高中数学《空间向量及其运算》同步练习1 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心1 新课标高二数学同步测试新课标高二数学同步测试 2 2 1 1 第三章第三章 3 13 1 说明说明 本试卷分第一卷和第二卷两部分 第一卷 74 分 第二卷 76 分 共 150 分 答 题时间 120 分钟 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的 代号填在题后的括号内 每小题 5 分 共 50 分 1 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为AC与BD的交点 若 BA1 a 11D A b AA1 c 则下列向量中与MB1相等的 向量是 A cba 2 1 2 1 B cba 2 1 2 1 C cba 2 1 2 1 D cba 2 1 2 1 2 在下列条件中 使 M 与 A B C 一定共面的是 A OCOBOAOM 2 B OCOBOAOM 2 1 3 1 5 1 C MCMBMA0 D OCOBOAOM0 3 已知平行六面体 ABCDABC D 中 AB 4 AD 3 5AA 0 90BAD 0 60BAADAA 则 AC等于 A 85 B 85 C 5 2 D 50 4 与向量 1 3 2 a 平行的一个向量的坐标是 A 3 1 1 1 B 1 3 2 C 2 1 2 3 1 D 2 3 22 5 已知 A 1 2 6 B 1 2 6 O 为坐标原点 则向量 OAOB 与的夹角是 A 0 B 2 C D 3 2 6 已知空间四边形 ABCD 中 cOC bOB aOA 点 M 在 OA 上 且 OM 2MA N 为 BC 中点 则MN 图 用心 爱心 专心2 A cba 2 1 3 2 2 1 B cba 2 1 2 1 3 2 C cba 2 1 2 1 2 1 D cba 2 1 3 2 3 2 7 设 A B C D 是空间不共面的四点 且满足 000 ADAB ADAC ACAB 则 BCD 是 A 钝角三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 不确定 8 空间四边形 OABC 中 OB OC AOB AOC 600 则 cosBC OA A 2 1 B 2 2 C 2 1 D 0 9 已知 A 1 1 1 B 2 2 2 C 3 2 4 则 ABC 的面积为 A 3B 32C 6D 2 6 10 已知 2 1 1 ttbttta 则 ba 的最小值为 A 5 5 B 5 55 C 5 53 D 5 11 二 填空题 请把答案填在题中横线上 每小题 6 分 共 24 分 11 若 1 3 2 a 3 1 2 b 则ba 为邻边的平行四边形的面积为 12 已知空间四边形 OABC 其对角线为 OB AC M N 分别是对边 OA BC 的中点 点 G 在 线段 MN 上 且GNMG2 现用基组 OCOBOA 表示向量OG 有OG x OCzOByOA 则 x y z 的值分别为 13 已知点 A 1 2 11 B 4 2 3 C 6 1 4 则 ABC 的形状是 14 已知向量 0 3 2 a 3 0 kb 若ba 成 1200的角 则 k 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共76分 15 12 分 如图 已知正方体 ABCDA B C D 的棱 长为a M为 BD的中点 点N在 AC 上 且 3 A NNC 试求MN的长 O N M D C B A C B A D z y x 用心 爱心 专心3 16 12 分 如图在空间直角坐标系中BC 2 原点O是BC的中点 点A的坐标是 2 1 2 3 0 点D在平面yOz上 且 BDC 90 DCB 30 1 求向量OD的坐标 2 设向量AD和BC的夹角为 求 cos 的值 17 12 分 若四面体对应棱的中点间的距离都相等 证明这个四面体的对棱两两垂直 18 12 分 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是一个平行四边形 AB 2 1 4 AD 4 2 0 AP 1 2 1 1 求证 PA 底面ABCD 2 求四棱锥P ABCD的体积 3 对于向量a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 c x3 y3 z3 定义一种运算 a b c x1y2z3 x2y3z1 x3y1z2 x1y3z2 x2y1z3 x3y2z1 试计算 AB AD AP的绝对值的值 说明其与四棱锥P ABCD体积的关系 并由此猜想向量这一运算 AB AD AP的绝对值的几何意义 19 14 分 如图所示 直三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB 1 BCA 90 棱AA1 2 M N 分别是A1B1 A1A的中点 1 求BN的长 2 求 cos的值 3 求证 A1B C1M 图 用心 爱心 专心4 20 14 分 如图 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且 C1CB C1CD BCD 60 1 证明 C1C BD 2 假定CD 2 CC1 2 3 记面C1BD为 面CBD为 求二面角 BD 的平面角 的余弦值 3 当 1 CC CD 的值为多少时 能使A1C 平面C1BD 请给出证明 参考答案 一 1 A 解析 2 1 111 BCBAAABMBBMB c 2 1 ba 2 1 a 2 1 b c 评述 用向量的方法处理立体几何问题 使复杂的线面空间关系代数化 本 题考查的是基本的向量相等 与向量的加法 