高考物理 工夫在答案外-高考电磁学大题的解题过程探究论文

专心 爱心 用心1 工夫在答案外工夫在答案外 高考电磁学大题的解题过程探究高考电磁学大题的解题过程探究 高考的最后一题或两题 俗称为压轴题 是为了区分最优秀考生 与优秀考生的题目 往往很难 也是物理教学研究的重点 难点和 热点 往年的压轴题 以 电磁感应 为多 近两年高考物理压轴题 带电粒子在电场 磁场中的运动 为多 去年本刊 刊登了笔者 拙作 带电粒子在电磁场中运动问题的解题规律及方法 今年笔 者对 2009 年高考题中包括 带电粒子在电场 磁场中的运动 和 电磁感应 两部分的大题进行研究 探究其解题过程 高考试题答案 只有结果 没有过程 即只有 是什么 what 而没有 为什么 why 新课程标准的教学理念是 重视过程 与方法 不是死记硬背结论和结果 本文对近年高考中有关 带电 粒子在电场磁场中运动 和 电磁感应 两部分的难题给于解题过 程的探究 因为这部分题目是高考题中最难的 也是高考的重点和 热点 有关 电磁场 的高考大题 大部分是 带电粒子在电场磁场中 的运动 的内容 因为这部分内容可以和其它知识如力学知识和数 学知识综合 命题者有较大的创新空间 所以大多是压轴题 题目 都很贵 多数是 18 分 有的甚至 20 分 解 带电粒子在电场磁场 中的运动 的题目 根据作者多年对高考题的研究认为 关键是作 关键是作 图图 可以说 图画出来了 并且画对了 这道题就基本解出来了 当然 要解对 还要靠正确应用公式求解 如图画错 此题必错无 专心 爱心 用心2 疑 当然画不出图 就解不出来 有关 电磁感应 的大题 大部分是框架上的导体棒的运动问题 它不仅与力学知识综合 也常常与电路知识综合 题目可以出得很 难 很复杂 如江苏省卷 上海卷和北京卷 解题过程 一般有四步 即审题 分析 解答和检验 画图过程 是审题过程和分析过程 也是探究过程 写答案 仅仅是解答 而 且不是全部的解答 有些运算过程如解方程过程并未写出 就解题 的四个步骤来看 分析重于解答 功夫在答案外 所谓 行百里者 半九十 是也 1 1 宁夏卷第宁夏卷第 2525 题题 如图所示 在第一象限有一匀强电场 场强大小为 E 方向与 y 轴平行 在 x 轴下方有一匀强磁场 磁场方向与纸面垂直 一质 量为 m 电荷量为 q q 0 的粒子以平行于 x 轴的速度从 y 轴上 的 P 点处射入电场 在 x 轴上的 Q 点处进入磁场 并从坐标原点 O 离开磁场 粒子在磁场中的运动轨迹与 y 轴交于 M 点 已知 OP OQ 2 不计重力 求l3l 1 M 点与坐标原点 O 间的距离 2 粒子从 P 点运动到 M 点所用的时间 探究过程 解本题的关键在作图 带电粒子在电场中做类平抛运 动 从 Q 点画出速度矢量 速度方向与 x 轴正方向的夹角为 然 后作它的垂线 QM 因为速度是沿圆周运动轨迹的切线方向 所以 QM 必为带电粒子在磁场中做圆周运动的圆周的直径 然后根据几何知 专心 爱心 用心3 识求解 MO 答案 1 带电粒子在电场中做类平抛运动 在 y 轴负方向上做 初速为零的匀加速运动 设加速度大小为 a 在 x 轴正方向上做 匀速直线运动 设速度为 v0 粒子从 P 点运动到 Q 点所用的时间 为 t1 进入磁场速度方向与 x 轴正方向的夹角为 则 maqE 2 10 2 1 aty 100 tvx 其中 lx32 0 ly 0 又有 0 1 tan v at 联立上式解得 0 30 因为 M O Q 在圆周上 MOQ 900 所以 MQ 为直径 由图中 的几何关系可知 lR32 lMO6 2 设粒子在磁场中运动的速度为 v 从 Q 到 M 点运动的时间 为 t2 则有 cos 0 v v v R t 2 带电粒子自 P 点出发到 M 点所用的时间 t 为 21 ttt 联立以上各式并代入数据解得 qE ml t 2 1 2 3 专心 爱心 用心4 2 2 安徽卷第安徽卷第 2323 题题 如图所示 匀强电场方向沿 轴的正方向 x 场强为 在E 点有一个静止的中性微粒 由于内部 0 A d 作用 某一时 刻突然分裂成两个质量均为的带电微粒 m 其中电荷量为q 的微粒 1 沿 轴负方向运动 经过一段时间到达点 y 0 d 不计重力和分裂后两微粒间的作用 试求 1 分裂时两个微粒各自的速度 2 当微粒 1 到达 点时 电场力对微粒 1 