数列与数学归纳法

专题专题 3939 数列与数学归纳数列与数学归纳法法 热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展 数学归纳法是一种重要的数学方法 其应用主要体现在证明等式 证明不等式 证明整除 性问题 归纳猜想证明等 本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题 1 数学归纳法适用的范围 关于正整数n的命题 例如数列 不等式 整除问题等 则 可以考虑使用数学归纳法进行证明 2 第一数学归纳法 通过假设nk 成立 再结合其它条件去证1nk 成立即可 证明 的步骤如下 1 归纳验证 验证 0 nn 0 n是满足条件的最小整数 时 命题成立 2 归纳假设 假设 0 nk kn nN 成立 证明当1nk 时 命题也成立 3 归纳结论 得到结论 0 nn nN 时 命题均成立 3 第一归纳法要注意的地方 1 数学归纳法所证命题不一定从1n 开始成立 可从任意一个正整数 0 n开始 此时归 纳验证从 0 nn 开始 2 归纳假设中 要注意 0 kn 保证递推的连续性 3 归纳假设中的nk 命题成立 是证明1nk 命题成立的重要条件 在证明的过 程中要注意寻找1nk 与nk 的联系 4 第二数学归纳法 在第一数学归纳法中有一个细节 就是在假设nk 命题成立时 可 用的条件只有nk 而不能默认其它nk 的时依然成立 第二数学归纳法是对第一归纳 法的补充 将归纳假设扩充为假设nk 命题均成立 然后证明1nk 命题成立 可使 用的条件要比第一归纳法多 证明的步骤如下 1 归纳验证 验证 0 nn 0 n是满足条件的最小整数 时 命题成立 2 归纳假设 假设 0 nk kn nN 成立 证明当1nk 时 命题也成立 3 归纳结论 得到结论 0 nn nN 时 命题均成立 5 注意点 对于归纳猜想证明类问题 有三个易错点 一是归纳结论不正确 二是应用数学归纳 法 确认 n 的初始值 n0不准确 三是在第二步证明中 忽视应用归纳假设 经典例题经典例题 例 1 2018 届重庆市第一中学 5 月月考 已知为正项数列的前 项和 记数列的前 项和为 则的最小值为 答案 解析 分析 由题意首先求得 然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可 详解 由题意结合 以下用数学归纳法进行证明 当时 结论是成立的 假设当时 数列的通项公式为 则 由题意可知 结合假设有 解得 综上可得数列的通项公式是正确的 据此可知 利用等差数列前 n 项和公式可得 则 结合对勾函数的性质可知 当或时 取得最小值 当时 当时 由于 据此可知的最小值为 点睛 本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理 由归纳推理所得的结论不一定正确 通常归纳的个体数目越多 越 具有代表性 那么推广的一般性命题也会越可靠 它是一种发现一般性规律的重要方法 例 2 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 满足 Sn 2an 2 n N 1 求的值 并由此猜想数列 an 的通项公式 an 2 用数学归纳法证明 中的猜想 答案 1 2 见解析 当 n 4 时 a1 a2 a3 a4 S4 2 a4 2 a4 16 由此猜想 n N 2 证明 当 n 1 时 a1 2 猜想成立 假设 n k k 1 且 k N 时 猜想成立 即 那么 n k 1 时 ak 1 Sk 1 Sk 2ak 1 2ak ak 1 2ak 这表明 n k 1 时 猜想成立 由 知猜想 成立 点睛 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 例 3 已知数列满足 试求数列 的值 请猜想的通项公式 并运用数学归纳法证明之 答案 证明见解析 由此猜想 下面用数学归纳法证明之 当 时 结论成立 假设时 结论成立 即有 则对于时 当时 结论成立 综上 可得对 成立 点睛 运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题 1 第一步 归纳奠基 