考查学生的空间想象能力 2 A 解析 空间的四点 P A B C 共面只需满足 OCzOByOAxOP 且 1 zyx既可 只有选项 A 用心 爱心 专心5 3 B 解析 只需将AAADABCA 运用向量的内即运算即可 2 CACA 4 C 解析 向量的共线和平行使一样的 可利用空间向量共线定理写成数乘的形式 即 babab 0 5 C 解析 cos ba ba 计算结果为 1 6 B 解析 显然OAOCOBOMONMN 3 2 2 1 7 B 解析 过点 A 的棱两两垂直 通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形 8 D 解析 建立一组基向量OCOBOA 再来处理BCOA 的值 9 D 解析 应用向量的运算 显然 ACAB ACAB ACAB ACAB sin cos 从而得 ACABACABS sin 2 1 10 C 二 11 56 解析 7 2 cos ba ba ba 得 7 53 sin ba 可得结果 12 OCOBOA 3 1 3 1 6 1 解析 OCOBOA OAOCOBOA OMONOAMNOAMGOMOG 3 1 3 1 6 1 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 13 直角三角形 解析 利用两点间距离公式得 222 ACBCAB 14 39 解析 2 1 913 2 cos 2 k k ba ba ba 得39 k 三 15 解 以 D 为原点 建立如图空间直角坐标系 因为正方体棱长为a 所以B a a 0 A a 0 a C 0 a a D 0 0 a 用心 爱心 专心6 由于M为 BD的中点 取 A C中点 O 所以M 2 a 2 a 2 a O 2 a 2 a a 因为 3 A NNC 所以N为 A C的四等分 从而N为 O C的中点 故 N 4 a 3 4 a a 根据空间两点距离公式 可得 222 36 242424 aaaaa MNaa 16 解 1 过D作DE BC 垂足为E 在 Rt BDC中 由 BDC 90 DCB 30 BC 2 得BD 1 CD 3 DE CD sin30 2 3 OE OB BE OB BD cos60 1 2 1 2 1 D点坐标为 0 2 3 2 1 即向量OD TX 的坐标为 0 2 3 2 1 2 依题意 0 1 0 0 1 0 0 2 1 2 3 OCOBOA 所以 0 2 0 2 3 1 2 3 OBOCBCOAODAD 设向量AD和BC的夹角为 则 cos 222222 020 2 3 1 2 3 0 2 3 2 1 0 2 3 BCAD BCAD 10 5 1 17 证 如图设 321 rSCrSBrSA 则SNSMSHSGSFSE 分别为 1 2 1 r 2 1 32 rr 2 1 21 rr 3 2 1 r 2 1 31 rr 2 2 1 r 由条件 EH GH MN 得 223123212132 2 2 2 rrrrrrrrr 用心 爱心 专心7 展开得 313221 rrrrrr 0 231 rrr 1 r 0 23 rr 0 1 r 23 rr 即 SA BC 同理可证 SB AC SC AB 18 1 证明 ABAP 2 2 4 0 AP AB 又 ADAP 4 4 0 0 AP AD AB AD是底面ABCD上的两条相交直线 AP 底面ABCD 2 解 设AB与AD的夹角为 则 cos 105 3 4161614 28 ADAB ADAB V 3 1 AB AD sin AP 16141 105 9 1105 3 2 3 解 AB AD AP 4 32 4 8 48 它是四棱锥P ABCD体积的 3 倍 猜测 AB AD AP 在几何上可表示以AB AD AP为棱的平行六面体的 体积 或以AB AD AP为棱的直四棱柱的体积 评述 本题考查了空间向量的坐标表示 空间向量的数量积 空间向量垂直的充要条件 空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理 棱锥的体积公式等 主要考查考生 的运算能力 综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 19 如图 建立空间直角坐标系O xyz 1 依题意得B 0 1 0 N 1 0 1 BN 3 01 10 01 222 2 依题意得A1 1 0 2 B 0 1 0 C 0 0 0 B1 0 1 2 1 BA 1 1 2 1 CB 0 1 2 1 BA 1 CB 3 1 BA 6 1 CB 5 cos 30 10 1 11 11 CBBA CBBA 图 用心 爱心 专心8 3 证明 依题意 得C1 0 0 2 M 2 1 2 1 2 BA1 1 1 2 MC1 2 1 2 1 0 BA1 MC1 2 1 2 1 0 0 BA1 MC1 A1B C1M 评述 本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 考查空间两向量垂直的充要条件 20 1 证明 设CB a CD b 1 CC c 则 a b CBCDBD b a BD 1 CC b a c b c a c b c cos60 a c cos60 0 C1C BD 2 解 连AC BD 设AC BD O 连OC1 则 C1OC为二面角 BD 的平面角 2 1 2 1 CDBCCO a b 2 1 11 CCCOOC a b c CO 2 1 1 OC a b 2 1 a b c 4 1 a 2 2a b b2 2 1 a c 2 1 b c 4 1 4 2 2 2cos60 4 2 1 2 2 3 cos60 2 1 2 2 3 cos60 2 3 则 CO 3 OC1 2 3 cosC1OC 3 3 1 1 OCCO OC