做功的0 d 瞬时功率 3 当微粒 1 到达 点时 两微粒间的距离 0 d 探究过程 根据动量守恒 两个带电微粒初速度的大小相等 方 向相反 其中电荷量为 的微粒 1 沿 轴负方向运动 电荷量为 qy 的微粒微粒 2 沿 轴正方向运动 然后都做类平抛运动 微粒 1 到qy 达 0 d 微粒 2 到达 2d d 作出如下图 然后求解 答案 1 微粒 1 在 y 方向不受力 做匀速直线运动 在x方向 由于受恒定的电场力 做匀加速直线运动 所以微粒 1 做的是类平 抛运动 设微粒 1 分裂时的速度为v1 微粒 2 的速度为v2则 在y方向上有 tvd 1 专心 爱心 用心5 在 x 方向上有 m qE a 2 2 1 atd m qEd v 2 1 中性微粒分裂成两微粒时 遵守动量守恒定 律 有 0 21 mvmv 大小 m qEd vv 2 12 方向沿 y 正方向 2 设微粒 1 到达 0 d 点时的速度为v 则电场力做功的瞬 时功率为 BxB qEvqEvP cos 其中由运动学公式 m qEd advBx 2 2 所以 m qEd qEP 2 3 两微粒的运动具有对称性 如图所示 当微粒 1 到达 0 d 点时发生的位移 dS2 1 则当微粒 1 到达 0 d 点时 两微粒间的距离为dS2BC22 1 3 3 福建卷第福建卷第 2222 题题 图为可测定比荷的某装置的简化示意图 在第一象限区域内有 0 d d 0 x E y vx vy 专心 爱心 用心6 垂直于纸面向里的匀强磁场 磁感应强度大小 B 2 0 10 3T 在 X 轴 上距坐标原点 L 0 50m 的 P 处为离子的入射口 在 Y 上安放接收器 现将一带正电荷的粒子以 v 3 5 104m s 的速率从 P 处射入磁场 若粒子在 y 轴上距坐标原点 L 0 50m 的 M 处被观测到 且运动轨迹 半径恰好最小 设带电粒子的质量为 m 电量为 q 不计其重力 1 求上述粒子的比荷 q m 2 如果在上述粒子运动过程中的某个时刻 在第一象限内再加一 个匀强电场 就可以使其沿 y 轴正方向做匀速直线运动 求该匀强 电场的场强大小和方向 并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长 时间加这个匀强电场 3 为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子 在第一象限内 的磁场可以局限在一个矩形区域内 求此矩形磁场区域的最小面积 并在图中画出该矩形 探究过程 审题中 要抓住关键词 本题的关键词是 运动轨运动轨 迹半径恰好最小迹半径恰好最小 怎样画图半径才最小 有同学可能先画出如下图 从入射口垂直进入 从出射口垂直射出的圆弧 即以 为半径的圆l 4 1 弧 专心 爱心 用心7 如果这样画图 往下解就都错了 因为这并不是最小半径 最小 半径是以入射口到出射口的连线为直径的圆弧 因为此圆弧的半 2 1 径为 自然小于 本题典型地说明 图画错一切全错 l 2 2 l 然后 若要使带电粒子 沿 y 轴正方向做匀速直线运动 必须 在圆弧上画切线 此切线与 y 轴平行 最后 具有 最小面积 的矩形磁场区域 就是圆弧的外接长方 形 即以直径为一边 以半径为另一边的长方形 如下图所示 答案 1 设粒子在磁场中的运动半径为r 如上图 依题意 M P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径 由几何关系 得 2 2L r 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力 可得 专心 爱心 用心8 r v mqvB 2 联立 并代入数据得 4 9 C kg 或 5 0 C kg m q 7 10 7 10 2 设所加电场的场强大小为E 如图乙 当粒子经过Q点时 速度沿y轴正方向 依题意 在此时加入沿x轴正方向的匀强电场 电场力与此时洛伦兹力平衡 则有 qvBqE 代入数据得 CNE 70 所加电场的场强方向沿x轴正方向 由几何关系可知 圆弧PQ所 对应的圆心角为 45 设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T 所 求时间为t 则有 Tt 0 0 360 45 v r T 2 联立 