高中数学 1.4位似变换与伸缩变换教案 湘教版选修4－2

用心 爱心 专心1 1 4 1 4 位似变换与伸缩变换位似变换与伸缩变换 教学目标教学目标 一 知识与技能 理解位似变换和伸缩变换的定义及其几何意义 能用矩阵表示位似变换和伸缩变换 能把简单 图形进行位似变换或伸缩变换 二 方法与过程 通过对例题的探究 发现位似变换和伸缩变换的矩阵形式 寻求伸缩变换的逆变换和矩阵形式 三 情感 态度与价值观 体会从具体到抽象 从感性上升到理性的循序渐进的过程 进一步培养学生积极参与 主动探 索的良好学习习惯和思维品质 感受数学的符号美 领会数学公式的美学意义 教学重点教学重点 位似变换和伸缩变换的矩阵表示和变换的运用 教学难点 教学难点 位似变换和伸缩变换的几何意义和关系 教学过程教学过程 一 新课引入一 新课引入 如图 1 8 选取一个位似中心 O 和一个相似比k 对原来图形上每个 点 P 连接 OP 将 OP 在原方向上伸长或缩短到 P 使OPkOP 则 P 就是 P 经过位似变换后变到的点 有时需要将平面上的图形 放大或缩小 这可以采用位似变换来实现 二 讲解新课二 讲解新课 例 1 如图 1 9 设平面上建立了直角坐标系 以原点为中心作相似比为k 0 k 的位似 变换 将每个点 P 变到 P 使OPkOP 求点 P yx 经过变换之后 到达的点 P yx 解 向量OP OP的坐标也就是点 P P 的坐标 分别为 yx yx 由OPkOP 知 yx k yx kykx 用心 爱心 专心2 即 kyy kxx 从而变换可以表示为 y x k k 0 0 y x 所以位似变换矩阵为 k k 0 0 当k 1 时 是恒等变换 例 2 由函数xysin 的图象作出xysin2 和xy2sin 的图象 解 将xysin 上每一点的 yx 的横坐标不变 纵坐标乘以 得到xysin2 的图象 如 图 1 也就是将图象在横向不变纵向拉伸到原来的 2 倍得到的 将xysin 的图象上每一点 yx 的纵坐标不变 横坐标乘 2 1 就得眼xy2sin 的图象 如 图 2 也就是将图象纵向不变横向压缩到原来的 2 1 得到的 例 3 如图 设平面上建立直角坐标系 变换 T 将平面上每一点 yx 的横坐标不变 纵坐标 乘 2 变到点 P yx 2 求变换矩阵 解 设点 P yx 变到 P yx 则 yy xx 2 因此变换矩阵为 20 01 例 4 例 3 所说的变换将以下图形变成什么图形 1 l直线0 CByAx 2 C 圆1 22 yx 解 1 从例外的变换表达式中解出 2 1 yy xx 代入方程0 CByAx 得0 2 Cy B Ax 因此 直线 l0 CByAx变成直线0 2 Cy B Ax 用心 爱心 专心3 2 由 2 1 yy xx 代入方程1 22 yx得1 4 2 2 y x 图形是椭圆 椭圆的长半轴在y轴上 长度为 由原来的圆在y轴上的半径拉长到原来的 2 倍 得到 短半轴在x轴上 长度为 1 就是原来的圆在x轴上的半径 一般地 设正实数1 k 则变换 kyy xx 或 yy kxx 将图形在一条坐标轴的方向上拉伸 当 1 k 或压缩 当10 k 到原来的k倍 而在另一条坐标轴的方向上不变 这样的变换称为 伸缩变换 伸缩变换的矩阵为 k0 01 或 10 0k 变换可写为 y x k0 01 y x 或 y x 10 0k y x 例 5 设变换 T 的矩阵是 k0 01 正实数1 k T 的逆变换 T 1 是什么 求出 T 1 的矩阵 解 设变换 T 将 P yx 变到 P yx 则 kyy xx 1 y k y xx 逆变换 T 1 将 P yx 变到 P 1 y k x 仍是伸缩变换 逆变换 T 1 的矩阵是 k 1 0 01 三 巩固练习三 巩固练习 1 求椭圆方程1 4 2 2 y x经过矩阵 2 1 0 0 2 1 变换后的曲线方程 2 在直角坐标系xOy内 将每一点的纵坐标变为原来的 2 倍 横坐标保持不变 1 试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的矩阵 2 求点 A 1 1 在该伸缩变换作用下的像 A 四 小结四 小结 1 位似变换矩阵 M k k 0 0 0 k 其中k是相似比 用心 爱心 专心4 2 伸缩变换分别沿x轴或y轴伸缩变换矩阵分别为 A 10 0k B k0 01 0 k且1 k 3 伸缩变换存在逆变换 逆变换矩阵为 A 1 10 0 1 k B 1 k 1 0 01 0