高中平面向量常考题型

1 平面向量常考题型平面向量常考题型 1 线性运算线性运算 1 如图 在中 点为的中点 点在边上 且 ABC MBCNAC2ANNC 与相交于点 则 答案 AMBNP AP PM 4 2 已知向量不共线 实数 a b OAa OBb 若点在直线上 且 0 0 CABOCxayb 都是实数 则 答案 1 x y xy 3 在所在的平面内有一点满足 则与ABC PPAPBPCBC PBC 的面积之比为 答案 ABC 1 3 4 点时内的一点 满足 若的面积与OABC 1 0OAOBOC OAB 的面积的比为 则的值为 OAC 1 3 答案 3 2 A2B 1 3 C 1 2 DA 二 数量积二 数量积 1 2012 浙江卷 15 在ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 3 BC 10 则 答案 16AB AC 2 已知平行四边形中 若 则ABCD8AB 5AD 3CPPD 2AP BP 答案 22 AB AD 3 函数的图像如图所示 为图像与轴的交点 过点 A 的 40 24 tan xxy Ax 直线 与函数的图像交于两点 则 lCB OAOCOB A B C 4 D 8 答案 8 4 D 2 4 四边形中 若 则 ABCDABBC ADDC ABa ADb AC BD 答案 22 ba 5 2012 宁波十校联考 理科 17 在中 已知点是内ABC 2 AC6 BCOABC 一点 且满足 则 答案 40 043 OCOBOA 2 BCBAOC 6 在矩形中 点为的中点 点在边上 若ABCD2 2ABBC EBCFCD 则的值为 答案 2AB AF AE BF 2 7 如图 在中 ABC ADAB 3BCBD 则 1AD AD AC 答案 3 8 2012 天津理 7 已知 ABC 为等边三角形 设点 P Q 满足 2AB APAB 若 则 1 AQAC R 3 2 BQ CP A 答案 1 2 12 2 110 2 32 2 2 A 9 点是的外接圆的圆心 是的中点 若 OABC MBC3AC 4AO AM 则 答案 AB7 10 2014 宁波十校联考 已知均为单位向量 且满足 则cba 0 ba 的最大值是 cba ca A B C D 答案 222 23 52 321 C 11 边长为 2 的正方形内有一动点 满足的面积都不超过 ABCDPPBCPAB 1 则的取值范围为 答案 PCPB 1 1 12 已知平面向量满足 则的eba 1 e1 ea2 eb2 baba 最小值为 答案 5 4 3 13 2010 全国卷 11 已知圆的半径为 1 为该圆的两条切线 为两O PA PB A B 切点 那么的最小值为PBPA A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 答案 D 14 已知的边的垂直平分线交于 交于 若ABC BCBCQACP 则的值是 1AB 2AC AP BC 答案 A3 B 3 2 C3 D 3 2 B 15 2013 年浙江高考 设 是边上一定点 满足 且对于ABC 0 P AB 0 1 4 P BAB 边上任意一点 恒有 则 ABP 00 PB PCP B PC 答案 A 90ABC B 90BAC CACAB DBCAC D 16 已知向量 满足 a bc0 ba 则的最大值是 0 bcac 5 ba3 caca 解析 如图所示 设 则aOA bOB cOC 由得 点在以为直径的baBA 0 bcac CAB 圆上运动 3 5ACBA 4BC ca cosOAOCAOC 4 5 OAOC 设 在中 由正弦定理 ACO AOC 5 sinsin sin OAOCAC AOCAOC 所以 5sinOA 5sin OCAOC 20sinsin a cAOC 43 20sinsincos 55 8 10sin 2 18 4 所以的最大值是 18 a c 17 已知平面向量 满足 a b c 2ab 5 12 a b 62ca 则的最大值为 答案 答案 7 12 ca cb a c 2 3 三 模长公式三 模长公式 1 设点是线段的中点 若 则 MBC4BC ABACABAC AM 答案 8A 4B 2C 1DC 2 已知在平面坐标系中 为原点 且 2 0 A 1 3B O 为实数 若 则的最小值是 答 1 OMtOAt OB t 1 0 N MN 案 2 23 3 2012 江西 直角三角形中 点是斜边的中点 点是线段的中ABCDABPCD 点 则 2 22 PC PBPA 答案 2A 4B 5C 10DD 4 2012 宁波十校联考 9 已知非零向量 满足 cba 1 ba 设的最大值最小值分别为 则的值为 0 cbca cnm nm 1 2 答案 A B C 2 1 D 4 1 A 5 已知向量 则的最小值是 2 a1 bab0 2 cbca ca 答案 A 2 13 B 2 313 C 2 17 D 2 7 C 6 已知向量 向量满足 则的最大值是 0 1 a 1 0 bc0 bcca c 5 2 答案 A B 2 1 C2 D 2 2 C 7 设向量满足 