高中数学《向量的线性运算》教案5 苏教版必修4

用心 爱心 专心1 向量的线性运算 一 向量的线性运算 一 三维目标 一 知识与技能 1 理解向量加法的含义 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和 2 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比 使学生掌握向量加法运算的交换律和 结合律 表述两个运算律的几何意义 并会用它们进行向量计算 渗透类比的数学方法 培养数形结合解决问题的能力 3 掌握有特殊位置关系的两个向量的和 比如共线向量 共起点向量 共终点向量等 4 初步体会数形结合在向量解题中的应用 二 过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法 一方面启发我们利用位移的合成去 探索两个向量的和 另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法 最后通过讲解例 题 指导发现知识结论 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 三 情感 态度与价值观 通过本节内容的学习 使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定 的认识 进一步让学生理解和领悟数形结合的思想 同时以较熟悉的物理背景去理解向量 的加法 感受数学与生活的联系 增强学习数学的兴趣和积极性 教学重点与难点 重点 如何作两个向量的和向量 难点 对向量加法定义的理解 学法与教学用具 1 学法 1 自主性学习 探究式学习法 2 反馈练习法 以练习来检验知识的应用情况 找出未掌握的内容及其存在的差距 2 学法指导 数能进行运算 向量是否也能进行运算呢 数的加法启发我们 从运算的角度看 位 移的合成 力的合成可看作向量的加法 借助于物理中位移的合成 力的合成来理解向量 的加法 让学生顺理成章接受向量的加法定义 结合图形掌握向量加法的三角形法则和平 行四边形法则 联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律 3 教学用具 多媒体 实物投影仪 尺规 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 复习 1 向量的概念 2 平行向量 相等向量的概念 情景设置 利用向量的表示 从景点O到景点A的位移为 OA 从景点A到景点B的 位移为 AB 那么经过这两次位移后游艇的合位移是 OB 这里 向量 OA OB OC三者之间有什么关系 用心 爱心 专心2 A B a O b b a a a b b OBa b OABOAB OBa b 二 研探新知二 研探新知 1 向量的加法 向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 表示 AB BC AC 规定 零向量与任一向量a 都有00aaa 注意 两个向量的和仍旧是向量 简称和向量 作法 在平面内任意取一点O 作 OA a AB a 则 OB OA AB a b 2 向量的加法法则 1 共线向量的加法 同向向量 反向向量 2 不共线向量的加法 几何中向量加法是用几何作图来定义的 一般有两种方法 即向量加法的三角形法则 首尾相接 首尾连 和平行四边形法则 对于两个向量共线不适应 三角形法则 根据向量加法定义得到的求向量和的方法 称为向量加法的三角形法则 表示 AB BC AC 平行四边形法则 以同一点A为起点的两个已知向量a b 为邻边作平行四边形 ABCD 则以A为起点的对角线 AC就是a 与b 的和 这种求向量和的方法称为向量加法 的平行四边形法则 如图 已知向量a b 在平面内任取一点A 作 AB a BCb 则向量 AC叫做 a 与b 的和 记作a b 即a b AB BC AC a a a b b b a b a b A B C A B C D 三角形法则 平行四边形法则 用心 爱心 专心3 说明 教材中采用了三角形法则来定义 这种定义 对两向量共线时同样适用 当向 量不共线时 向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况 探究 1 两相向量的和仍是一个向量 2 当向量a 与b 不共线时 a b 的方向不同向 且 a b a b 3 当a 与b 同向时 则a b a b 同向 且 a b a b 当a 与b 反向 时 若 a b 则a b 的方向与a 相同 且 a b a b 若 a b 则a b 的方向与b 相同 且 a b b a 4 向量平移 使前一个向量的终点为后一个向量的起点 可以推广到n个向量 