并代入数据得 st 6 109 7 3 如图丙 所求的最小矩形是 该区域面积PPMM 11 2 2rS 专心 爱心 用心9 联立 并代入数据得 2 25 0 mS 矩形如图中 虚线 PPMM 11 4 4 全国全国 1 1 卷第卷第 2626 题题 如图 在 x 轴下方有匀强磁场 磁感应强度大小为 B 方向垂直 于 x y 平面向外 P 是 y 轴上距原点为 h 的一点 N0为 x 轴上距原点为 a 的一点 A 是一块 平行于 x 轴的挡板 与 x 轴的距离为 A 的中点在 y 轴上 长度略 小于 带点粒子与挡板碰撞前后 x 方向的分速度不变 y 方向的 分速度反向 大小不变 质量为 m 电荷量为 q q 0 的粒子从 P 点瞄准 N0点入射 最后又通过 P 点 不计重力 求粒子入射速度的所有可能值 答案 设粒子的入射速度为 v 第一次射出磁 场的点为 与板碰撞后再次进入磁场的位置 O N 为 粒子在磁场中运动的轨道半径为 R 有 1 N 粒子速率不变 每次进入磁场与射 qB mv R 专心 爱心 用心10 出磁场位置间距离保持不变有 粒子射出磁1x 1 x sin2RNN OO 场与下一次进入磁场位置间的距离始终不变 与相等 由图可 2 x 1 NNO 以看出 ax 2 设粒子最终离开磁场时 与档板相碰 n 次 n 0 1 2 3 若粒子 能回到 P 点 由对称性 出射点的 x 坐标应为 a 即 由 两式得 anxxn21 21 a n n x 1 2 1 若粒子与挡板发生碰撞 有 联立 得 4 21 a xx n0 和 初速度 v 的带电微粒 发射时 这束带电微粒分布在 0 y0 带电微粒在磁场中经过一段半径为 r 2R 的圆弧运动后 将在 y 轴 的右方 x 0 的区域离开磁场并做匀速直线运动 如图 c 所示 靠近 M 点发射出来的带电微粒在射出磁场后会射向 x 轴正方向的无穷远 处 靠近 N 点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场 所以 这束带电微粒与 x 轴相交的区域范 围是 x 0 专心 爱心 用心22 8 8 重庆卷第重庆卷第 2525 题题 如题 25 图 离子源 A 产生的初 速为零 带电量均为 e 质量不同的 正离子被电压为 U0的加速电场加速 后匀速通过准直管 垂直射入匀强偏 转电场 偏转后通过极板 HM 上的小 孔 S 离开电场 经过一段匀速直线运 动 垂直于边界 MN 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场 已知 HO d HS 2d 90 忽略离子所受重力 MNQ 1 求偏转电场场强 E0的大小以及 HM 与 MN 的夹角 2 求质量为 m 的离子在磁场中做圆周运动的半径 3 若质量为 4m 的离子垂直打在 NQ 的中点 S1处 质量为 16m 的 离子打在 S2处 求 S1和 S2之间的距离以及能打在 NQ 上的正离子的 质量范围 探究过程探究过程 在图中 由于正离子垂直于边界 MN 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场 并且 90 所以 NS1是质量为 4m 的离子在MNQ 磁场中做圆周运动的半径 N 点是其圆心 质量为 16m 的离子打在 S2处 它的圆心必在 MN 的延长线上 能打在 NQ 上的正离子的轨迹 专心 爱心 用心23 的圆心也在 MN 的延长线上 这样 画出了答题图 如下图 问题就 迎刃而解了 答案 1 正离子被电压为 U0的加速电 场加速后速度设为 V1 设对正离子 应用动能定理有 eU0 mV12 0 1 2 正离子垂直射入匀强偏转电场 作类平抛运动受到电场力 F eE0 产生的加速度为 a 即 F m a 0 eE m 垂直电场方向匀速运动 有 2d V1t 沿场强方向 d at2 1 2 联立 解得 E0 0 U d 又 tan 解得 45 1 v at 2 正离子进入磁场时的速度大小为 2222 121 vvvvat 正离子在匀强磁场中作匀速圆周运动 由洛仑 兹力提供向心力 得 2 2 mV evB R 专心 爱心 用心24 联立 解得离子在磁场中做圆周运动的半径 0 2 2 mU R eB 3 根据可知 0 2 2 mU R eB 质量为 4m 的离子在磁场中的运动打在 