北京市2012高三数学一模分类汇编2 导数 理

1 20122012 北京市高三一模数学理分类汇编北京市高三一模数学理分类汇编 2 2 导数 导数 2012 北京市海淀区一模理 12 设某商品的需求函数为 其中分别1005QP Q P 表示需求量和价格 如果商品需求弹性大于 1 其中 是的导数 EQ EP EQQ P EPQ QQ 则商品价格的取值范围是 P 答案 10 20 2012 北京市门头沟区一模理 10 曲线与直线及轴所围成的图形的面积为 3 yx 1x x 答案 1 4 2012 北京市门头沟区一模理 18 本小题满分 13 分 已知函数 1 ln1 a f xxax x 当时 讨论函数的单调性 1 0 2 a f x 设 当时 若对任意 当时 2 24g xxbx 1 4 a 1 0 2 x 2 1 2 x 恒成立 求实数的取值范围 12 f xg x b 答案 解 2 分 2 22 11 1 aaxxa fxa xxx 2 1 1 0 axax x x 令 0fx 得 3 分 12 1 1 a xx a 当时 函数在上单减 4 分 1 2 a 0fx f x 0 当时 1 0 2 a 1 1 a a 在和上 有 函数单减 0 1 1 a a 0fx f x 在上 函数单增 6 分 1 1 a a 0fx f x 2 当时 1 4 a 1 3 a a 13 ln1 44 f xxx x 由 知 函数在上是单减 在上单增 f x 0 1 1 2 所以函数在的最小值为 8 分 f x 0 2 1 1 2 f 若对任意 当时 恒成立 1 0 2 x 2 1 2 x 12 f xg x 只需当时 即可 1 2 x max 1 2 gx 所以 11 分 1 1 2 1 2 2 g g 代入解得 11 4 b 所以实数的取值范围是 13 分b 11 4 2012 北京市朝阳区一模理 18 本小题满分 13 分 设函数 2 e 1 ax f xa x R 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 0 0 f 求函数单调区间 xf 答案 解 因为所以 2 e 1 ax f x x 2 22 e 2 1 ax axxa fx x 当时 1a 2 e 1 x f x x 2 22 e 21 1 x xx fx x 所以 0 1 f 0 1 f 所以曲线在点处的切线方程为 4 分 yf x 0 0 f10 xy 因为 5 分 2 2 2222 e 2 e 2 1 1 axax axxa fxaxxa xx 1 当时 由得 由得 0a 0fx 0 x 0fx 0 x 所以函数在区间单调递增 在区间单调递减 6 分 f x 0 0 3 2 当时 设 方程的判别式0a 2 2g xaxxa 2 20g xaxxa 7 分 2 444 1 1 aaa 当时 此时 01a 0 由得 或 0fx 2 11 a x a 2 11 a x a 由得 0fx 22 1111aa x aa 所以函数单调递增区间是和 f x 2 11 a a 2 11 a a 单调递减区间 9 分 22 1111 aa aa 当时 此时 所以 1a 0 0fx 所以函数单调递增区间是 10 分 f x 当时 此时 10a 0 由得 0fx 22 1111aa x aa 由得 或 0fx 2 11 a x a 2 11 a x a 所以当时 函数单调递减区间是和 10a f x 2 11 a a 2 11 a a 单调递增区间 12 分 22 1111 aa aa 当时 此时 所以函数单调递减区间是 1a 0 0fx f x 2012 北京市东城区一模理 18 本小题共 14 分 已知函数在处的切线斜率为零 22 1 2e3e ln 2 f xxxxb 0 0 x 求和的值 0 xb 求证 在定义域内恒成立 0f x 4 若函数有最小值 且 求实数的取值范围 a F xfx x m2em a 答案 解 2 分 2 3e 2efxx x 由题意有即 解得或 舍去 4 分 0 0fx 2 0 0 3e 2e0 x x 0 ex 0 3ex 得即 解得 5 分 e 0f 222 1 e2e3e lne0 2 b 2 1 e 2 b 证明 由 知 2 22 1e 2e3e ln 0 22 f xxxxx fx 2 3e e 3e 2e 0 xx xx xx 在区间上 有 在区间上 有 0 e 0fx e 0fx 故在单调递减 在单调递增 f x 0 e e 于是函数在上的最小值是 9 分 f x 0 e 0f 故当时 有恒成立 10 分0 x 0f x 解 2 3e 2e aa F xfxx xx 0 x 当时 则 当且仅当 2 3ea 2 2 3e 2e23e2e a F xxa x 时等号成立 故的最小值 符合题意 2 3exa F x 2 23e2ema 2e 13 分 当时 函数在区间上是增函数 不存在最小值 不合 2 3ea 2eF xx 0 题意 当时 函数在区间上是增函数 不存在最小 2 3ea 2 3e 2e a F xx x 0 值 不合题意 综上 实数的取值范围是 14 分a 2 