列 60 57 54 110n 6031633 n bnn 110n 在相同时间内 生产第 n 个档次的产品获得的利润 26633ynn 2 696 144n 当时 元 9n max 6 144864y 生产低 9 档次的产品可获得最大利润 等比数列 18 一 选择题 1 D 2 D 3 C 4 C 5 B 6 C 二 填空题 7 100 8 6 9 1255 元 三 解答题 10 解析 1 证明 代入 1 n n a a 1 1 n a 331 得 1 11 33 nn aa 为定值 11 1111 1 3322 11 3 22 nn nn aa aa 数列是等比数列 1 2 n a 2 1 1511 2623 a 1 1111 2333 nn n a 11 32 n n a 3 2 111 3332 n n n S 11 1 33 1 2 1 3 n n 11 22 3n n 11 解析 法一 设每期付款数x元 则 第一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为 11 1 0 008x 第二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为 10 1 0 008x 第十一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为 1 0 008x 19 第十二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为x 所以各期付款连同利息之和为 12 11 1 0081 1 1 0081 008 1 008 1 xx 又所购电器的现价及其利息之和为 12 2000 1 008 于是有 12 12 1 0081 2000 1 008 1 008 1 x 得 即每期应付款元 175 46 元175 46x 法二 设每期付款数x元 第k月后欠款为元 k 1 2 12 k a 则 1 20001 0 008ax 21 1 0 008aax 1 1 0 008 nn aax 设 则 1 1 008 nn aa 0 008 x 1 1 008 0 0080 008 nn xx aa 数列构成等比数列 0 008 n x a 1 1 1 008 0 0080 008 n n xx aa 即 12 0a 11 1 1 0080 0 0080 008 n xx aa 将代入上式 得 即每期应付款元 175 46 元 1 2016ax 175 46x 评析 两种解法从不同角度解决分期付款问题 解法一即教材所提供的解法 通过两种解 法的比较 也可进一步加深对分期付款问题的理解 12 解析 1 由 11 2Sa 2122 2Saaa 得 于是 2 422 388tatt 2 38 2 t a t 2 1 38 4 at at 又 1 4388 nn tStSt 20 1 4388 nn tStSt 2n 两式相减得 11 438 nn tata 2n 故 1 38 4 n n at at 2n 1 38 4 n n at at nN 是首项为 2 公比为的等比数列 n a 38 4 t t 2 由 1 知 1 38 2 4 n n t a t 又 3t 38 01 4 t t 1 20a 是一个单调递减的数列 n a 从而 为边长能构成三角形的充要条件是 n a 1n a 2n a 12nnn aaa 即 11 383838 22 222 nnn ttt ttt 解得 或 16 5 8 5 t 16 5 8 5 t 又 3t 16 5 8 5 t 评析 此题 1 中证明是必要的 充分利用已知条件对构成三角形的充要 2 1 38 4 at at 条件进行简化 能达到事半功倍的效果 等差数列与等比数列 一 选择题 1 A 2 B 提示 4 13a 6 9a 46 9 9 2 aa S 21 3 C 4 B 5 B 6 C 二 填空题 7 5 或 6 8 9 63 10 148 111 11 1p 三 解答题 11 解析 设的公差为 的公比为 则它们的中间项分别为 n ad n bq 2 21 n aand 21 2 n n baq 由得 4141nn ab 2 21 2 21 n andaq 2 21 22 21 n aq anda a 即 2 2 2 2 n n b aa a 22 22 1 2 nn aba a 22 2222 1 2 nnnn abbab a 2 2 1 0 2 n ba a 当且仅当 即时 上式等号成立 n ba 1q 故当时 当时 1q 22nn ab 1q 22nn ab 评析 将用表达是解答本题的关键 作差后的配方是判断符号的需要 也体现了 2n a 2n b 集中变量 这一重要的数学思想 12 解析 由题设知 1 1an 2 121ann 3 1231 2annn 在第站出发时 前面放上的邮袋共有个 而从第二k 12nnnk 站起 每站放下的邮袋为个 12 1 k 故 n 1 n 2 n k 1 2 k 1 ak 1212 1 knkk k 1 2 3 n 2 1 1 22 k kkk knknk 22 2 由 1 知 2 2 24 k nn ak 若 n 为偶数 则当时 的最大值为 2 n k k a 2 4 n 若 n 为奇数 则当或 的最大值为 1 2 n k 1 2 n k k a 2 1 4 n 数列求和 一 选择题 1 B 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 二 填空题 7 8 9 10 11 7 24 21 nn nn 为偶数 为奇数 2004 2005 三 解答题 11 解析 裂项求和 11 1111 kkkk aaaad 答 1 1 n n a a 2 求数列的前 n 项和 21 2n n 解析 错位相减法 答 23 3 2n n 12 解析 1 的图像过 f x 0 00c 又 221fxaxbx 1a 1b 2 对称轴为 在上单调递增 2 f xxx 1 2 x f x 1xn n 而 2 f