连加 3 向量加法的运算律 1 向量加法的交换律 a b b a 2 向量加法的结合律 a b c a b c 证明 如图 使 ABa BCb CDc 则 a b c AC CD AD a b c AB BD AD a b c a b c 从而 多个向量的加法运算可以按照任意的次序 任意的组合来进行 例如 abcdbdac abcdedacbe 三 质疑答辩 排难解惑 发展思维三 质疑答辩 排难解惑 发展思维 例 1 教材 60 P例 1 如图 O为正六边形的中心 作出下列向量 1 OA OC 2 BC FE 3 OA FE 例 2 如图 一艘船从A点出发以hkm 32的速度向垂直于对岸的方向行驶 同时 水的流速为hkm 2 求船实际航行的速度的大小与方向 解 设 AD表示船垂直于对岸的速度 AB表示水流的速度 以AD AB为邻边作平行四边形ABCD 则 AC就是船实际航行的速度 在ABCRt 中 2 AB 32 BC 所以4 22 BCABAC 因为3 2 32 tan CAB 60 CBA 用心 爱心 专心4 例 3 已知矩形ABCD中 宽为2 长为2 3 ABa BC b AC c 试作 出向量abc 并求出其模的大小 例 4 一架飞机向北飞行200千米后 改变航向向东飞行200千米 则飞行的路程为 400 千米 两次位移的和的方向为北偏东45 大小为200 2千米 例 5 教材 60 P例 2 在长江南岸某渡口处 江水以hkm 5 12的速度向东流 渡般的 速度为hkm 25 渡般要垂直地渡过长江 其航向应如何确定 举一反三 若渡般以hkm 25的速度按垂直于河岸的航向航向航行 那么受水流影响 渡船的实 际航向如何 四 巩固深化 反馈矫正四 巩固深化 反馈矫正 1 一艘船从A点出发以hkm 32的速度向垂直于对岸的方向行驶 船的实际航行的 速度的大小为hkm 4 求水流的速度 2 一艘船距对岸4 3km 以hkm 32的速度向垂直于对岸的方向行驶 到达对岸时 船的实际航程为 8km 求河水的流速 3 一艘船从A点出发以 1 v的速度向垂直于对岸的方向行驶 同时河水的流速为 2 v 船 的实际航行的速度的大小为hkm 4 方向与水流间的夹角是60 求 1 v和 2 v 4 一艘船以 5hkm 的速度在行驶 同时河水的流速为 2hkm 则船的实际航行速度 大小最大是hkm 最小是hkm 五 归纳整理 整体认识五 归纳整理 整体认识 1 理解向量加法的概念及向量加法的几何意义 2 熟练掌握向量加法的平行四边形法则 三角形法则和向量加法运算律 六 承上启下 留下悬念六 承上启下 留下悬念 1 已知两个力 1 F 2 F的夹角是直角 且知它们的合力F与 1 F的夹角是60 10F 牛 求 1 F和 2 F的大小 七 板书设计七 板书设计 略 八 课后记 八 课后记 向量的线性运算 二 向量的线性运算 二 BC A 用心 爱心 专心5 三维目标 一 知识与技能 1 通过实例 掌握向量减法的运算 并理解其几何意义 2 掌握向量减法与加法的逆运算关系 能准确作出两个向量的差向量 并且能掌握 差向量的起点和终点的规律 3 能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量 了解向量方程 并会用几何法解向量方程 4 对学生渗透化归 类比和数形结合的思想 继续培养学生识图和作图的能力 及运 用图形解题的能力 二 过程与方法 向量减法运算可以转化成向量的加法运算 通过知识发生发展过程教学使学生感受和 领悟数学发展的过程及其思想 最后通过讲解例题 指导发现知识结论 培养学生抽象概 括能力和逻辑思维能力 三 情感 态度与价值观 1 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算 使学生理解事物之间可以相 互转化的辩证思想 2 通过本节内容的学习 使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一 定的认识 进一步让学生理解和领悟数形结合的思想 同时以较熟悉的物理背景去理解向 量的加法 这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性 实事求是的科学学习态度和勇 于创新的精神 教学重点与难点 重点 向量减法的概念和向量减法的作图法 难点 减法运算时方向的确定 学法与教学用具 1 学法 1 自主性学习 探究式学习法 2 反馈练习法 以练习来检验知识的应用情况 找出未掌握的内容及其存在的差距 2 学法指导 减法运算是加法运算的逆运算 学生在理解相反向量的基础上结合向量 的加法运算掌握向量的减法运算 并利用三角形做出减向量 3 教学用具 多媒体 实物投影仪 尺规 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 