高中数学《等比数列的前n项和》教案7 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 等比数列前等比数列前 n n 项和说课提纲项和说课提纲 我将从教材分析 教学目标 教学方法 教学过程的构思与设想以及教学反思等五个 方面对本节课的设计进行说明 一 教材分析 数列是高中数学的重要内容之一 现实生活和高等数学的很多内容常用到它 同时又 是对学生进行观察 分析 归纳 计算 推理等基本训练 提升学生数学能力的良好题材 学生在前面已经学习了数列的概念 等差数列及其求和公式 等比数列的通项公式 这为本节内容的学习奠定了基础 而本节课的学习又为数列在各方面的应用奠定基础 基于以上认识 我认为本节课的重点为 等比数列前 n 项和公式及其应用 由于公式 的推导方法学生不易想出 所以本节课的难点为 等比数列前 n 项和公式的推导过程 突 破难点的关键在于创设合适的教学情境将学生的思维引导到最近的发现区 二 教学目标 依据教材 教学大纲和学生实际 我确立了如下教学目标 1 知识与技能目标 1 使学生掌握并能灵活运用等比数列前 n 项和公式 掌握该 公式的推导方法 乘公比错位相减法 2 渗透分类讨论等数学思想 提高学生的数学素养 2 过程与方法目标 在公式及其推导方法的探究过程中培养学生的观察 猜想 分析 综合的思维能力 使学生掌握研究问题的科学方法 3 情感与态度目标 创设轻松愉快的教学氛围 让学生在自主探究 合作交流过程中 收获知识 提升能力 获得学习成功的愉悦和快乐 并关注其个性品质 通过对公式的推 导和对公比 q 的讨论 进一步形成学生勇于探索 严谨治学的科学态度 三 教学方法 教学过程是教与学以及师生合作 生生合作的多边活动过程 教学方法对 教学目的的实现和学生素质的提高具有非常重要的意义 1 教法 建构主义认为 知识不能由教师简单地传递给学生而只能由学生依据自己已有的知识 和经验主动地加以建构 因此本节课我主要采用 引导发现法 来突出重点 突破难点 过程如下 第一步 讲述数学故事并设置问题 激发学生的学习兴趣 第二步 解决故事中提出的问题 无意中 求出麦粒数这个等比数列前 64 项的和 引导学生反思求和过程 根据求和过程大胆猜想等比数列求和的方法 用心 爱心 专心2 第三步 通过特殊数列验证改进猜想 并严格证明猜想 得出等比数列求和公式及其 推导方法 第四步 通过例题和练习 巩固所学内容 这样设计将有利于调动学生思维的积极性 将学生的学习过程转化为学生的自主探索 过程 使学生真正成为课堂的主人 参与到整个教学活动的全过程中 采用 引导发现法 通过教师精心设计教学情境和一系列活动 让学生亲身体验知识发生 发展的过程 特别 有利于培养学生的探索精神和创新意识 发展他们的研究能力和实践能力 2 学法 我们常说 现代的文盲不是不识字的人 而是没有掌握学习方法的人 因而在教学 中要特别重视对学法的指导 教师只有教给学生治学之道 求是之法 才能让学生把握学 习的灵魂 本节课学生将经历观察 猜想 分析 证明 练习及巩固过程 通过本节学习使学生认识到学习的过程就是通过发现问题 研究问题 解决问题进一 步扩充自己的认知结构的过程 逐步掌握认真观察 动脑思考 大胆猜想 严格证明这一 探索 研究问题的重要方法 总之 本节教学方法设计是给学生提供眼耳脑口手五官并用的机会 优化教学过程 把学习主动权交给学生 真正让学生成为教学活动的主体 同时还使用演示课件 投影等手段扩大课堂容量 激发学生兴趣 四 教学过程 依据辩证唯物主义认识论 教育心理学规律 根据教材分析和学生实际 本着提高学 生探究能力 发展学生的创新意识和实践能力的目的 我把本节课的课堂结构分为以下四 环节 1 创设情境 引入课题 本环节分为两个层次 1 复习等比数列定义和通项公式 并通过定义 q 得出 an 1 anq n n a a 1 启发学生得出无穷等比数列的某一项乘以公比 q 所得结果仍然是这个数列中的项 并 且是这一项的后一项 有穷数列的最后一项除外 本层次主要是为扫除因旧知识不清而出现的障碍 为后面突破难点做好铺垫 2 讲述教学故事设置问题 创设情境 师生一块回忆本章引言中关于国际象棋的传说 国际象棋起源于古代印度 国王要奖 赏国际象棋的发明者 问他有什么要求 发明者说 请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗 用心 爱心 专心3 麦粒 在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒 