高中数学 第八章第08课时双曲线的几何性质教师专用教案 新人教A版

用心 爱心 专心1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 一 教学目标一 教学目标 一 知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质 并能从双曲线的标准方程出发 推导出这些性 质 并能具体估计双曲线的形状特征 二 能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质 从而培养学生分析 归纳 推理等能 力 三 学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法 加深对直角坐标系中曲线与方 程的关系概念的理解 这样才能解决双曲线中的弦 最值等问题 二 教材分析二 教材分析 1 重点 双曲线的几何性质及初步运用 解决办法 引导学生类比椭圆的几何性质得出 至于渐近线引导学生证明 2 难点 双曲线的渐近线方程的导出和论证 解决办法 先引导学生观察以原点为中心 2a 2b 长为邻边的矩形的两条对角线 再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线 3 疑点 双曲线的渐近线的证明 解决办法 通过详细讲解 三 活动设计三 活动设计 提问 类比 重点讲解 演板 讲解并归纳 小结 四 教学过程四 教学过程 一 复习提问引入新课 1 椭圆有哪些几何性质 是如何探讨的 用心 爱心 专心2 请一同学回答 应为 范围 对称性 顶点 离心率 是从标准方程探讨的 2 双曲线的两种标准方程是什么 再请一同学回答 应为 中心在原点 焦点在 x 轴上的双曲线的标 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质 二 类比联想得出性质 性质 1 3 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格 让学生回答 教师引导 启发 订 正并板书 三 问题之中导出渐近线 性质 4 在学习椭圆时 以原点为中心 2a 2b 为邻边的矩形 对于估计 仍以原点为中心 2a 2b 为邻边作一矩形 板书图形 那么双曲线和这个矩形有什么 关系 这个矩形对于估计和画出双曲线简图 图 2 26 有什么指导意义 这些问题不要求学 生回答 只引起学生类比联想 接着再提出问题 当 a b 为已知时 这个矩形的两条对角线的方程是什么 下面 我们来证明它 用心 爱心 专心3 双曲线在第一象限的部分可写成 用心 爱心 专心4 当 x 逐渐增大时 MN 逐渐减小 x 无限增大 MN 接近于零 MQ 也接近于零 就 是说 双曲线在第一象限的部分从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON 在其他象限内也可以证明类似的情况 现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的 由于焦点在 y 轴上的双曲 线方程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程 将 x y 字 母对调所得到 自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x y 字 这样 我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题 从而可比较精 用心 爱心 专心5 再描几个点 就可以随后画出比较精确的双曲线 四 顺其自然介绍离心率 性质 5 由于正确认识了渐近线的概念 对于离心率的直观意义也就容易掌握了 为此 介绍 一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响 变得开阔 从而得出 双曲线的离心率越大 它的开口就越开阔 这时 教师指出 焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出 双曲线的几何性 质与坐标系的选择无关 即不随坐标系的改变而改变 五 练习与例题 1 求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方 程 请一学生演板 其他同学练习 教师巡视 练习毕予以订正 由此可知 实半轴长 a 4 虚半轴长 b 3 焦点坐标是 0 5 0 5 用心 爱心 专心6 本题实质上是双曲线的第二定义 要重点讲解并加以归纳小结 解 设 d 是点 M 到直线 l 的距离 根据题意 所求轨迹就是集合 化简得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 这就是双曲线的标准方程 由此例不难归纳出双曲线的第二定义 六 双曲线的第二定义 1 定义 由学生归纳给出 平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e 叫做双曲线的准线 常数 e 是双曲线的离心率 用心 爱心 专心7 2 说明 七 小结 由学生课后完成 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结 五 布置作业五 布置作业 1 已知双曲线方程如下 求它们的两个焦点 离心率 e 和渐近线方程 1 16x2 9y2 144 2 16x2 9y2 144 2 求双曲线的标准方程 1 实轴的长是 10