即验证时成立 第二步 归纳递推 即假设时成立 验证时成立 3 两个条件缺一不可 在验证时成立时一定要用到归纳假设时的结论 最 后得到的形式应与前面的完全一致 例 4 2018 届浙江省温州市高三 9 月一模 已知数列中 1 求证 2 求证 是等差数列 3 设 记数列的前 项和为 求证 答案 1 证明见解析 2 证明见解析 3 证明见解析 解析 试题分析 1 利用数学归纳法可证明 2 化简 由可得是等差数列 3 由 2 可得 从而可得 先证明 利用放缩法及等比数列求和公式可证结论 2 由 得 所以 即 即 所以 数列是等差数列 3 由 2 知 因此 当时 即时 所以时 显然 只需证明 即可 当时 例 5 已知函数 2ln 10 b f xaxx f x 1 若函数 f x在1x 处切线斜率为0 2 1 1 1 1 n n afn an 已知 1 4a 求证 22 n an 2 在 1 的条件下 求证 12 1112 1115 n aaa 答案 见解析 下面用数学归纳法证明 22 n an 当1n 时 1 422an 成立 假设 nk kN 成立 则1nk 时 1 21 kkk aaak 22 k ak 1 222145212 k akkk 1nk 时 不等式成立 22 n nNan 2 2 1 2121 nnnnn aanaaan 由 1 可知22 n an 1 21 nn aa 1 1 111 121 121 nn nn aa aa 21 121 1111111 1212121 n nnn aaaa 121 111111 1 111122 n n aaaa 1 1 1 2 1212 1 1 1525 1 2 n n a 例 6 浙江省绍兴市 2018 届 5 月调测 已知数列中 1 证明 2 设数列的前 项和为 证明 答案 1 见解析 2 见解析 详解 1 数学归纳法 当时 显然有 假设当 结论成立 即 那么 即 综上所述成立 2 由 1 知 即 点睛 解决数列与函数 不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件 综 合函数与不等式的知识求解 数列是特殊的函数 以数列为背景的不等式证明问题及以函 数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点 例 7 福建省南平市 2018 届 5 月检查 己知函数 求函数的单调区间 若函数的最小值为 1 数列满足 记 表示不超过 的最大整数 证 明 答案 见解析 见解析 详解 函数的定义域为 1 当时 即在上为增函数 2 当时 令得 即在上为增函数 同理可得在上为减函数 有最小值为 1 由 知函数的最小值点为 即 则 令 当时 故在上是减函数 所以当时 未证明 直接得出不扣分 则 由得 从而 猜想当时 下面用数学归纳法证明猜想正确 1 当时 猜想正确 2 假设时 猜想正确 即时 当时 有 由 知是上的增函数 则 即 例 8 已知函数 在原点处切线的斜率为 数列满足 为常数且 1 求的解析式 2 计算 并由此猜想出数列的通项公式 3 用数学归纳法证明你的猜想 答案 1 2 3 证明见解析 2 则 由此猜想数列的通项公式应为 3 当时 猜想显然成立 假设时 猜想成立 即 则当时 即当时 猜想成立 由 知 对一切正整数都成立 例 9 已知数列是等差数列 1 求数列的通项公式 2 设数列的通项 其中且 记是数列的前 项和 试 比较与的大小 并证明你的结论 答案 1 2 当时 当时 证明见解析 详解 1 设数列 bn 的公差为 d 由题意得 bn 3n 2 2 证明 由 bn 3n 2 知 Sn loga 1 1 loga 1 loga 1 loga 1 1 1 1 而 logabn 1 loga 于是 比较 Sn与 logabn 1 的大小 比较 1 1 1 1 与的大小 取 n 1 有 1 1 取 n 2 有 1 1 1 推测 1 1 1 1 当 n 1 时 已验证 式成立 假设 n k k 1 时 式成立 即 1 1 1 1 则当 n k 1 时 即当 n k 1 时 式成立 由 知 式对任意正整数 n 都成立 于是 当 a 1 时 Sn logabn 1 当 0 a 1 时 Sn logabn 1 例 10 2018 