高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第3课 函数的单调性

1 第第 3 3 课课 函数的单调性函数的单调性 考点导读 1 理解函数单调性 最大 小 值及其几何意义 2 会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性 基础练习 1 下列函数中 1 f x x 2 21f xxx f xx 1f xx 其中 在区间 0 2 上是递增函数的序号有 2 函数的递增区间是 R yx x 3 函数的递减区间是 2 23yxx 4 已知函数在定义域R上是单调减函数 且 则实数a的取值范 yf x 1 2 f afa 围 5 已知下列命题 定义在上的函数满足 则函数是上的增函数 R f x 2 1 ff f xR 定义在上的函数满足 则函数在上不是减函数 R f x 2 1 ff f xR 定义在上的函数在区间上是增函数 在区间上也是增函数 则函R f x 0 0 数在上是增函数 f xR 定义在上的函数在区间上是增函数 在区间上也是增函数 则函R f x 0 0 数在上是增函数 f xR 其中正确命题的序号有 范例解析 例 1 求证 1 函数在区间上是单调递增函数 2 231f xxx 3 4 2 函数在上是单调递减函数 3 2f xxx R 3 函数在区间和上都是单调递增函数 21 1 x f x x 1 1 分析 利用单调性的定义证明函数的单调性 注意符号的确定 证明 1 对于区间内的任意两个值 且 3 4 1 x 2 x 12 xx 1 1 2 因为 22 121122 231 231 f xf xxxxx 22 2112 2233xxxx 1212 32 xxxx 又 则 得 12 3 4 xx 12 0 xx 12 3 2 xx 12 32 0 xx 故 即 即 1212 32 0 xxxx 12 0f xf x 12 f xf x 所以 函数在区间上是单调增函数 2 231f xxx 3 4 2 对于上的任意两个值 且 R 1 x 2 x 12 xx 因为 33 121122 2 2 f xf xxxxx 33 2121 22xxxx 22 21211 13 2 1 22 xxxxx 又 则 12 xx 21 0 xx 22 211 13 2 10 22 xxx 得 故 即 22 21211 13 2 1 0 22 xxxxx 12 0f xf x 12 f xf x 所以 函数在上是单调减函数 3 2f xxx R 3 对于区间内的任意两个值 且 1 1 x 2 x 12 xx 因为 12 12 12 2121 11 xx f xf x xx 12 12 3 1 1 xx xx 又 则 得 12 1xx 12 0 xx 1 1 0 x 2 1 0 x 12 1 1 0 xx 故 即 即 12 12 3 0 1 1 xx xx 12 0f xf x 12 f xf x 所以 函数在区间上是单调增函数 21 1 x f x x 1 同理 对于区间 函数是单调增函数 1 21 1 x f x x 所以 函数在区间和上都是单调增函数 21 1 x f x x 1 1 点评 利用单调性定义证明函数的单调性 一般分三步骤 1 在给定区间内任意取两值 2 作差 化成因式的乘积并判断符号 3 给出结论 1 x 2 x 12 f xf x 例 2 确定函数的单调性 1 1 2 f x x 3 分析 作差后 符号的确定是关键 解 由 得定义域为 对于区间内的任意两个值 且1 20 x 1 2 1 2 1 x 2 x 12 xx 则 12 12 11 1 21 2 f xf x xx 21 12 1 21 2 1 21 2 xx xx 12 1212 2 1 21 2 1 21 2 xx xxxx 又 12 0 xx 1212 1 21 2 1 21 2 0 xxxx 即 12 0f xf x 12 f xf x 所以 在区间上是增函数 f x 1 2 点评 运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定 例 3 已知函数 1 f xx x 0 x 1 讨论函数在区间上的单调性 并证明 f x 0 2 求函数在区间上的最大值与最小值 f x 1 2 2 3 试求函数的最小值 1 1 3 yx x 分析 本题先研究函数的单调性 再利用单调性解决最值问题 f x 解 1 对于区间内的任意两个值 且 0 1 x 2 x 12 xx 则 1212 12 11 f xf xxx xx 21 12 12 xx xx x x 12 12 12 1 x x xx x x 当 则 12 01xx 12 0 xx 12 10 xx 12 0 xx 故 即 即 12 12 12 1 0 x x xx x x 12 0f xf x 12 f xf x 所以 函数在区间上是单调减函数 f x 0 1 当 则 12 1xx 12 0 xx 12 10 xx 12 0 xx 4 故 即 即 12 12 12 1 0 x x xx x x 12 0f xf x 12 f xf x 所以 函数在区间上是单调增函数 f x 1 综上所述 函数在区间上是单调减函数 在区间上是单调增函数 f