高中数学：和圆有关的比例线段学案新人教A版选修4-1

1 高二数学选修 4 1 学案 五五 和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段 班级 姓名 学号 教学目标 教学目标 1 理解相交弦定理及其推论 掌握切割线定理及其推论 并初步学会运用它们进行计算 和证明 2 掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧 培养学生从几何图 形归纳出几何性质的能力 3 能够用运动的观点学习切割线定理及其推论 培养学生辩证唯物主义的观点 教学重点 教学重点 正确理解相交弦定理及其推论 切割线定理及其推论 它是以后学习中经常 用到的重要定理 教学难点 教学难点 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系 教学活动 教学活动 一 复习导入 一 复习导入 1 证明 已知 弦 AB 和 CD 交于 O 内一点 P 求证 PA PB PC PD 相交弦定理 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 2 从一般到特殊 发现结论 对两条相交弦的位置进行适当的调整 使其中一条是直径 并且它们互 相垂直 思考 1 若 AB 是直径 并且 AB CD 于 P 根据相交弦定理 能得到什么结论 推论 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中 项 项 2 若再连结 AC BC 则在图中又出现了射影定理的基本图形 于是有 PC2 PA PB AC2 AP AB CB2 BP AB 二 范例讲解一二 范例讲解一 例 1 已知圆中两条弦相交 第一条弦被交点分为 12 厘米和 16 厘米两段 第二条弦的 长为 32 厘米 求第二条弦被交点分成的两段的长 根据题意列出方程并求出相应的解 2 例 2 已知 线段 a b 求作 线段 c 使 c2 ab 分析 这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式 因此可作出以线段 a 十 b 为直径的半圆 仿照推论即可作出要求作的线段 作法 口述作法 三 课堂练习一三 课堂练习一 练习 1 如图 AP 2 厘米 PB 2 5 厘米 CP 1 厘米 求 CD 变式练习 若 AP 2 厘米 PB 2 5 厘米 CP DP 的长度皆为整数 那么 CD 的长 度是多少 练习 2 如图 CD 是 O 的直径 AB CD 垂足为 P AP 4 厘米 PD 2 厘 米 求 PO 的长 练习 3 如图 在 O 中 P 是弦 AB 上一点 OP PC PC 交 O 于 C 求证 PC2 PA PB 分析 由 AP PB 联想到相交弦定理 想到延长 CP 交 O 于 D 于是有 PC PD PA PB 又根据条件 OP PC 易 证得 PC PD 问题得证 3 探究 探究 1 相交弦定理是两弦相交于圆内一点 如果两弦延长交于圆外一点 P 那么该点 到割线与圆交点的四条线段 PA PB PC PD 的长之间有什么关系 2 当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时 猜想 由圆外这点到割 线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长 PA PB PT 之间又有什么关系 3 用语言表达上述结论 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项 的比例中项 推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等 也叫做割线定理 等 也叫做割线定理 四 范例讲解二四 范例讲解二 例 1 已知 O 的割线 PAB 交 O 于点 A 和 B PA 6 厘米 AB 8 厘米 PO 10 9 厘米 求 O 的半径 分析 由于 PO 既不是 O 的切线也不是割线 故须将 PO 延长交 O 于 D 构成了圆的一条割线 而 OD 又恰好是 O 的半径 于是运用切割线定理的推论 问题得解 例 2 如图 7 90 两个以 O 为圆心的同心圆 AB 切大圆于 B AC 切小圆于 C 交大圆 于 D E AB 12 AO 15 AD 8 求 两圆的半 径 4 五 课堂练习二五 课堂练习二 1 P 为 O 外一点 OP 与 O 交于点 A 割线 PBC 与 O 交于点 B C 且 PB BC OA 7 PA 2 求 PC 的长 2 已知 如图 7 92 O 和 O 都经过 A 和 B PQ 切 O 于 P 交 O 于 Q M 交 AB 的延长线于 N 求证 PN2 NM NQ 六 课堂反思 六 课堂反思 观察图形 要证的数量关系中 线段属于不同的两圆 NP 是 O 的切线 NMQ 是 O 的割线 能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线 NBA 具备了在两圆中 运用切割线定理及其推论的条件 例 如图 7 93 四边形 ABCD 内接于 O AB 长 7cm CD 10cm AD BC 1 2 延长 BA CD 相交于 E 从 E 引圆的切线 EF 求 EF 的长 分析 此题中 EF 是 O 的切线 由切割线定理 EF2 ED EC EA EB 故要求 EF 的 长 须知 ED 或 EA 的长 而四边形 ABCD 内接于 O 可 EB 长为 2x 应用割线定理 可求得 x 于是 EF 可求 5 证明 