年浙江省高考模拟 已知数列 n x满足 111 1 1 1 nnn xxxx 证明 当 nN 时 1 1 0 nn xx 2 1 1 32 3 nn nn x x xx 3 12 22 33 nn n x 答案 1 见解析 2 见解析 3 见解析 由数列的递推式 以及 2 的结论可得 1 11311 0 323 nn xx 根据等比数列的通项 公式即可证明 2 3 2 n n x 再结合已知可得 111 3 1 1 2 nnnn xxxx 即可证明 不等式成立 详解 1 数学归纳法证明 0 n x 当1n 时 1 10 x 成立 假设nk 时0 k x 成立 那么1nk 时 假设 1 0 k x 则 11 1 10 kkk xxx 矛盾 所以 1 0 k x 故0 n x 得证 所以 111 1 1 nnnn xxxx 故 1 0 nn xx 2 由 11 1 1 nnn xxx 得 11 96 nnnn x xxx 2 111 6146 nnnn xxxx 设 2 6146 0 f xxxxxx 则 6 214 21 x fxxx x 2 51149 121 2481 xx x 3 由 2 得 1 11311 0 323 nn xx 则 11 3 n x 12 1 1133 322 nn x 所以 2 3 2 n n x 又 1 1 10 2 xx x 所以 11 1 1 1 2 nn xx 所以 111 3 1 1 2 nnnn xxxx 故 1 2 3 nn xx 所以 1 2 3 n n x 所以 12 22 33 nn n x 精选精练精选精练 1 用数学归纳法证明 时 由 时等式成立推证时 左边应增加的项为 答案 点睛 项数的变化规律 是利用数学归纳法解答问题的基础 也是易错点 要使问题顺利 得到解决 关键是注意两点 一是首尾两项的变化规律 二是相邻两项之间的变化规律 2 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第 n 个 金鱼 图需要火柴棒的根数为 答案 解析 试题分析 由题意得 金鱼 图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列 首 项为 8 公差为 6 因此第 n 项为 x kw 3 已知数列中 且 1 求 2 根据 1 的结果猜想出的一个通项公式 并用数学归纳法进行证明 3 若 且 求 答案 1 2 证明见解析 3 2 由此猜想 下面用数学归纳法加以证明 当时 由 1 知成立 假设 结论成立 即成立 则当时 有 即 即时 结论也成立 由 可知 的通项公式为 3 由 2 知 4 已知数列的前 项和为 且满足 1 计算 根据计算结果 猜想的表达式 2 用数学归纳法证明你猜想的结论 答案 1 答案见解析 2 证明见解析 解析 分析 1 计算 根据计算结果 猜想 2 用数学归纳法证明猜想的结论 由此猜想 2 下面用数学归纳法证明 当时 显然成立 假设当时猜想成立 即 由题意得 当时猜想也成立 由 和 可知猜想成立 即 点睛 1 在利用数学归纳法证明数学问题时 一定要注意利用前面的时的 假设 否则就是伪数学归纳法 是错误的 2 看到或 要注意联想到项和 公式解题 5 已知数列满足 1 计算 根据计算结果 猜想的表达式 2 用数学归纳法证明你猜想的结论 答案 1 答案见解析 2 证明见解析 由此猜想 2 下面用数学归纳法证明 当时 显然成立 假设当时猜想成立 即 由题意得 当时猜想也成立 由 和 可知猜想成立 即 6 已知数列满足且 1 计算 的值 由此猜想数列的通项公式 2 用数学归纳法对你的结论进行证明 答案 1 2 证明见解析 解析 试题分析 1 由 将代入上 式计算出 的值 根据共同规律猜想即可 2 对于 用数 学归纳法证明即可 当时 证 即当时 结论也成立 由 得 数列的通项公式为 7 在数列中 计算 的值 猜想数列的通项公式 并用数学归纳法加以证明 答案 1 2 证明见解析 由 可猜想 证明 当时 等式成立 假设时 等式成立 即 则当时 即当时 等式也成立 综上所述 对任意自然数 8 已知数列数列 an 的通项公式an 1 n 2n 1 n N Sn为其前 n 项和 1 求 S1 S2 S3 S4的值 2 猜想 Sn的表达式 