高中数学竞赛 第七讲 解析几何的有关几何量的计算

用心 爱心 专心1 第七讲 解析几何的有关几何量的计算第七讲 解析几何的有关几何量的计算 一 一 距离 主要是弦长 的计算距离 主要是弦长 的计算 例例1 1 1 1 天津 天津 直线ax y 3 0与圆 x 1 2 y 2 2 4相交于A B两点 且弦AB的长为2 3 则 a 2 2 双曲线的虚轴长为4 离心率为 6 2 F1 F2分别是它的左 右焦点 若过F1的直线与双曲线的 左支交于A B两点 且 AB 是 AF2 与 BF2 的等差中项 则 AB 为 3 3 全国卷 II 已知双曲线 x2 6 y2 3 1 的焦点为 F1 F2 点 M 在双曲线上且 MF1垂直 x 轴 则 F1到直线 F2M 的距离为 4 4 在椭圆 b2x2 a2y2 a2b2 a b 0 中 记左焦点为 F 右顶点为 A 上顶点为 B 若该椭圆的离心率 为黄金数 则 ABF 5 5 过双曲线 2x2 y2 2 的右焦点 作一条直线交双曲线于 A B 两点 若实数 使得 AB 的直 线恰有 3 条 则 6 6 辽宁卷 已知双曲线的中心在原点 离心率为3 若它的一条准线与抛物线 y2 4x 的准线重 合 则该双曲线与抛物线 y2 4x 的交点到原点的距离是 例 例 设 P1P2是抛物线 y x2的一条弦 如果线段 P1P2的垂直平分线的方程为 x y 3 0 求弦 P1P2 所在的直线方程及弦 P1P2 的长 二 二 面积的计算面积的计算 例例 3 3 1 直线 3x 4y 12 与椭圆 b2x2 a2y2 a2b2 a b 0 相交于 A B 两点 该椭圆上一点 P 使得 PAB 的面积等于 3 这样的点 P 共有 个 2 已知点 A 是双曲线 x2 y2 1 的左顶点 点 B 和点 C 在双曲线的右支上 使得 ABC 是等 边三角形 则 ABC 的面积为 3 0606 四川卷 四川卷 已知两定点 A 2 0 B 1 0 如果动点P满足2PAPB 则点 P 的 轨迹所包围的图形的面积等于 4 0606 四川卷 四川卷 直线 y x 3 与抛物线 y 2 4x 交于 A B 两点 过 A B 两点向抛物线的 用心 爱心 专心2 准线作垂线 垂足分别为 P Q 则梯形 APQB 的面积为 例例 4 4 直线 L 经过椭圆 2 x2 y2 2 的右焦点且与椭圆相交于 A B 两点 求 AOB 面积的最大值 三 三 角的计算角的计算 例例 5 5 1 已知 A F 是椭圆 2 x2 y2 2 的左顶点和左焦点 B1 B2分别是椭圆的上下顶点 则直线 AB1和直线 B2F 的夹角大小为 2 经过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A B 来年观点 若 A B 在抛物线的准线上的射影 分别是 A1 B1 则 A1 F B1 3 双曲线 x2 y2 a2 a 0 与 x 轴交于 A B 两点 P 为双曲线上的第一象限内的任意一点 则 PBA PAB 四 四 其他其他 例例 6 6 1 天津卷 设双曲线以椭圆 x 25 y2 9 1 长轴的两个端点为焦点 其准线过椭圆的焦 点 则双曲线的渐近线的斜率为 2 2 0606 全国全国 IIII 已知 ABC的顶点B C在椭圆 y2 1 上 顶点A是椭圆的一个焦点 且椭圆的另 x 3 外一个焦点在BC边上 则 ABC的周长是 3 3 0606 江西卷 江西卷 设 O 为坐标原点 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A 是抛物线上一点 若 OAFA 4 则点 A 的坐标是 4 4 06 辽宁辽宁卷 卷 直线 y 2k 与曲线 9k2x2 y2 18k2 x kR 且k0的公共点的个数为 5 5 06 06 上海卷上海卷 若曲线 y2 x 1 与直线 y kx b 没有公共点 则 k b 分别应满足的条件是 6 6 广东卷 如右下图 定圆半径为a 圆心为 b c 则直线0axbyc 与直线10 xy 的 交点在第 象限 P AB 用心 爱心 专心3 例例 7 7 2006 年四川卷 已知两定点 12 2 0 2 0FF 满足条件 21 2PFPF 的点P的轨 迹是曲线E 直线1ykx 与曲线E交于 A B两点 如果6 3AB 且曲线E上存在点C 使 OAOBmOC 求m的值和ABC 的面积S 例例 8 8 天津卷 抛物线 C 的方程为 0 2 aaxy 过抛物线 C 上一点 P x0 y0 x 0 0 作斜率为 k1 k2的两条直线分别交抛物线 C 于 A x1 y1 B x2 y2 两点 P A B 三点互不相同 且满足 10 0 12 且kk 求抛物