3e 2012 北京市石景山区一模理 18 本小题满分 14 分 5 已知函数 2 2 lnf xxax 若函数的图象在处的切线斜率为 求实数的值 f x 2 2 f1a 求函数的单调区间 f x 若函数在上是减函数 求实数的取值范围 2 g xf x x 1 2 a 答案 解 1 分 2 222 2 axa fxx xx 由已知 解得 3 分 2 1f 3a II 函数的定义域为 f x 0 1 当时 的单调递增区间为 5 分0a 0fx f x 0 2 当时 0a 2 xaxa fx x 当变化时 的变化情况如下 x fxf x x 0 a a a fx 0 f x极小值 由上表可知 函数的单调递减区间是 f x 0 a 单调递增区间是 8 分 a II 由得 9 分 2 2 2 lng xxax x 2 22 2 a g xx xx 由已知函数为上的单调减函数 g x 1 2 则在上恒成立 0g x 1 2 即在上恒成立 2 22 20 a x xx 1 2 即在上恒成立 11 分 2 1 ax x 1 2 令 在上 2 1 h xx x 1 2 22 11 2 2 0h xxx xx 6 所以在为减函数 h x 1 2 min 7 2 2 h xh 所以 14 分 7 2 a 2012 年北京市西城区高三一模理 18 本小题满分 13 分 已知函数 其中 e 1 ax a f xa x 1 a 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 1 1 f 求的单调区间 xf 答案 解 当时 2 分1a 1 e 2 x f x x 2 11 e 2 x fx xx 由于 1 3ef 1 2e f 所以曲线在点处的切线方程是 4 分 yf x 1 1 f2ee0 xy 解 6 分 2 1 1 1 eax xax fxa x 0 x 当时 令 解得 1 a 0fx 1x 的单调递减区间为 单调递增区间为 8 分 xf 1 1 0 0 当时 令 解得 或 1a 0fx 1x 1 1 x a 当时 的单调递减区间为 单调递增区01 a xf 1 1 1a 间为 10 分 1 0 1 0 1a 当时 为常值函数 不存在单调区间 11 分0 a f x 当时 的单调递减区间为 单调递增区间为0a xf 1 0 1 0 1a 13 分 1 1 1a 2012 北京市海淀区一模理 18 本小题满分 13 分 已知函数 2 1 e 0 kx f xxxk k 求的单调区间 f x 是否存在实数 使得函数的极大值等于 若存在 求出的值 若不存k f x 2 3e k 在 请说明理由 7 答案 解 的定义域为 f xR 22 1 e e 21 e 2 2 kxkxkx fxkxxxkxk x k 即 2 分 e 2 1 0 kx fxkxxk 令 解得 或 0fx 1x 2 x k 当时 故的单调递增区间是 2k 22 2e 1 0 x fxx f x 3 分 当时 20k 随的变化情况如下 f x fxx x 2 k 2 k 2 1 k 1 1 fx 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 所以 函数的单调递增区间是和 单调递减区间是 f x 2 k 1 2 1 k 5 分 当时 2k 随的变化情况如下 f x fxx x 1 1 2 1 k 2 k 2 k fx 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 所以 函数的单调递增区间是和 单调递减区间是 f x 1 2 k 2 1 k 7 分 当时 的极大值等于 理由如下 1k f x 2 3e 8 当时 无极大值 2k f x 当时 的极大值为 20k f x 2 2 241 e f kkk 8 分 令 即 解得 或 舍 22 2 41 e 3e kk 2 41 3 kk 1k 4 3 k 9 分 当时 的极大值为 2k f x e 1 k f k 10 分 因为 2 ee k 11 0 2k 所以 2 e1 e 2 k k 因为 22 1 e3e 2 所以 的极大值不可能等于 12 分 f x 2 3e 综上所述 当时 的极大值等于 1k f x 2 3e 13 分 2012 北京市房山区一模理 18 本小题共 13 分 已知函数 mxxxf 1ln I 当时 求函数的单调递减区间 1m xf II 求函数的极值 xf III 若函数在区间上恰有两个零点 求的取值范围 f x 2 0 1e m 答案 解 I 依题意 函数的定义域为 f x 1 当时 1m ln 1 f xxx 2 分 1 1 1 fx x 9 由得 即 0fx 1 10 1x 0 1 x x 解得或 0 x 1x 又 1x 0 x 的单调递减区间为 4 分 f x 0 II m x xf 1 1 1 x 1 时 恒成立0 m0 x f 在上单调递增 无极值 6 分 xf 1 2 时 由于0 m11 1 m 所以在上单调递增 在上单调递减 xf 1 1 1 m 1 1 m 从而 9 分1ln 1 1 mm m fxf 极大值