1 向量的加法定义 法则和运算律 2 数的运算 减法是加法的逆运算 二 研探新知二 研探新知 向量的减法是向量加法的逆运算 1 向量减法的定义 若b x a 则向量 x叫做a 与b 的差 记为a b 求两个向量差的运算 叫做 向量的减法 表示 a b a b 2 向量减法的法则 用心 爱心 专心6 a b a O A b a b B a O A b B a b AB CD O a b a b a b 根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则 我们可以得到向量a b 的作图方法 思考 已知a b 怎样求作a b 1 三角形法则 已知a b 在平面内任取一点O 作 OAa OBb 则 BAa b 即a b 可以表示为从b 减向量 的终点 指向a 被减向量 的终点的向量 强 调 a b 同起点时 a b 是连结a b 的终点 并指向 被减向量a 的向量 2 平行四边形法 在平面内任取一点 O 作 OAa OBb 则由向量加法 的平行四边形法则可得 BA BO OA a b a b 思考 从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量是什么 b a 探究 如右图 a b 时 怎样作出a b 呢 三 质疑答辩 排难解惑 发展思维三 质疑答辩 排难解惑 发展思维 例 1 教材 62 P例 1 如图 2 2 7 1 已知向量a b 不共线 求作向量a b 思考 你能画图说明a b a b 吗 例 2 如图 O是平行四边形ABCD的对角线的交点 若 ABa DAb OCc 试证明 b c a OA 例 3 用向量法证明 对角线互相平分的四边形是平行四边形 例 4 试证 对任意向量a b 都有 ababab 证明 1 当a b 中有零向量时 显然成立 2 当a b 均不为零向量时 a 与b 共线 即 ab 当a b 同向时 ababab 当a b 反向时 ababab 用心 爱心 专心7 a b a b 不共线时 在ABC 中 AB BC AC AB BC 则有 ababab ababab 其中 当a b 同向时 abab 当a b 同向时 abab 思考 任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和 四 巩固深化 反馈矫正四 巩固深化 反馈矫正 教材 63 P练习 第 1 至 6 题 五 归纳整理 整体认识五 归纳整理 整体认识 1 掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的 2 会作两向量的差向量 3 能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量 六 承上启下 留下悬念六 承上启下 留下悬念 1 已知正方形ABCD的边长等于 1 ABa BCb ACc 求作向量 1 abc 2 abc 2 已知向量a b 的模分别是 3 4 求 ab 的取值范围 3 预习向量的数乘 七 板书设计七 板书设计 略 八 课后记 八 课后记 向量的线性运算 三 向量的线性运算 三 三维目标 一 知识与技能 1 理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律 2 让学生能由实数运算律类比向量运算律 并且验证强化对知识的形成过程的认识 正确表示结果 二 过程与方法 1 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积 2 三个运算定律 结合律 第一分配律 第二分配律 在此基础上得到数乘运算的 几何意义 3 为了帮助学生消化和巩固相应的知识 教材设置了几个例题 通过讲解例题 指导 A b D C B ab a 用心 爱心 专心8 发现知识结论 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 三 情感 态度与价值观 通过本节内容的学习 使同学们对实数与向量积有了较深的认识 让学生理解和领悟 知识将各学科有机的联系起来了 这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性 有助于 培养学生的发散思维和勇于创新的精神 教学重点与难点 重点 实数与向量积的定义及几何意义 难点 实数与向量积的几何意义的理解 学法与教学用具 1 学法 1 自主性学习 探究式学习法 2 反馈练习法 以练习来检验知识的应用情况 找出未掌握的内容及其存在的差距 2 教学用具 多媒体 实物投影仪 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 