高中数学：从离心率看圆锥曲线间的关系知识点分析 新人教A版选修1-1_第1页
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共 4 页 第 1 页 从离心率看圆锥曲线间的关系从离心率看圆锥曲线间的关系 早在 17 世纪初 在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一个 形状的新思想的影响下 法国天文学家开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐 述 他发现了圆锥曲线的焦点和离心率 并指明抛物线还有一个在无穷远处的 焦点 直线是圆心在无穷远处的圆 从而他第一个掌握了这样的事实 椭圆 抛物线 双曲线 圆 都可以从其中的一个连续地变为另一个 从而辩证地看 到了各类圆锥曲线间的关系 下面我们从离心率对圆锥曲线的形状的影响入手 来研究圆锥曲线间的关 系 为了讨论这个问题 我们首先在同一直角坐标系中把椭圆 抛物线 双曲 线这三种曲线的方程统一起来 1 椭圆 抛物线 双曲线的统一方程 将椭圆 按向量 平移得到 即 作椭圆的半通径 即过椭圆焦点且垂直于长轴的半弦 用 表示 易证 同时易知 故椭圆的方程可写成 类似地 将双曲线 按向量 平移得到 共 4 页 第 2 页 即 作双曲线的半通径 即过双曲线焦点且垂直于实轴的半弦 用 表示 易证 同时易知 故双曲线方程可写成 对于抛物线 为半通径长 离心率 它也可写成 于是在同一坐标系下 三种曲线有统一方程 其中 是曲线的半通径长 当 时分别表示椭圆 抛物线 双曲线 2 从离心率看圆锥曲线间的关系 设椭圆 双曲线 抛物线有相同的半通径 即统一方程中的 不变 令离 心率 变化 在这种情况下 我们讨论曲线变化趋势 共 4 页 第 3 页 在同一坐标系下 作出这三种曲线如图所示 设 分别是抛物 线焦点 椭圆的左焦点和双曲线的右焦点 则有 所以 这说明 点在 点右侧 而 点在 点左侧 由此 我们来看三种曲线的位置关系 由曲线的对称性 只考虑第一象限 内的情况 从统一方程不难看出 当任意取定 时 设椭圆 抛物 线和双曲线上对应点的纵坐标分别为 有 这说明 双曲线在抛物线上侧 而椭圆在抛物线下侧 下面我们进一步讨论圆锥曲线间的关系 1 当离心率 由小于 1 无限趋近于 1 时 符号 表示无限趋近于 即 这说明椭圆的左焦点无限趋近于抛物线的焦点 且椭圆在第一象限内向上 移动无限接近抛物线 共 4 页 第 4 页 又因为 所以 由于 由小于 1 无限趋近于 1 所以 这说明椭圆右焦点沿 轴正向趋于无限远 因此可以看出 在椭圆的情况 下 当 时 椭圆的极限情况就是抛物线 2 当离心率 由大于 1 无限趋近于 1 时 即 这说明双曲线右焦点无限接近于抛物线的焦点 且双曲线右支在第一象限 内向下移动无限接近抛物线 又因为 所以 由于 由大于 1 无限趋近于 1 所以 这说明双曲线左焦点沿 轴负方向趋于无限远 因此可以看出 在双曲线 的情况下 当 时 双曲线的极限情况就是抛物线 3 在椭圆情况下 当
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