高中数学《数列》文字素材5 苏教版必修5

用心 爱心 专心1 解数列题常见错误剖析解数列题常见错误剖析 数列是高中数学的重要内容之一 也是历年来高考的热点 如果没有正确理解数列的 有关概念 解题就容易出错 现选出一些典型错误进行剖析 供大家参考 一 审题不细一 审题不细 例例 1 1 在等差数列中 记 求数列的前 30 项和 n a331 n an nn ba n b 错解错解 成等差数列 n a 也成等差数列 n b 又 331 nn ban 1 28b 30 59b 数列的前 30 项和 n b 130 30 30 30 2859 1305 22 bb S 剖析剖析 这里错把也当作等差数列 实际上解此题的关键是搞清绝对值符号内的an n b 的正负 易知当时 当时 10n 0 n a 11n 0 n a 正解正解 30121011301210111230 Saaaaaaaaaaa 1101130 10 20 145610755 22 aaaa 二 搞错项数二 搞错项数 例例 2 2 在等差数列中 求此数列的第 10 项到第 30 项之和 n a350 n an 错解错解 设第 10 项到第 30 项和为 因为数列是等差数列 所以S n a 1030 20 20 2040 200 22 aa S 剖析 剖析 关键是没有搞清数列的项数 从第 10 项到第 30 项共有 21 项 正解正解 1030 21 21 2040 210 22 aa S 三 忽视特殊情形三 忽视特殊情形 例例 3 3 已知数列的前n项和 求此数列的通项 n a 2 1 n Snn n a 错解错解 22 1 1 1 1 1 2 nnn aSSnnnnn 剖析剖析 在利用数列前n项和公式求数列通项时一定要考虑的特殊情况 数列1n 通项应为 n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 用心 爱心 专心2 正解正解 31 22 n n a nn 四 忽视特值项四 忽视特值项 例例 4 4 在数列中 则当 时 取最小值 n a5105 n an n n S 错解错解 由 解得 51050 n an 21n 所以取得最小值时 n S21n 剖析剖析 此解忽视了正负项中间的零值项 所以 21 0a 2021 SS 正解正解 取得最小值时 n为 20 或 21 n S 五 忽视整体思想五 忽视整体思想 例例 5 5 04 高考福建文 5 设是等差数列的前n项和 若 则等于 n S n a 5 3 5 9 a a 9 5 S S A 1 B C 2 D 1 1 2 错解 错解 即 5 3 5 9 a a 1 1 45 29 ad ad 1 45ad 1 29ad 2d 1 13a 9 5 9 8 9 13 2 2 1 54 5 13 2 2 S S 剖析 剖析 本题的结果虽然是正确的 但过程错误 由 我们可以令 1 1 45 29 ad ad 再进行下面的计算 不过这样做太繁琐 下面我们给出 1 45adt 1 29 0 adt t 一种简便的方法 正解正解 195 2aaa 153 2aaa 故选 A 19 95 15 53 9 995 2 1 5 55 9 2 aa Sa aa Sa 用心 爱心 专心3 理清关系理清关系 直观解题直观解题 等差数列的 直观表示 是 满足 常数 且 且按一 1nn aad n N2n 定次序排列的一列数 由于 因此 等差数列也可以看成是其对应直线上 1 n adnad 的一群孤立的点 根据数列的 直观表示 解题 能把抽象的数列问题转化为易于 n na 理解的具体问题 现例析如下 例 例 等差数列中 且 求 n a mn apaq mn k a 解解 不妨设 示意图如右图所示 由等差数列的性质易知和mn mpnp 三点共线 k ka 由斜率相等 得 k papq mnmk 解得 k p knq mk a mn 例例 2 2 已知等差数列中 其中 求 n a n Sm m Sn mn m n S 解解 不妨设 列出数列 mn n a 易知 所以 12mnmmm SSaaa 1 2 mm mn aa nm 用心 爱心 专心4 因为 所以 mn 1 2 nm aa 结合等差数列的性质可知 11 22 m nnm m n mn aamn aa S 2 2 mn mn 即 m n Smn 例例 3 3 一个只有有限项的等差数列 它的前 5 项和为 34 最后 5 项的和为 146 n a 所有项的和为 234 求 7 a 解解 列出数列 n a 易知 1 5 34146 n aa 所以 1 36 n aa 由 可知 1 2 n n n aa S 36 234 2 n 解得 13n 所以 解得 1137 362aaa 7 18a 例 例 设是等差数列的前项和 已知 其中 n S n an 66 36324144 nn SSS 求 6n n 解 解 列出数列 n a 容易观察出末 6 项之和 结 543216 324144180 nnnnnnnn aaaaaaSS 合性质易知 所以 1 6 36180216 n aa 1 36 n aa 用心 爱心 专心5 由知 解得 1 2 n n n aa S 36 324 2 n 18n 例例 5 5已知等差数列的前n项和为 D n a n S 12 0S 13 0S 问 问 中哪一个最大 123n SSSS 解解 由 得 12 13 0 0 S