在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒 在第 4 个格子里放 上 8 颗麦粒 依次类推 每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍 直到第 64 个格子 国王觉得这并不是很难办的事 就欣然同意了他的要求 可国王错了 皇家总管用了整整三天的时间才算出麦粒数是 18446744073709551615 这些麦粒的总质量 超过了 7000 亿吨 7000 亿吨是一个多么庞大的数字 学生们可能想象不到 可以给学提 供一个参照物 我们国家在 2003 年的粮食总产量不足 5 亿吨 照我们国家现在的生产力水 平 7000 亿吨大约是 1400 多年的粮食总产量 何况古代印度的生产力水平呢 国王犯这样的错 主要是因为缺乏数学知识 那么 我们怎样迅速计算出麦粒总数呢 因为在上一节等比数列的概念中 学生已经知道麦粒数构成了一个等比数列 此时提 出等比数列怎样求和水到渠成 继续讲述故事 现在我们假设发明者要求使用另一种放法 在第 1 个格子里放 2 颗麦 粒 在第 2 个格子里放 4 颗麦粒 在第 3 个格子里放 8 颗麦粒 依次类推 每一个格子 里放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍 直到第 64 个格子 并设置问题 后一种放法与前一种放法相比 发明者能多得多少颗麦粒 教师放手让学生去研究 去探索 去讨论 学生比较容易得出 S64 1 2 4 8 16 32 64 262 263 S 2 4 8 16 32 64 128 263 264 64 两式相减得 S S64 264 1 64 也就是第二种放法比第一种放法能多得 264 1 颗麦粒 教师引导学生考虑每一格中两种放法对应的麦粒数的关系 进而得出两种放法对应的 麦粒总数的关系 至此 学生发现 S S64 S64 也就是第二种放法比第一种放法多得的麦粒数恰好为第 64 一种放法所得麦粒总数 为引导学生观察教师提出问题 在 S64 与 S中有这么多项你是怎样计算出结果的 64 学生发现两式中绝大多数项相同 在作差时被消去 从而为后面突破难点设置台阶 本层次通过故事引入 可以极大地调动全体同学的积极性 使不同层次的学生都兴致 勃勃地参与课堂活动 改编故事设置第二种放法 主要是因为等比数列前 n 项和的求法 学生不易想出 而学生在解决故事中的问题时会在 不经意 中求出一个等比数列的和 从而回头反思求和的过程 当然这里学生的 不经意 是教师故意设置的教学情境 用心 爱心 专心4 2 自主探索 合作交流 本环节是教学过程的难点 我通过四个层次来分散难点 突出重点 1 观察分析 提出猜想 教师提出问题 刚才我们在不经意中求出了一个数列的前 64 项和 现在我们回头分 析一下是怎求求和的 请大家首先观察两个等式之间有什么关系 并考虑我们求出和的过 程 屏幕显示 S64 1 2 4 8 16 32 64 262 263 S 2 4 8 16 32 64 128 263 264 64 学生经过观察 分析 讨论 将两式关系总结为两点 式对应的数列是 式的对应数列的各项乘以 2 后得到的 式与 式绝大多数项相同 在相减时被消去 教师设置问题 据此分析 请同学们大胆猜想 求一个等比数列前 n 项和可以怎样 进行 让学生畅所欲言 大胆发表自己的看法 如果学生回答确有困难 教师可对照上面的 解法给予适当提示 根据以往授课经验 多数学生认为可以将 Sn乘以 2 后再与 Sn相减 2 验证猜想 改进猜想 教师指导全体学生按照多数学生的猜想进行研究 其他同学的猜想在课后自己进行研 究 启发学生先用特殊数列验证猜想 屏幕显示等比数列 1 3 9 27 3n 1 学生验证后发现不能求出 Sn 学生思路受阻 教师选择适当时机点拨 引导学生观察 第二个数列对应的两个等式 和第一个数列对应的两个等式之间有什么差别 经过学生观察 讨论可以得到第二个数列的两式没有出现绝大多数相同项 教师组织学生进一步讨论 为什么第一个数列乘以 2 后能出现绝大多数相同项因而 能求和 而第二个数列乘以 2 后不能出现绝大多数相同项因而不能求和 第一个数列乘以 2 后能求和是不是一种偶然的巧合呢 学生思考 分析 讨论 如果学生回答确有困难 教师可以提示 第一个数列乘以 2 后能求和而第二个数列乘以 2 后不能求和 是不是 2 相对于两个数列角色不一样 学生经过观察 分析 讨论后认定 2 是第一个数列的公比 但并不是第二个数列的公 比 用心 爱心 专心5 教师及时引导 看来我们的猜想还需要进一步改进 那么应怎样改进呢 