高中数学《平面向量应用举例》学案2 新人教A版必修4

1 g3 1056g3 1056 平面向量的综合应用 平面向量的综合应用 1 1 一 知识回顾 1 运用向量的坐标形式 以及向量运算的定义 把问题转化为三角问题来解决 2 运用向量的坐标形式 联系解析几何的知识 研究解析几何问题 3 向量的综合应用 常与三角 解几等联系在一起 二 基本训练 1 平面直角坐标坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 A 3 1 B 1 3 若点 C 满足 OC OA OB 若中 R 且 1 则点 C 的轨迹方程为 A x 1 2 y 2 2 5B 3x 2y 11 0 C 2x y 0D x 2y 5 0 2 已积OB 2 0 OC 2 2 CA cos sin 则OA 与OB 夹角的 22 范围是 A 0 B C D 4 4 5 12 12 5 12 5 12 2 3 平面向量a x y b x2 y2 c 1 1 d 2 2 若a c b d 1 则这样的向量a 有 A 1 个B 2 个C 多于 2 个D 不存在 4 已知a b c a 3 b 5 c 7 则a 与b 夹角为 0 5 有两个向量 1 1 0 e 2 0 1 e 今有动点P 从 0 1 2 P 开始沿着与向量 12 ee 相同的 方向作匀速直线运动 速度为 12 ee 另一动点Q 从 0 2 1 Q 开始沿着与向量 12 32ee 相同的方向作匀速直线运动 速度为 12 32 ee 设P Q在时刻0t 秒时分别在 0 P 0 Q处 则当 00 PQPQ 时 t 秒 6 已知向量a a cos 2 3 x sin 2 3 x b b 2 sin 2 cos xx 且x 0 2 若f x a a b b 2 a a b b 的最小值是 2 3 求 的值 襄樊 3 理 三 例题分析 例 1 平面直角坐标系有点 4 4 1 cos cos 1 xxQxP 1 求向量OQOP和的夹角 的余弦用x表示的函数f x 2 2 求 的最值 例 2 已知向量a a sin x cos x b b cos x cos x 其中 0 记函数 3 f x a a b b 已知 xf的最小正周期为 1 求 2 当 0 x 时 试求f x 的值域 南通一 3 例 3 已知 an 是等差数列 公差 d 0 其前 n 项和为 Sn 点列 P1 1 P2 2 S1 1 S2 2 Pn n 及点列 M1 1 a1 M2 2 a2 Mn n an Sn n 1 求证 1n PP n 2 且 n N 与 12 PP 共线 2 若 12 PP 与 12 M M 的夹角是 求证 tan 2 4 例 4 04 湖北 如图 在 Rt ABC 中 已知 BC a 若长为 2a的线段 PQ 以点 A 为中点 问BCPQ与 的夹角 取何值时CQBP 的值最大 并求出这个最大值 a AB C 3 四 作业四 作业 同步练习同步练习 g3 1056 平面向量的综合应用 1 1 已知平行四边形三个顶点的坐标分别是 4 2 5 7 3 4 则第四个顶点一定 不是 A 12 5 B 2 9 C 4 1 D 3 7 2 已知平面上直线 l 的方向向量e 点 O 0 0 和 A 1 2 在 l 上的射影分别为 4 5 3 5 O1和 A1 则 11 O A 入e 其中入 A B C 2D 2 11 5 11 5 3 设 F1 F2 为曲线 C1 1 的焦点 P 是曲线 C2 y2 1 与曲线 C1的一个交 x2 6 y2 2 x2 3 点 则 12 12 PF PF PFPF A 的值是 A B C D 1 4 1 3 2 3 1 3 4 设a b c 是平面上非零向量 且相互不共线 则 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b 与c 不垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中真命题的序号是 A B C D 5 OA cos sin OB 2 sin 2 cos 其中 0 2 则 AB 的最大值为 6 已知 O A B C 是同一平面内不同四点 其中任意三点不共线 若存在一组实数入 1 入2 入3 使入1OA 入2OB 入3OC O 则对于三个角 AOB BOC COA 有 下列说法 这三个角都是锐角 这三个角都是钝角 这三个角中有一个钝角 另两个都是锐角 这三个角中有两个钝角 另一个是锐角 其中可以成立的说法的序号是 写上你认为正确的所有答案 7 05 上海卷 直角坐标平面xoy中 若定点 2 1 A与动点 yxP满足4 OAOP 4 则点 P 的轨迹方程是 8 05 江西卷 已知向量 baxf xx b xx a 42 tan 42 sin 2 42 tan 2 cos2 令 是否存在实数 0 0 的导函数是其中使xfxfxfxfx 若存在 则求 出x的值 若不存在 则证明之 9 设a 1 cos sin b 1 cos sin c 1 0 0 2 a 与c 夹角为 1 b 与c 的夹角为 2 且 1 2 求 sin 6 的值 4 10 已知 OFQ 的面积为 S 且OF FQ 1 以 O 为坐标原点 直线 OF 为 x 轴 F 在 O 右侧 建立直角坐标系 1 若 S