S1 运动半径为 0 1 2 4 2 m U R eB 质量为 16m 的离子在磁场中的运动打在 S2 运动半径为 R2 2 0 2 2 16 2 m U R eB 因为 45 所以 从 MN 的入射点是 MN 的中点 所以质量 为 4m 的粒子的轨迹的圆心在 N 点 由几何关系可知 S1和 S2之间的距离 22 2211 SRRRR A 将 代入解得 1 R 2 R 0 2 4 31 mU S eB 由 R 2 2 R1 2 R R1 2解得 R R1 5 2 再根据R1 R R1 1 2 5 2 解得 m mx 25m 9 9 海南卷第海南卷第 1616 题题 如图 ABCD 是边长为 的正方形 质量为 电荷量为 的电子ame 以大小为的初速度沿纸面垂直于 BC 边射入 0 v 正方形区域 在正方形内适当区域中有匀强 磁场 电子从 BC 边上的任意点入射 都只能 从 A 点射出磁场 不计重力 求 1 此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小 专心 爱心 用心25 2 此匀强磁场区域的最小面积 探究过程 根据本题的条件 很容易画出 CEA 圆弧 以 B 为圆心 以 a 为半径的圆弧 这样 第 1 问便可求出 然后猜想从任意点 4 1 如 Q 点射入的粒子可能如下图 QA 圆弧 那么就产生了矛盾 直角三 角形 ABO 的直角边 AB 长为 a 斜边 AO 长也为 a 等于 CB 所 以此图错误 就要把圆心 O 左移 可以画出如答案中所画的图 这样带电粒子从 Q 点不是直接进入磁场 而是先做匀速直线运动到 P 再在磁场中做圆周运动 磁场的最小范围不是以 B 为圆心以 a 为 半径的半圆 而是以 AEC 弧和 AFC 弧包围的面积 答案 设匀强磁场的磁感应强度的大小为 B 令圆弧是自 A AEC C 点垂直于 BC 入射的电子在磁场中的运行轨迹 电子所受到的磁场 的作用力 0 fev B 应指向圆弧的圆心 因而磁场的方向 应垂直于纸面向外 圆弧的圆心在 A AEC 专心 爱心 用心26 CB 边或其延长线上 依题意 圆心在 A C 连线的中垂线上 故 B 点即为圆心 圆半径为 按照牛顿定律有a 2 0 2 v fm 联立 式得 0 mv B ea 2 由 1 中决定的磁感应强度的方向和大小 可知自点垂C 直于入射电子在 A 点沿 DA 方向射出 且自 BC 边上其它点垂直于BC 入射的电子的运动轨迹只能在 BAEC 区域中 因而 圆弧是所求 A AEC 的最小磁场区域的一个边界 为了决定该磁场区域的另一边界 我们来考察射中 A 点的电子的 速度方向与 BA 的延长线交角为 不妨设 的情形 该电 0 2 子的运动轨迹如上图所示 qpA 图中 圆的圆心为 O pq 垂直于 BC 边 由 式知 圆弧的 A AP A AP 半径仍为 在 D 为原点 DC 为 x 轴 AD 为 轴的坐标系中 P 点ay 的坐标为 x y sin cos cos xa yazaa 这意味着 在范围内 p 点形成以 D 为圆心 为半径的0 2 a 四分之一圆周 它是电子做直线运动和圆周运动的分界线 构 A AFC 成所求磁场区域的另一边界 因此 所求的最小匀强磁场区域是分别以和为圆心 为半BDa 径的两个四分之一圆周和所围成的 其面积为 A AEC A AFC 专心 爱心 用心27 222 112 2 422 Saaa 9 9 北京卷第北京卷第 2323 题题 单位时间内流过管道横截面的液体体积叫做液体的体积流量 以 下简称流量 有一种利用电磁原理测量非磁性导电液体 如自来水 啤酒等 流量的装置 称为电磁流量计 它主要由将流量转换为电 压信号的传感器和显示仪表两部分组成 传感器的结构如图所示 圆筒形测量管内壁绝缘 其上装有一对 电极 和 c a c 间的距离等于测量管内径 D 测量管的轴线与 a ca 的连接方向以及通电线圈产生的磁场方向三者相互垂直 当导电液 体流过测量管时 在电极 a c 间出现感应电动势 E 并通过与电极 连接的仪表显示出液体流量 Q 设磁场均匀恒定 磁感应强度为 B 1 已知 设液体在测量管 33 0 40 2 5 10 0 12 Dm BT Qms 内各处流速相同 试求 E 的大小 取 3 0 2 一新建供水站安装了电磁流量计 在向外供水时流量本应 显示为正值 但实际显示却为负值 