高中数学复习学案(第68讲)相互独立事件同时发生的概率人教版选修2

用心 爱心 专心 题目题目 第十一章概率相互独立事件同时发生的概率第十一章概率相互独立事件同时发生的概率 高考要求高考要求 1 了解互斥事件 相互独立事件的意义 会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率 2 会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 知识点归纳知识点归纳 1 相互独立事件 事件A 或B 是否发生对事件B 或A 发生的概率没有影响 这样的 两个事件叫做相互独立事件 若A与B是相互独立事件 则A与B A与B A与B也相互独立 2 互斥事件与相互独立事件是有区别的 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生 两事件相互独立是指不同试验下 二 者互不影响 两个相互独立事件不一定互斥 即可能同时发生 而互斥事件不可能同时发生 3 相互独立事件同时发生的概率 P A BP AP B 事件 12 n A AA 相互独立 1212 nn P A AAP AP AP A 4独立重复试验的定义 在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验 5 关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解 第一 相互独立也是研究两个事件的关系 第二 所研究的两个事件是在两次试验中得到的 第三 两个事件相互独立是从 一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响 来确定的 6 独立重复试验的概率公式 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p 那么在 n 次独立重 复试验中这个事恰好发生 K 次的概率 knkk nn PPCkP 1 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中 恰好发生了 k 次的概率 令 k 0 得 在 n 次独立重复试验中 事件 A 没有发生的概率为 Pn Cn0p0 1 p n 1 p n 令 k n 得 在 n 次独立重复试验中 事件 A 全部发生的概率为 Pn n Cnnpn 1 p 0 pn 7 相互独立事件同时发生的概率 在同一随机实验中 两事件互斥是指两个不可能同时发生的事件 两事件相互独立是指 其中的一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响对这两个概念的区分能力足以体现分 析问题和解决问题的能力 这正是高考考查的主要目的另外要理解 积事件 的意义 特别 要注意 若事件 A 与 B 不是相互独立事件而是互斥事件 那么在计算 P AB 的值时绝对不 可以使用 P A B P A P B 这个公式 只能从对立事件的角度出发 运用 P A B 1 P AB 进行计算 8n 次独立重复实验恰好有 k 次发生的概率 要求掌握 n 次独立重复实验恰好有 k 次发生的概率计算公式 对这个公式 不能死记硬 背 要真正理解它所表示的含义 特别要理解其中的 k n C的意义此公式是概率的加法公式的 应用 也为处理离散型随机变量的概率分布问题做了很好的铺垫一般高考不单独考这个知识 用心 爱心 专心 点 经常是和互斥事件有一个发生的概率或者相互独立事件同时发生的概率综合起来考查 题型讲解题型讲解 例例 1 某班有两个课外活动小组 其中第一小组有足球票 6 张 排球票 4 张 第二小组 有足球票 4 张 排球票 6 张甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张 乙从第二小组的 10 张票中 任抽 1 张 1 两人都抽到足球票的概率是多少 2 两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是多少 解 记 甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张 抽到足球票 为事件 A 乙从第二小组 的 10 张票中任抽 1 张 抽到足球票 为事件 B 记 甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张 抽到排球票 为事件A 乙从第二小组的 10 张票中任抽 1 张 抽到排球票 为事件B 于是 P A 10 6 5 3 P A 5 2 P B 10 4 5 2 P B 5 3 由于甲 或乙 是否抽到足球票 对乙 或甲 是否抽到足球票没有影响 因此 A 与 B 是相互独立事件 1 甲 乙两人都抽到足球票就是事件 A B 发生 根据相互独立事件的概率乘法公式 得到 P A B P A P B 5 3 5 2 25 6 答 两人都抽到足球票的概率是 25 6 2 甲 乙两人均未抽到足球票 事件A B发生 的概率为 P A B P A P B 5 2 5 3 25 6 两人中至少有 1 人抽到足球票的概率为 P 1 P A B 1 25 6 25 19 答 两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是 25 19 例例 2 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中 每个盒子中有 10 个球其中第一个盒 子中有 7 个球标有字母 A 3 个球标有字母 B 第二个盒子中有红球和白球各 5 个 第三个盒 子中有红球 8 个 白球 2 个试验按如下规则进行 先在第一个盒子中任取一个球 若取得标 有字母 A 的球 则在第二个盒子中任取一球 若第一次取得标有字母 B 的球 则在第三个盒 子中任取一球如果第二次取得的球是红球 则称试验成功 