并用数学归纳法证明你的结论 答案 1 S1 1 S2 2 S3 3 S4 4 2 答案见解析 解析 试题分析 根据 121 n n an 代入1 2 3 4n 计算 可求 1234 S SS S的值 由 猜想 n S的表达式 再根据数学归纳法的证题步骤进行证明 检验1n 时等式成立 假设nk 时命题成立 证明1nk 时命题也成立即可 试题解析 1 依题意可得 S1 1 S2 1 3 2 S3 1 3 5 3 S4 1 3 5 7 4 2 猜想 Sn 1 n n 证明 当 n 1 时 猜想显然成立 假设当 n k 时 猜想成立 即Sk 1 k k 那么当 n k 1 时 Sk 1 1 k k ak 1 1 k k 1 k 1 2k 1 1 k 1 k 1 即 n k 1 时 猜想也成立 故由 和 可知 猜想成立 方法点睛 本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用 属于中档题 由归纳推理所得的结 论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对科学的发现十分 有用 观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带规律性的说法是科学研究的最基本的 方法之一 通过不完全归纳法发现的规律 用数学归纳法加以证明才能应用 9 设0t tx f x tx 令 1 1a 1nn af a nN 1 写出 2 a 3 a 4 a的值 并猜想数列 n a的通项公式 2 用数学归纳法证明你的结论 答案 1 a1 1 a2 1 t t a3 2 2 2 t tt a4 3 32 3 t tt 猜想 an 1 12 1 n nn t tnt n N 2 证明见解析 试题解析 1 a1 1 a2 f a1 f 1 1 t t a3 f a2 2 2 2 t tt a4 f a3 3 32 3 t tt 猜想 an 1 12 1 n nn t tnt n N 2 证明 易知 n 1 时 猜想正确 假设 n k 时猜想正确 即 ak 1 12 1 k kk t tkt 则 ak 1 f ak k k t a ta 1 12 11 12 1 1 k kk k kkk kk t t tktt ttkt t tkt 这说明 n k 1 时猜想正确 由 知 对于任何 n N 都有 an 1 12 1 n nn t tnt 点睛 数学归纳法是一种重要的数学思想方法 主要用于解决与正整数有关的数学问 题 证明时步骤 1 和 2 缺一不可 步骤 1 是步骤 2 的基础 步骤 2 是递推的依据 10 2017 浙江 22 已知数列 xn 满足 x1 1 xn xn 1 ln 1 xn 1 Nn 证明 当时 Nn 0 xn 1 xn 2xn 1 xn 1 2 nn x x xn 1 1 2n 2 1 2n 答案 见解析 见解析 见解析 解析 由得 111 1ln nnnn xxxx 2 111111 422 2 ln 1 nnnnnnnn x xxxxxxx 名师点睛 本题主要考查数列的概念 递推关系与单调性等基础知识 不等式及其应用 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 属于难题 本题主要应用 1 数 学归纳法证明不等式 2 构造函数 利用函数 2 2 2 ln 1 0 f xxxxx x 的单调性证明不等式 3 由递推关系证明 11 2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考 已知无穷数列 n a的首项 1 1 2 a 1 111 2 n nn anN aa 证明 01 n a 记 2 1 1 nn n nn aa b a a n T为数列 n b的前n项和 证明 对任意正整数n 3 10 n T 答案 见解析 见解析 解析 试题分析 I 运用数学归纳法推理论证 由已知 1 2 2 1 1 n nn a aa 即 1nn aa 可得数列 n a为递增数列 又 1 11111 2 n nnnn a aaaa 11 2 n n a a 易知 1 n n a a 为递减数列 试题解析 证明 当1n 时显然成立 假设