nnn 2 2 11132f nnnnn 1123 n af nf nn 23 3 1 2211 23252325 n nn b a annnn 123nn Sbbbb 111111 57792325nn 11 525n 2 5 25 n n 数学归纳法 一 选择题 1 C 2 C 3 C 4 D 5 C 二 填空题 6 7 8 两边同乘以 1 1 2 1 1 1 2k 2 ab 三 解答题 9 证明 1 当时 能被 14 整除 时命题1n 4 1 22 1 1 3585461 14 1n 成立 2 假设时命题成立 即能被 14 整除nk 4221 35 kk 则时1nk 412211424212421421 35353535 kkkkkk 442212124 4422121 335553 33554 14 kkk kkk 能被 14 整除 时 命题成立 1nk 综合 1 2 知命题对一切均成立 nN 评析 第二步证明中想方设法配出假设中的代数式是此类问题的解题规律 4221 35 kk 10 证明 由条件 1 2 知 221221ffff 11f 即当时 成立1x f xx 假设1 2 3 时 有x k f xx 则当时 若 1xk 12ks 1sk 24 则 12221f kfsff ssk 若 则121kt 1tk 22212222tftftftt 即 22122tftt 由于是在上的数值函数 故 即 f x N 2121ftt 11f kk 综上所述 对恒成立 f xx xN 评析 这一题的证明充分显示出数学归纳法的威力 归纳 猜想 证明 一 填空题 1 2 3 4 5 2 3 2 4 2 5 2 1n 10 1 n a m 2 65 n a n 401 202 tn 6 2 8 16 7 1 1 1 1 8 2n1k 二 解答题 9 解析 111 2 1aSa 1 1a 21222 12 2Saaaa 2 3 2 a 312333 3 12 3 2 Saaaaa 3 7 4 a 4123444 37 12 4 24 Saaaaaa 4 15 8 a 由此猜想 下面用数学归纳法证明 1 21 2 n n n a nN 证 1 当时 等式成立1n 1 1 0 21 1 2 a 2 假设时 等式成立 即 则nk 1 21 2 k k k a 当时 1nk 11 21 kk Ska 2 kk Ska 25 111 212 kkkkk aSSkaka 11 2 kkk aaa 1 1 11 21 22 222 k kk k aa 11 1 1 2121 222 kk kk 即时 等式成立1nk 综合 1 2 对 均成立 nN 1 21 2 n n n a 10 解析 而 22 212 21 2121 22 nn n nnnn f 2 22 12 1 11 n nn 与的大小等价于 与的大小 2f 2 2 1 1 n n 2n 2 n 当时 1n 12 21 当时 2n 22 22 当时 3n 32 23 当时 4n 42 24 当时 5n 52 25 猜想当时 以下用数学归纳法证明5n 2 2nn 1 当 由上可知不等式成立5n 2 假设时 不等式成立 即 则 5nk k 2 2kk 当时 1nk 12 22 22 kk k 又 22 2 21120kkk 5k 即 2 1 21 k k 时 不等式成立1nk 综合 1 2 对不等式成立 5 nnN 2 2nn 26 所以 当或时 1n 5n 2 2 1 2 1 n f n 当时 3n 2 2 1 2 1 n f n 当或 4 时 2n 2 2 1 2 1 n f n 数列与数学归纳法单元测试题 参考答案 一 选择题 题 号 123456789101112 答 案 DDBBCBBDDBBC 二 填空题 13 14 2 26 1 5 nn n an 2 1 n n n 15 16 16 13 2 1 1 12 12 1 x xnxnx nn 三 17 由 3 分 4 10 14 185 a S 1 1 314 1 1010 9 9185 2 ad ad 1 5 3 a d 由 6 分233 1 5 nana nn 设新数列为 由已知 9 分 n b223 n n b 2 12 62 2222 3 321 nnG nn n 12 分 6223 1 NnnG n n 18 解 1 4 3 2 1 11 1 2 1 af 6 4 9 8 4 3 1 1 2 21 aaf 8 5 16 15 6 4 1 1 1 3 321 aaaf 4 分 10 6 25 24 8 5 1 1 1 1 4 4321 aaaaf 2 推测下面用数学归纳法证明 2 2 n n nf 当 n 1 时 等式成立 假设 n k 1 时等式成立 即 4 3 11 2 21 1 f 则 6 分 1 2 2 k k kf 27 当 n k 1 时 有 22 1 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 k kk k k kk k akfkf k 当 n k 1 时 当 n k 1 时 等式也成立 由 1 1 2 2 1 2 2 3 k k k k 1 2 2 n n nf 知对任意正整数 n 都成立 1 2 2 n n nf 12 分 19 分析 利用公式 an Sn Sn 1代入得出 an与 an 1之间的关系 令 ak bm 再找出 k m 之间的联系 解 当 n 1 时 由 a1 S1 得出 a1 3 当 n 2 时 1 2 3 1 a 6 分 3 3 2 3 1 11 的等比数列是首项为得 n n n nnnnn a a a aaSSa 由 an 3n 得 121 1 11 9 3 345 33 33 45 4 43 3 kk knn kk kkn dababmbnm ammab 设是数列中的第项又是中的第项 不是中的项 2 2 2 2 1 12 39 39 45 4 910 5 910 3 3 9 9 9 3 kk kn k k n nkn k n ammbm d dad d 而是中的第项于是 又是首项为公比为的等比数列 因此 dn