求试验成功的概率 解 设事件 A 从第一个盒子中取得一个标有字母 A 的球 事件 B 从第一个盒子中取得一个标有字母 B 的球 则 A B 互斥 且 P A 10 7 P B 10 3 事件 C 从第二号盒子中取一个红球 事件 D 从第三号盒子中取一个红球 则 C D 互斥 且 P C 2 1 P D 10 8 5 4 显然 事件 A C 与事件 B D 互斥 且事件 A 与 C 是相互独立的 B 与 D 也是相互独立 的 用心 爱心 专心 所以试验成功的概率为 P P A C B D P A C P B D P A P C P B P D 100 59 本次试验成功的概率为 100 59 例例 3 冰箱中放有甲 乙两种饮料各 5 瓶 每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料 取用甲种或乙种饮料的概率相等 1 求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下 3 瓶的概率 2 求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多 4 瓶的概率 解 1 由题意知 甲种已饮用 5 瓶 乙种已饮用 2 瓶 记 饮用一次 饮用的是甲种饮料 为事件 A 则 p P A 2 1 1 7 次独立重复试验中事件 A 发生 5 次的概率为 P7 5 C 5 7p5 1 p 2 C 2 7 2 1 7 128 21 2 有且仅有 3 种情形满足要求 甲被饮用 5 瓶 乙被饮用 1 瓶 甲被饮用 5 瓶 乙没有被饮用 甲被饮用 4 瓶 乙没有 被饮用 所求概率为 P6 5 P5 5 P4 4 C 6 5p5 1 p C 5 5p5 C 4 4p4 16 3 答 甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩 3 瓶的概率为 128 21 甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮 用瓶数至少多 4 瓶的概率为 16 3 例例 4 4 抽样本检查是产品检查的常用方法分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案 现有 100 只外型相同的电路板 其中有 40 只 A 类版后 60 只 B 类板问在下列两种情况中 从 100 只抽出 3 只 3 只都是 B 类 的概率是多少 每次取出一只 测试后放回 然后再随机抽取下一只 称为返回抽样 每次取出一只 测试后不放回 在其余的电路板中 随意取下一只 称为不返回抽 样 解 解 设 从 100 只中抽去 3 只 3 只都是 B 类 为事件 M 先求基本事件总数 由于 每次抽去一只 测试后又放回 故每次都是从 100 只电路板中任取一只 这是重复排列 共有 31 100 1 100 1 100 100 CCC个 再求 M 所包含的基本事件数 由于每次抽出后又放回 故是重复排列 共有 3 60 个 所以 3 3 60 0 216 100 P M 由于取出后不放回 所以总的基本事件数为 3 100 C个 事件 M 的基本事件数为 3 60 C 所 以 3 60 3 100 0 212 C P M C 例例 5 把 n 个不同的球随机地放入编号为 1 2 m 的 m 个盒子内 求 1 号盒恰有 r 个球的概率 用心 爱心 专心 解法一 用独立重复试验的概率公式把 1 个球放入 m 个不同的盒子内看成一次独立试验 其中放入 1 号盒的概率为 P m 1 这样 n 个球放入 m 个不同的盒子内相当于做 n 次独立重复试 验由独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率公式知 1 号盒恰有 r 个球的概率 Pn r C r npr 1 p n r C r n m 1 r 1 m 1 n r n rnr n m m 1 C 解法二 用古典概型把 n 个不同的球任意放入 m 个不同的盒子内共有 mn个等可能的结 果其中 1 号盒内恰有 r 个球的结果数为 C r n m 1 n r 故所求概率 P A n rnr n m m 1 C 答 1 号盒恰有 r 个球的概率为 n rnr n m m 1 C 例例 6 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1 P 且各引擎是否故障是独立的 如 果至少 50 的引擎能正常运行 飞机就可以成功地飞行 问对于多大的 P 而言 4 引擎飞机 比 2 引擎的飞机更为安全 分析 4 引擎飞机可以看作 4 次独立重复试验 要能正常运行 即求发生 k 次 k 2 的概率同理 2 引擎飞机正常运行的概率即是 2 次独立重复试验中发生 k 次 k 1 的概率 由此建立不等式求解 解 4 引擎飞机成功飞行的概率为 C 2 4P2 1 P 2 C 3 4P3 1 P C 4 4P4 6P2 1 P 2 4P3 1 P P4 2 引擎飞机成功飞行的概率为 C1 2P 1 P C 2 2P2 2P 1 P P2 要使4 引擎飞机比2 引擎飞机安全 只要 6P2 1 P 2 4P3 1 P P4 2P 1 P P2 化简 分解因式得 P 1 2 3P 2 0 所以 3P 2 0 即得 P 3 2 答 当引擎不出故障的概率不小于 3 2 时 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全 小结 小结 1 应用公式时 要注意前提条件 只有对于相互独立事件 A 与 B 来说 才能运用公式 P A B P A P B 2 在学习过程中 要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积 或其对 立事件 3 善于将具体问题化为某事件在 n 次独立重复试验中发生 k 次的概率 4 要搞清事件间的关系 