OF 2 求向量FQ 所在的直线方程 1 2 2 设 OF c c 2 S c 若以 O 为中心 F 为焦点的椭圆过点 Q 求当 3 4 OQ 取得最小值时椭圆的方程 11 04 年福建卷 文理 17 设函数 f xa b A 其中向量 2cos 1 ax cos 3sin2 bxx xR 若 13f x 且 3 3 x 求x 若函数2sin2yx 的图象按向量 2 cm nm 平移后得到函数 yf x 的图象 求实数 m n的值 答案答案 基本训练基本训练 1 D 2 C 3 A 4 5 2 3 6 解 a a b bxxxxx2cos 2 1 sin 2 3 sin 2 1 cos 2 3 cos 5 a b cos 22cos22 2 1 sin 2 3 sin 2 1 cos 2 3 cos 22 xxxxxx 2 0 x cos x 0 因此 a a b b 2 cos x f x a a b b 2 a a b b 即 22 21 cos2 xxf 2 0 x 0 cos x 1 若 0 则当且仅当 cos x 0 时 f x 取得最小值 1 这与已知矛盾 若 0 1 则当且仅当 cos x 时 f x 取得最小值 2 21 由已知得 2 3 21 2 解得 2 1 若 1 则当且仅当 cos x 1 时 f x 取得最小值 41 由已知得 2 3 41 解得 8 5 这与1 相矛盾 综上所述 2 1 为所求 三 例题分析 例 1 解 1 cos OQOPOQOP 4 4 cos1 cos2 cos1 cos2 1coscos1 1coscos1 cos 2 2 22 x x x xf x x xx xx OQOP OQOP 2 1 2 1 2 2 cos 2 tg t t xfttx 则则 0 0 3 22 arccos 4 0 3 22 arccos 0 1cos 3 22 3 22 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 0 1 2 2 1 1 1 2 minmax minmax minmax 22 时当时当 故又 上是增函数在处连续及在又 时显然又 xx gtggtg tgtttg tgt t tt tg 6 a AB C Q P 例 2 1 f x sin xcos x cos2 x 3 2 sin2 x 1 cos2 x 3 1 2 sin 2 x 6 1 2 0 T 1 2 2 2 由 1 得 f x sin 2x 6 1 2 0 x 2x 3 6 6 5 6 f x 1 3 2 例 3 an 成等差数列 a1 d Sn n n 1 2 1 n 1 d 1 P1Pn n 1 2 P1P2 d 2 n 1 P1Pn P1P2 n 2 且 n N 与 共线 P1Pn P1P2 2 1 d 而 M1M2 M1M21 d2 P1P2 1 d2 4 cos 2 d2 d4 5d2 4 tan2 sec2 1 d2 d4 4d2 4 1 d2 4 d2 4 1 8 tan 2 4 例 4 本小题主要考查向量的概念 平面向量的运算法则 考查运用向量及函数知识的能 力 满分 12 分 0 ACAQABAPCQBP ACAQCQABAPBPAQAP ACABACAB 解法一 cos 2 1 2 1 22 2 2 2 2 aa BCPQa BCPQa ACABAPa APABACAPa ACABAQABACAPAQAP 0 0 1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ 7 a x y AB C Q P 解法二 以直角顶点 A 为坐标原点 两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面 直角坐标系 2 2 2 0 0 0 0 22 bycxyx byyxcxCQBP yxPQbcBC byxCQycxBP yxQyxP aBCaPQ bCcBAbACcAB 则的坐标为设点 且 则设 0 0 1cos cos cos cos 22 2 2 其最大值为最大时方向相同与即故当CQBCBCPQ aaCQBP abycx a bycx BCPQ BCPQ 四 作业 1 4 DDBD 5 26 7 x 2y 4 0 3 8 解 42 tan 42 tan 42 sin 2 cos22 xxxx baxf 1 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 tan1 1 2 tan 2 tan1 2 tan1 2 cos 2 2 2 sin 2 2 2 cos22 2 xxx x x x x xxx cossinxx xxxxxfxf xfxf sincoscossin 0 即令 0 cos2 x 0 0 2 2 xfxfxx使所以存在实数可得 2 x 时 0f xfx 9 2cos cos sin 1 a 2 2 2 2 2sin sin cos 2 b 2 2 2 2 2 又 1 2 sin 6 2 3 4 1 2 10 1 设 Q x0 y0 2 F 2 0 QF 8 2 0 x0 2 y0 OF FQ 1 得 x0 OF FQ 5 2 而 S y0 y0 Q 1 2 OF 1 2 1 2 5 2 1 2 所在直线方