质点从点O出发做匀速直线运动 若经过 1s的位移对应的向量用a 表示 那么在同 方向上经过 3s的位移所对应的向量可用 3a 来表示 这里 3a 是何种运算的结果 二 研探新知二 研探新知 1 实数与向量的积的定义 一般地 实数 与向量a 的积是一个向量 记作a 它的长度与方向规定如下 1 aa 2 当0 时 a 的方向与a 的方向相同 当0 时 a 的方向与a 的方向相 反 当0 时 0a 请学生自己解释其几何意义 实数 与向量a 相乘 叫做向量的数乘 2 实数与向量的积的运算律 1 aa 结合律 2 aaa 第一分配律 3 ab a b 第二分配律 用心 爱心 专心9 a b 思考 根据几何意义 你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律 证 明的过程可根据学生的实际水平决定 三 质疑答辩 排难解惑 发展思维三 质疑答辩 排难解惑 发展思维 例 1 教材 64 P例 1 已知向量a 和向量b 求作向量5 2 a 和向量 2a 3b 例 2 教材 64 P例 2 计算 1 3 a b 2 a 2b 2 2 2a 6b 3c 3 3a 4b 2c 思考 向量数乘有哪些相同点和不同点 举一反三 计算 1 3 4a 2 3 2 ababa 3 23 32 abcabc 解 1 原式 12a 2 原式 5b 3 原式 52abc 四 巩固深化 反馈矫正四 巩固深化 反馈矫正 教材 64 P 练习 1 至 5 题 五 归纳整理 整体认识五 归纳整理 整体认识 实数与向量积的定义 理解实数与向量积的几何意义 实数与向量的积的运算律 六 承上启下 留下悬念六 承上启下 留下悬念 1 当Z 时 验证 a b a b 证 当 0 时 左边 0 a b 0 右边 0 a 0 b 0 分配律成立当 为正整 数时 令 n 则有 n a b a b a b a b a a a b b b b na nb 即 为正整数时 分配律成立 当为负整数时 令 n n为正整数 有 n a b n a b n a b n a n b na nb na nb 分配律仍成立 用心 爱心 专心10 综上所述 当 为整数时 a b a b 恒成立 七 板书设计七 板书设计 略 八 课后记 八 课后记 向量的线性运算 四 向量的线性运算 四 三维目标 一 知识与技能 1 理解两个向量共线的含义 并能运用它们证明简单的几何问题 2 理解两个向量共线 平行 的充要条件 能表示与某个非零向量共线的向量 能判 断两个向量共线 3 通过练习使学生对两个向量共线的充要条件 平面向量的基本定理有更深刻的理解 初步学会用向量的方法解决一些简单的几何问题和实际应用问题 二 过程与方法 通过对两个向量共线 平行 充要条件的探索 对平面向量的基本定理有更深刻的理 解 为了帮助学生消化和巩固相应的知识 教材设置了几个例题 通过讲解例题 指导发 现知识结论 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 三 情感 态度与价值观 通过本节内容的学习 使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认 识 让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了 这样有助于激发学生学习数学的 兴趣和积极性 有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神 教学重点与难点 重点 理解两个向量共线 平行 的充要条件 能表示与某个非零向量共线的向量 能判断两个向量共线 难点 对两个向量共线 平行 的充要条件的理解 学法与教学用具 1 学法 1 自主性学习 探究式学习法 2 反馈练习法 以练习来检验知识的应用情况 找出未掌握的内容及其存在的差距 2 教学用具 多媒体 实物投影仪 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 向量数乘的含义及向量数乘的运算律 二 研探新知二 研探新知 探索 师生共同分析向量共线的充要条件 对于向量a a 0 b 如果有一个实数 使得b a 那么a 与b 共线吗 用心 爱心 专心11 B DA C E 如果a 与b 共线 是否存在一个实数 使b a 答案 若有向量a a 0 b 实数 使b a 则由实数与向量积的定义知 a 与b 为共线向量 若a 与b 共线 a 0 且 b a 则当a 与b 同向时b a 当a 与b 反向时 b a 从而得 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 有且只有一个非零实数 使b a 定理 向量a a 0 与b 共线 当且仅当有唯