学生很快得出 应将 Sn乘以公比后再与 Sn作差 教师启发学生先用特殊数列验证 学生按改进后的猜想 去求刚才的第二个等比数列 1 3 9 27 3n 1 的前 n 项 和 发现能求出 Sn 教师提出问题 改进后的猜想能用来求这两个数列的和 那么是不是所有的等比数列 都可以这样求和呢 学生得出肯定的结论后 教师引导学生反思 为什么乘以公比以后能求和 如果学生回答确有困难 教师可提示学生出现绝大多数相同项作差时能消去是关键 再结合刚上课复习等比数列定义时得出的等比数列中的项乘以公比 q 所得结果为该数列中 这一项的后一项 则可以断定 Sn乘以公比 q 后的 qSn表达式与 Sn表达式中绝大多数项相同 作差时能消去 再回头看第一个数列乘以 2 再作差能求和 表面现象是乘以 2 其本质是乘以等比数 列的公比 也就是出现那么多相同项的根本原因在于将每一项均乘以公比 q 后得到了这一 项的下一项 有穷数列最后一项除外 分析至此 等比数列求和的方法已浮出水面 3 证明猜想 教师继续引导 这只是我们的分析过程 下面需要做的工作大家认为是什么 在学生答出证明以后 教师用屏幕显示 设公比为 q 的等比数列 a1 a2 a3 an 的前 n 项和 Sn a1 a2 an 让学生按照改进后的猜想去推导 Sn 让一名学生到黑板板演 教师巡回观察 学生一般出现两种解法 解法一 Sn a1 a2 a3 a4 an 1 an a q Sn a1q a2q a3q a4q an 1q anq b a b 得 1 q Sn a1 anq 继而求出 Sn 解法二 Sn a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 c qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn 2 a1qn 1 a1qn d c d 得 1 q Sn a1 a1qn 继而求出 Sn 不论采用哪种解法 学生能够比较容易地推出预定结论 但是 学生易在由 1 q 用心 爱心 专心6 Sn a1 anq 或 1 q Sn a1 a1qn求出 Sn时忽视对公比 q 的讨论 此处我的设计是 如果板演的同学讨论了 则让其他同学研究为什么讨论 如果板演 的同学没有讨论 则让全体同学观察其推理过程是否严密 从而培养学生思维的批判性 严谨性 当 q 1 时的情形由学生自己得出 投影学生的另一种解法 并让学生研究两种结果的一致性 4 加深认识 为使加深学生对公式及其推导过程的认识并进一步渗透分类讨论思想 我设置以下两 点 给推导过程命名 引导学生对照前 n 项和公式的推导过程给这种方法取一个能够体 现该方法特点的名字 如果学生总结确有难度 教师可启发学生观察公式推导的步骤和作 差时项的对应关系 最终得出乘公比错位相减法 总结公式 让学生总结等比数列前 n 项和公式的表达式 启发学生用分段函数的形 式来表示 Sn 让学生阅读课本 对所学内容及时回顾 反思 培养学生良好的学习习惯 3 练习应用 巩固提高 为巩固所学知识 我设置了 3 道例题 例 1 根据下列条件求相应的等比数列 an 的前 n 项和 Sn 1 a1 3 q 2 n 6 2 a1 8 q an 2 1 2 1 例 2 计算等比数列 1 2 4 8 263的和 例 3 求等比数列 1 a a2 an 1 的前 n 项和 a R a 0 三个例题都直接应用公式求解例 1 由学生自己完成 例 2 由师生一块完成教师书写规 范的解题步骤 为学生规范解题树立良好的榜样 同时用例 2 照应本节课开始的数学故事 例 3 用来强化学生的分类讨论思想学生先做最后教师讲评 4 课堂小结 1 1 11 1 1 11 qna q q qaa q qa n n 用心 爱心 专心7 本环节分为两个层次 第一层次由学生小结本节课所学主要内容 回忆学习过程 归 纳最重要的收获 以巩固新知 及时反思 提高能力 第二层次由教师小结教材体现的数 学思想和方法 以上四环节的时间分配设计 1 创设情境 引入课题大约 6 分钟 2 合作讨论 探索方法大约 25 分钟 3 练习应用 巩固提高大约 10 分钟 4 课堂小结大约 4 分钟 为更好地复习巩固所学内容布置如下作业 第 3 题为研究性作业 用于训练学生思维 的发散性 进一步提升学生的探索和研究能力 1 求等比数列 8 4 2 1 的前 5 项的和 2 求等比数列 1 2 4 从第 5 项到第 10 项的和 3 研究性作业 选做 探究等比数列前 n 项和公式的其他证明方法 板书设计 标 题 1 定 义 通 项公式 2 第 二种放 法比第 一种放 法多得