是否彼此互斥 是否互相独立 是否对立 当且仅当事件 A 和 事件 B 互相独立时 才有 P A B P A P B 5A B 中至少有一个发生 A B 1 若 A B 互斥 P A B P A P B 否则不成立 2 若 A B 相互独立 不互斥 用心 爱心 专心 P A B P A B P A B P A B P A B 1 P A B P A B P A P B P AB 6 某些事件若含有较多的互斥事件 可考虑其对立事件的概率 这样可减少运算量 提 高正确率要注意 至多 至少 等题型的转化 7 n 次独立重复试验中某事件发生 k 次的概率 Pn k C k npk 1 p n k 正好是二项式 1 p p n的展开式的第 k 1 项 学生练习学生练习 1 甲 乙两人独立地解同一问题 甲解决这个问题的概率是 p1 乙解决这个问题的概率 是 p2 那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 Ap1p2Bp1 1 p2 p2 1 p1 C1 p1p2D1 1 p1 1 p2 解析 恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决 故所求概率是 p1 1 p2 p2 1 p1 答案 B 2 将一枚硬币连掷 5 次 如果出现 k 次正面的概率等于出现 k 1 次正面的概率 那么 k 的值为 A0B1C2D3 解析 由 C k 5 2 1 k 2 1 5 k C 1 5 k 2 1 k 1 2 1 5 k 1 即 C k 5 C 1 5 k k k 1 5 k 2 答案 C 3 从应届高中生中选出飞行员 已知这批学生体型合格的概率为 1 3 视力合格的概率为 6 1 其他几项标准合格的概率为 5 1 从中任选一学生 则该生三项均合格的概率为 假设三 项标准互不影响 A 9 4 B 90 1 C 5 4 D 9 5 解析 P 3 1 6 1 45 1 90 1 答案 C 4 若 A 与 B 相互独立 则下面不相互独立事件有 AA 与A BA 与B C A与 B D A与B 解析 由定义知 易选 A 答案 A 5 在某段时间内 甲地不下雨的概率为 03 乙地不下雨的概率为 04 假设在这段时间内 两地是否下雨相互无影响 则这段时间内两地都下雨的概率是 用心 爱心 专心 A012 B088C028 D042 解析 P 1 03 1 04 042 答案 D 6 一道数学竞赛试题 甲生解出它的概率为 2 1 乙生解出它的概率为 3 1 丙生解出它的 概率为 4 1 由甲 乙 丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为 解析 P 2 1 3 2 4 3 2 1 3 1 4 3 2 1 3 2 4 1 24 11 答案 24 11 7 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗 假设他在各交通岗遇到红灯这一事 件是相互独立的 并且概率都是 3 1 那么这位司机遇到红灯前 已经通过了两个交通岗的概率 是 解析 因为这位司机在第一 二个交通岗未遇到红灯 在第三个交通岗遇到红灯 所以 P 1 3 1 1 3 1 3 1 27 4 答案 27 4 8 某学生参加一次选拔考试 有 5 道题 每题 10 分已知他解题的正确率为 5 3 若 40 分 为最低分数线 则该生被选中的概率是 解析 该生被选中 他解对 5 题或 4 题 P 5 3 5 C 4 5 5 3 4 1 5 3 3125 1053 答案 3125 1053 9 某单位订阅大众日报的概率为 06 订阅齐鲁晚报的概率为 03 则至少订阅其中一种报 纸的概率为 解析 P 1 1 06 1 03 072 答案 072 10 在未来 3 天中 某气象台预报每天天气的准确率为 08 则在未来 3 天中 1 至少有 2 天预报准确的概率是多少 2 至少有一个连续 2 天预报都准确的概率是多少 解 1 至少有 2 天预报准确的概率即为恰有 2 天和恰有 3 天预报准确的概率 即 C 2 3 082 02 C 3 3 083 0896 至少有 2 天预报准确的概率为 0896 2 至少有一个连续 2 天预报准确 即为恰有一个连续 2 天预报准确或 3 天预报准确 的概率为 2 082 02 083 0768 至少有一个连续 2 天预报准确的概率为 0768 11 一个通讯小组有两套设备 只要其中有一套设备能正常工作 就能进行通讯每套设备 用心 爱心 专心 由 3 个部件组成 只要其中有一个部件出故障 这套设备就不能正常工作如果在某一时间段 内每个部件不出故障的概率为 p 计算在这一时间段内 1 恰有一套设备能正常工作的概率 2 能进行通讯的概率 解 记 第一套通讯设备能正常工作 为事件 A 第二套通讯设备能正常工作 为 事件 B 由题意知 P A p3 P B p3 P A 1 p3 P B 1 p3 1 恰有一套设备能正常工作的概率为 P A B A B P A B P A B p3 1 p3 1 p3 p3 2p3 2p6 2 方法一 两套设备都能正常工作的概率为 P A B P A P B p6 至少有一套设备能正常工作的概率 即能进行通讯的概率为 P A B A B P A B 2p3 2p6 p6 2p3 p6 方法二 两套设备都不能正常工作的概率为 P A B P A P B 1 p3 2 至少有一套设备能正常工作的概率 即能进行通讯的概率为 1 P A B 1 P A P B 1 1 p3 2 2p3 p6 答 恰有一套设备能正常工作的概率为 2p3 2p6 能进行通讯的概率为 2p3 p6 12 已知甲袋中有 3 个白球和 4 个黑球 乙袋中有 5 个白球和 4 个黑球现从两袋中各取两 个球 试求取得的 4 个球中有 3 个白球和 1 个黑球的概率 解 从甲袋中取 2 个白球 从乙袋中取 1 个黑球和 1 个白球的概率为 2 7