60 则的最大值等 a b c 1ab 1 2 a b ac bc c 于 答案 2 8 2015 年浙江省六校联考 理科 6 已知向量是单位向量 若 且 a b 0a b 则的取值范围是 2 5cacb 2 ca A 1 3 B 3 C D 3 答案 2 2 6 5 5 2 2 6 5 5 D 9 已知是单位向量 若向量满足 则的取值范围是 a b 0a b c 1cab c A 21 21 B 21 22 C 1 21 D 1 22 10 设向量 若与的夹角是 则的最大值是 2 0 a bx y b ba 6 b 2 4 答案 AB2 3CD4 3C 11 已知单位向量 且 记 a b c x 0abc yxaxbxc 则的最大值是 答案 4 y 12 在中 且对于任意实数 都有ABCA2BC t 则的最小值是 00 1 1 3tABt ACt ABtAC 0 tR AB AC 为 答案 8 0 t 1 2 13 在中 当ABC 120A 2 13BC 2AC AB 取到最小值时 则 答案 6 CBCA 5 2 14 已知向量的夹角为 若对于任意的 都有 a b 3 2b xR 恒成立 则 的最小值为 bxaab 1 2 tbatba tR A 13 2 B 3 2 C 3 1 2 D 7 2 6 答案 D 四 向量与三角形的四 向量与三角形的 四心四心 一 有关结论 一 有关结论 是平面上一定点 是平面上不共线的三点 为动点 OCBA P 1 则点得轨迹一定通过的内心 AC AC AB AB OAOP 0 PABC 为的内心 0AB PCBC PA CA PB PABC 2 过重心 是重心 ACABOAOP 0 0 CPBPAPP 过重心 为重心 sin sin ABAC OPOA ABBACC 1 3 PGPAPBPC G 3 则是垂心 HA HBHB HCHC HA H cos cos ABAC OPOA ABBACC 则点得轨迹一定通过的垂心 0 PABC 4 是的外心 是垂心 则 MABC HMHMAMBMC 2 1 2 AM ABAB 2 1 2 AM ACAC 二 考题精选 二 考题精选 1 若点是的外心 且 则的内角为 答 OABC 0OAOBCO ABC C 120 是的外心 且 则角为 答 60 OABC 0 OCOBOAC 2 已知中 分别是的外心和垂心 则ABC 5AB 3 ACHO ABC BCOH 答案 8 3 在直角坐标系中 点 若点在的平分线上 且xoy 0 1 A 3 4 B CAOB 则 2OC OC 7 4 已知点是所在平面上的一点 若 则点是OABC 0aOAbOBcOC O 的 ABC 内心 外心 垂心 重心 A B C D 5 若点是所在平面上一点 满足OABC 则若点是的 2 22222 OABCOBCAOCAB OABC 内心 外心 垂心 重心 A B C D 6 已知的三个内角的对边分别是 是其重心 且满足ABC A B C a b cG 则为 0aGAbGBcGC ABC 等腰三角形 等腰直角三角形 等腰三角形 等边三角形 A B C D 7 若存在一点 使得取得最小值 则点应为的 ABC P 222 PAPBPC PABC 内心 外心 垂心 重心 A B C D 8 在中 分别是的重心和外心 且 则ABC 5BC G MABC 5MG BC 的形状是 ABC 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 以上三种情况都可能 A B C D 9 在中 外接圆的圆心为 若ABC 1AB 6BC 2CA ABC O 则 答案 AOABAC 4 3 5 5 10 点是的外接圆的圆心 若OABC 2ABa 2 AC a 2 3 BAC 则的最小值是 AOxAByAC 36xy 6 2 2 11 设点是所在平面内的动点 满足 PABC CPCACB 342 若 则面积的最大值是 R PAPBPC 3AB ABC 四 综合问题四 综合问题 1 2011年高考浙江卷文科15 若平面向量 满足 且以向量为邻 1 1 8 边的平行四边形的面积为 则的夹角取值范围是 答案 1 2 5 66 2 已知 若对于任意 则一定是 ABC tR BAtBCAC ABC 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 答案不确定 A B C D 3 2011 年高考天津卷文科 14 已知直角梯形中 ABCD ADBC 是腰上的动点 则的最小值为 90ADC 2AD 1BC PDC 3 PAPB 答案 5 4 已知是的重心 点分别在上 记 GABC P Q AC BCCAa CBb 若过的重心 则 答案 3 CPma CQnb PQ ABC 11 mn 5 已知点是内的一点 且满足 则OABC 230OAOBOC 1 与的面积的比为 答案 3 2 AOB AOC 2 与的面积的比为 答案 3 1 ABC AOC 3 与四边形的面积之比为 答案 6 5 ABC ABOC 说明 要注意到 当为的重心时 易证 GABC 1 1 1 GABGBCGCA SSS 6 点时内的一点 满足 若的面积与