x 0 1 1 2 由 1 知 函数在上是单调递减 上是单调递增 f x 1 1 2 1 2 所以 的最小值为 此时 f x 1 2f 1x 又 所以的最大值为 此时或 15 2 22 ff f x 5 2 1 2 x 2 3 令 则 3 3 xt t 1 2yt t 由 1 知 在上单调递增 所以 y的最小值为 1 2yt t 3 4 3 例 4 已知函数在 1 1 上是增函数 求实数的取值范 2 12 11f xxx 围 分析 由函数在 1 1 上是增函数 建立不等关系 解 2 12 11f xxx 当时 在 1 1 上是增函数 1 41f xx 1 当时 对称轴方程为 1 1 1 x 当时 解得 1 1 1 1 1 当时 解得 1 1 1 1 10 0 综上 点评 由单调性求参数的范围 应注意分类讨论 反馈演练 1 已知函数 则该函数在上单调递 减 填 增 减 值域为 1 21 x f x R 2 已知函数在上是减函数 在上是增函数 则 2 45f xxmx 2 2 25 1 f 3 函数的单调递增区间为 2 2yxx 1 2 2 0 1 5 4 函数的单调递减区间为 2 1f xxx 1 1 1 2 5 a 1 是 函数在区间 1 上为增函数 的 充分不必要 条 f xxa 件 6 在下列四个函数中 满 1 f x x f xx 2xf x 2 f xx 足性质 对于区间上的任意 恒成立 的函 1 2 1212 x x xx 1221 f xf xxx 数的序号有 7 已知是上的减函数 那么的取值范围 31 4 1 log 1 a axa x f x x x a 是 1 1 7 3 8 设函数的定义域为 有下列三个命题 f xR 若存在常数 使得对任意 有 则是函数的最大值 MR x f xM M f x 若存在 使得对任意 且 有 则是函数的R 0 xR x 0 xx 0 xfxf 0 xf f x 最大值 若存在 使得对任意 有 则是函数的最大值 R 0 xR x 0 xfxf 0 xf f x 这些命题中 真命题的序号有 9 若函数为R上的减函数 且的图象经过点 A 0 3 和 B 3 1 则不等 xf xf 式21 1 xf 的解集为 10 已知函数在区间上是增函数 求实数a的取值范围 1 2 ax f x x 2 解 设对于区间内的任意两个值 且 2 1 x 2 x 12 xx 则 12 12 12 11 22 axax f xf x xx 21 12 1 2 0 2 2 a xx xx 得 即 12 0 xx 1 2 0 x 2 2 0 x 12 2 2 0 xx 1 20a 1 2 a 11 设函数f x ax 其中a 0 证明 当a 1 时 函数f x 在区间上1 2 x 0 是单调函数 证明 在区间上任取x1 x2 使得x1 x2 0 1 2 6 则f x1 f x2 a x1 x2 a x1 x2 11 2 2 2 1 xx 11 2 2 2 1 2 2 2 1 xx xx x1 x2 a 11 2 2 2 1 21 xx xx 1 且a 1 a0 即f x1 f x2 所以 当a 1 时 函数f x 在区间上是单调递减函数 0 12 已知函数 有如下性质 如果常数 0 那么该函数在 0 上是减 f xx x a a a 函数 在 上是增函数 a 1 如果函数 0 的值域为 6 求的值 f xx x b 2 x b 2 求函数 0 在区间上的最小值 f xx c x c 1 2 3 研究函数 常数 0 在定义域内的单调性 并说明理由 f x 2 x 2 x c c 4 对函数 和 常数 0 作出推广 使它们都是你所推 f xx x a f x 2 x 2 x a a 广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性 只须写出结论 不必证明 解 1 函数 0 的最小值是 则 f xx x b 2 x2 2b2 26 b 2 log 9b 2 函数 在 0 上是减函数 在 上是增函数 f xx c x c c 当时 在上是减函数 则的最小值为 4c f xx c x 1 2 f x2 2 c 当时 在上是增函数 则的最小值为 01c f xx c x 1 2 y1 c 当时 在上是减函数 在上时增函数 则的最14c f xx c x 1 c 2 c f x 小值为 1 c 综上所述 的最小值 f x 2 4 2 2 14 1 01 c c cc cc 3 对于区间内的任意两个值 且 0 1 x 2 x 12 xx 7 则 22 1212 22 12 11 f xf xxx xx 22 22 21 12 22 12 xx xx x x 22 12 1212 22 12 1 x x xxxx x x 当 则 4 12 0 xxc 12 f xf x 所以 函数在区间上是单调减函数 f x 4 0 c 当 则 4 12 cxx 12 f xf x 所以 函数在区间上是单调增函数 f x 4 c 综上所述 函数在区间上是单调减函数 在区间上是单调增函数 f x 2 0 n a 2 n a 在区间上是单调减函数 在区间上是单调增函数 2 n a 2 0 n a 又是偶函数 则函数在区间上是单调减函数 在区间上是单调 f x f x 4 c 4 0 c 增函数