四边形 ABCD 内接于 O EAD ECBEB 2x x x 10 2x 7 2xx 8 EF2 8 8 10 EF 12 答 EF 长为 12cm 高二数学选修 4 1 学案 六六 和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段 习题课习题课 班级 姓名 学号 教学目标 教学目标 1 理解相交弦定理及其推论 掌握切割线定理及其推论 并初步学会运用它们进行计算 和证明 2 掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧 培养学生从几何图 形归纳出几何性质的能力 3 能够用运动的观点学习切割线定理及其推论 培养学生辩证唯物主义的观点 教学重点 教学重点 正确理解相交弦定理及其推论 切割线定理及其推论 它是以后学习中经常 用到的重要定理 教学难点 教学难点 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系 教学活动 教学活动 一 切线长概念一 切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间的线段的长度 切线长 是 切线上一条线段的长 具有数量的特征 而 切线 是一条直线 它不可以度量长度 二 切线长定理切线长定理 对于切线长定理 应明确 1 若已知圆的两条切线相交 则切线长相等 2 若已知 两条切线平行 则圆上两个切点的连线为直径 3 经过圆外一点引圆的两条切线 连 结两个切点可得到一个等腰三角形 4 经过圆外一点引圆的两条切线 切线的夹角与 过切点的两个半径的夹角互补 5 圆外一点与圆心的连线 平分过这点向圆引的两条 切线所夹的角 三 利用切线长定理解题三 利用切线长定理解题 例例 1 如图 1 正方形 ABCD 的边长为 1 以 BC 为直径 在正 方形内作半圆 O 过 A 作半圆切线 切点为 F 交 CD 于 E 求 DE AE 的值 6 解 图 1 例例 2 如图 7 在直角三角形 ABC 中 A 90 以 AB 边为直径作 O 交斜边 BC 于点 D 过 D 点作 O 的切线交 AC 于 E 求证 BC 2OE 点悟 由要证结论易想到应证 OE 是 ABC 的中位线 而 OA OB 只须证 AE CE 图 7 证明 连结 OD AC AB AB 为直径 AC 为 O 的切线 又 DE 切 O 于 D EA ED OD DE OB OD B ODB 在 Rt ABC 中 C 90 B ODE 90 C EDC ED EC AE EC OE 是 ABC 的中位线 BC 2OE 例例 3 如图 8 在正方形 ABCD 中 AB 1 是以点 B 为圆心 AB 长为半径的 圆的一段弧 点 E 是边 AD 上的任意一点 点 E 与点 A D 不 重合 过 E 作所在圆的切线 交边 DC 于点 F G 为切点 当 DEF 45 时 求证点 G 为线段 EF 的中点 解 由 DEF 45 得 DFE DEF DE DF 又 AD DC AE FC 因为 AB 是圆 B 的半径 AD AB 所以 AD 切圆 B 于点 A 同理 CD 切圆 B 于点 C 又因为 EF 切圆 B 于点 G 所以 AE EG FC FG 因此 EG FG 即点 G 为线段 EF 的中点 图 8 四 反馈测试四 反馈测试 一 选择题 1 已知 PA PB 切 O 于点 A B 连结 AB 若 AB 8 弦 AB 的弦心距 3 则 PA A B C 5 D 8 7 2 下列图形一定有内切圆的是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 梯形 3 已知 如图 1 直线 MN 与 O 相切于 C AB 为直径 CAB 40 则 MCA 的度数 A 50 B 40 C 60 D 55 图 1 4 圆内两弦相交 一弦长 8cm 且被交点平分 另一弦被交点分为 1 4 则另一弦长为 A 8cm B 10cm C 12cm D 16cm 5 在 ABC 中 D 是 BC 边上的点 AD BD 3cm DC 4cm 如果 E 是 AD 的延长线与 ABC 的外接圆的交点 那么 DE 长等于 A B C D 6 PT 切 O 于 T CT 为直径 D 为 OC 上一点 直线 PD 交 O 于 B 和 A B 在线段 PD 上 若 CD 2 AD 3 BD 4 则 PB 等于 A 20 B 10 C 5 D 二 填空题 7 AB CD 是 O 切线 AB CD EF 是 O 的切线 它和 AB CD 分别交于 E F 则 EOF 度 8 已知 O 和不在 O 上的一点 P 过 P 的直线交 O 于 A B 两点 若 PA PB 24 OP 5 则 O 的半径长为 9 若 PA 为 O 的切线 A 为切点 PBC 割线交 O 于 B C 若 BC 20 则 PC 的长为 10 正 ABC 内接于 O M N 分别为 AB AC 中点 延长 MN 交 O 于点 D 连结 BD 交 AC 于 P 则 三 解答题 11 如图 2 ABC 中 AC 2cm 周长为 8cm F K N 是 ABC 与内切圆的切点 DE 切 O 于点 M 且 DE AC 求 DE 的长 图 2 12 如图 3 已知 P 为 O 的直径 AB 延长线上一点 PC 8 切 O 于 C CD AB 于 D 求证 CB 平分 DCP 图 3 13 如图 4 已知 AD 为 O 的直径 AB 是 O 的切线 过 B 的割线 BMN 交 AD 的延 长线于 C 且 BM MN NC 若 AB 求 O 的半径 图 4 五 总结 扩