高考数学一轮复习 第四十二讲 抛物线

用心 爱心 专心1 第四十二讲第四十二讲 抛物线抛物线 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后 的括号内 1 设斜率为 2 的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点F 且和y轴交于点A 若 OAF O为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A y2 4 B y2 8x C y2 4x D y2 8x 解析 y2 ax的焦点坐标为 过焦点且斜率为 2 的直线方程为y 2 令x 0 得 y a 2 4 1 2 a 4 a 2 a2 64 a 8 故选 B 答案 B 2 已知直线l1 4x 3y 6 0 和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点P到直线 l1和直线l2的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C D 11 5 37 16 解析 如图所示 动点P到l2 x 1 的距离可转化为P到F的距离 由图可知 距 离和的最小值即F到直线l1的距离d 2 故选 A 4 6 32 42 用心 爱心 专心2 答案 A 3 抛物线y2 4x的焦点为F 准线为l 经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上 3 方的部分相交于点A AK l 垂足为K 则 AKF的面积是 A 4 B 3 3 C 4 D 8 3 解析 抛物线y2 4x的焦点为F 1 0 准线为l x 1 经过F且斜率为的直线 3 y x 1 与抛物线在x轴上方的部分相交于点A 3 2 AK l 垂足为K 1 2 333 AKF的面积是 4 故选 C 3 答案 C 4 若抛物线y2 4x的焦点是F 准线是l 则经过点F M 4 4 且与l相切的圆共有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 4 个 解析 经过F M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上 设圆心为C 则 CF CM 又圆C与l相切 所以C到l距离等于 CF 从而C在抛物线y2 4x上 故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点 显然有两个交点 所以共有两个圆 故选 C 答案 C 5 设F为抛物线y2 4x的焦点 A B C为该抛物线上三点 若 0 则等于 FAFBFC FAFBFC A 9 B 6 C 4 D 3 解析 设A B C三点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x3 y3 F 1 0 0 x1 x2 x3 3 FAFBFC 又由抛物线定义知 x1 1 x2 1 x3 1 6 故选 B FAFBFC 用心 爱心 专心3 答案 B 6 设抛物线y2 2x的焦点为F 过点M 0 的直线与抛物线相交于A B两点 与 3 抛物线的准线相交于点C BF 2 则 BCF与 ACF的面积之比等于 S BCF S ACF A B 4 5 2 3 C D 4 7 1 2 解析 由 BF 2 小于点M到准线的距离知点B在A C之间 由抛物线的定义知 点B的横坐标为 代入得y2 3 则B 另一种可能是 那么此时直线AC的方程 3 2 为 即y 把y 代入y2 2x 可得 y 0 3 0 x 3 3 2 3 2 x r 3 2 3 2 x r 3 2 3 2x2 7x 6 0 可得x 2 则有y 2 即A 2 2 那么S BCF S ACF BC AC 4 5 故选 A 答案 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线 上 7 已知抛物线型拱的顶点距离水面 2 米时 测量水面宽为 8 米 当水面上升 米后 1 2 水面的宽度是 解析 设抛物线方程为x2 2py 将 4 2 代入方程得 16 2p 2 解得 2p 8 故方程为x2 8y 水面上升 米 则y 代入方程 得 1 2 3 2 x2 8 12 x 2 故水面宽 4米 33 答案 4米 3 用心 爱心 专心4 8 点P到A 1 0 和直线x 1 的距离相等 且点P到直线l y x的距离等于 2 2 则这样的点P的个数为 解析 由抛物线定义 知点P的轨迹为抛物线 其方程为y2 4x 设点P的坐标为 由点到直线的距离公式 知 即y 4y0 4 0 易知y0有三个解 故 y2 0 4 y0 2 2 22 0 点P个数有三个 答案 3 9 已知F为抛物线C y2 4x的焦点 过F且斜率为 1 的直线交C于A B两点 设 FA FB 则 FA 与 FB 的比值等于 解析 抛物线C y2 4x的焦点F 1 0 准线方程 x 1 如图 则直线AB的方程为y x 1 由得 2 1 4 yx yx x2 6x 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2是方程 的两根 x1x2 1 x1 3 2 2 根据抛物线定义 得 FA x1 1 FB x2 1 x1 x2 用心 爱心 专心5 x1 3 2 FA FB x1 1 x2 1 x1 1 1 x1 1 x1 x1 1 x1 12 答案 3 2 2 10 设x1 x2 R R 常数a 0 定义运算 x1 x a 的轨迹方程是 解析 由y 得y2 x a x a 2 x a 2 4ax y 0 x a 答案 y2 4ax y 0 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演 步骤 11 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线AB过定点 3 求弦AB中点P的轨迹方程 4 求 AOB面积的最小值 解 设A x1 y1 B x2 y2 中点P x0 y0 1 kOA kOB y1 x1 y2 x2 OA OB kOA kOB 1 x1x2 y1y2 0 y 2px1 y 2px2 y1y2 0 2 12 2 y2 1 2p y2 2 2p y1 0 y2 0 y1y2 4p2 x1x2 4p2 2 y 2px1 y 2px2 2 12 2 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 kAB y1 y2 x1 x2 2p y1 y2 2p y1 y2 直线AB y y1 x x1 2p y1 y2 y y1 2px y1 y2 2px1 y1 y2 用心 爱心 专心6 y 2px y1 y2 y2 1 2px1 y1y2 y1 y2 y 2px1 y1y2 4p2 y 2 1 2px y1 y2 4p2 y1 y2 y x 2p 2p y1 y2 AB过定点 2p 0 3 如图 设OA y kx 代入y2 2px得 x 0 或x 2p k2 A 同理 以 代k得B 2pk2 2pk 1 k 设中点坐标P x0 y0 Error k2 2 2 2 2 1 k2 x0 p 即y px0 2p2 2 0 中点P的轨迹方程为y2 px 2p2 4 设M 2p 0 S AOB S AOM S BOM OM y1 y2 p y1 y2 2p 1 2 4p2 当且仅当 y1 y2 2p时 等号成立 y1y2 评析 解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点 设抛物线上的点为 x1 y1 x2 y2 因为 x1 y1 x2 y2 都在抛物线上 故满足y 2px1 y 2px2 利用 2 12 2 用心 爱心 专心7 y y 4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2 2 1 2 2 12 是否存在同时满足下列条件的抛物线 准线是y轴 顶点在x轴上 点 A 3 0 到该抛物线上的动点P的距离的最小值为 2 如果存在 求出抛物线方程 如果不 存在 说明理由 解 设满足条件的抛物线存在 顶点B在x轴上 设B a 0 以y轴为准线的抛物线方程为 y2 4a x a 由条件知a 0 设P是抛物线上的点 其坐标为 则 AP 2 2 m2 m2 12 a a2 2 12a 8a2 1 16a 当a a2 0 即 0 a 1 且m2 12 a a2 时 AP min 12a 8a2 2 解得a 1 或a 12a 8a2 1 2 此时抛物线方程为y2 4 x 1 或y2 2 当a a21 且m 0 时 AP min a 3 2 a 5 此时抛物线方程为y2 20 x 5 存在满足条件的抛物线 其方程为 y2 4 x 1 或y2 2或y2 20 x 5 13 2010 福建 已知抛物线C y2 2px p 0 过点A 1 2 1 求抛物线C的方程 并求其准线方程 2 是否存在平行于OA O为坐标原点 的直线l 使得直线l与抛物线C有公共点 且 直线OA与l的距离等于 若存在 求直线l的方程 若不存在 说明理由 5 5 用心 爱心 专心8 解 1 将 1 2 代入y2 2px 得 2 2 2p