经检查 原因是误将 测量管接反了 即液体由测量管出水口流入 从入水口流 专心 爱心 用心28 出 因水已加压充满管道 不便再将测量管拆下重装 请 你提出使显示仪表的流量指示变为正值的简便方法 3 显示仪表相当于传感器的负载电阻 其阻值记为 a cR 间导电液体的电阻 r 随液体电阻率的变化而变化 从而会 影响显示仪表的示数 试以 E R r 为参量 给出电极 a c 间输出电压 U 的表达式 并说明怎样可以降低液体电 阻率变化对显示仪表示数的影响 探究 画出测量管的截面图 从原图的左侧面看 如下图 正离子垂直于纸面向里运动 根据左手定则 受洛仑兹力指向 a 负正离子垂直于纸面向里运动 根据左手定则 受洛仑兹力 指向 c 则 a 边聚集正电荷 c 边聚集负电荷 形成电压 当电 压稳定时 电场力与洛仑兹力平衡 答案 1 导电液体通过测量管时 相当于导线做切割磁感线的 运动 在电极 a c 间切割感应线的液柱长度为 D 设液体的流 速为 v 则产生的感应电动势为 E BDv 由流量的定义 有 Q Sv v D 4 2 式联立解得 D BQ D Q BDE 44 2 代入数据得 VVE 3 3 100 1 4 03 12 0 105 24 专心 爱心 用心29 2 能使仪表显示的流量变为正值的方法简便 合理即可 如 改变通电线圈中电流的方向 使磁场 B 反向 或将传感器输出 端 a 与 c 对调接入显示仪表 3 传感器和显示仪表构成闭合电路 由闭合电路欧姆定律 rR E I 1 REE UIR Rrr R 输入显示仪表的是 a c 间的电压 U 流量示数和 U 一一对应 E 与液体电阻率无关 而 r 随电阻率的变化而变化 由 式可看出 r 变化相应地 U 也随之变化 在实际流量不变的情况下 仪表显 示的流量示数会随 a c 间的电压 U 的变化而变化 增大 R 使 R r 则 U E 这样就可以降低液体电阻率变化对显示仪表流 量示数的影响 10 10 上海卷第上海卷第 2424 题题 如图 光滑的平行金属导轨水平放置 电阻不计 导轨间 距为l 左侧接一阻值为R的电阻 区域 cdef 内存在垂直轨道 平面向下的有界匀强磁场 磁场宽度为s 一质量为m 电阻为 r的金属棒 MN 置于导轨上 与导轨垂直且接触良好 受到 F 0 5v 0 4 N v为金属棒运动速度 的水平力作用 从 磁场的左边界由静止开始运动 测得电阻两端电压随时间均匀 增大 已知l 1m m 1kg R 0 3 r 0 2 s 1m 1 分析并说明该金属棒在磁场中做何 种运动 M c f R B F l N d s e 专心 爱心 用心30 2 求磁感应强度B的大小 3 若撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足 v v0 x 且棒在运动到 ef 处时恰好静止 则外力 B2l2 m R r F作用的时间为多少 4 若在棒未出磁场区域时撤去外力 画出棒在整个运动过程 中速度随位移的变化所对应的各种可能的图线 答案 1 R两端电压U I v U随时间均匀增大 即v随时 间均匀增大 加速度为恒量 即金属棒做匀加速运动 2 F ma 以F 0 5v 0 4 代入得 0 5 B2l2v R r B2l2 R r v 0 4 a a与v无关 所以a 0 4m s2 0 5 0 得 B2l2 R r B 0 5T 3 x1 at2 v0 x2 at x1 x2 s 所以at2 1 2 B2l2 m R r 1 2 at s 得 0 2t2 0 8t 1 0 解得t 1s m R r B2l2 4 探究图象 x1 at2 根据v v0 x 因末速度 1 2 m2 014 0 2 1 2 B2l2 m R r 为 0 得 m rRm lB v x8 0 22 0 2 如果是在处撤去外力 则在 x 为 0 0 2m 范围内 导体mx2 0 1 棒做速度随时间均匀变化的运动即匀加速运动 则速度与位移的 专心 爱心 用心31 关系为 图象是斜率逐渐减小的曲线 最大速度为axv2 在 x 为 0 2m 1 0m 范围内 导体axv2 sm 4 02 04 02 棒做速度随位移均匀变化的运动 即 其中kxvv 0 1 s 为常数 所以图象为直线 5 0 2 03 0 0 1 0 15 0 2222 rRm lB k 如下图中之图 1 如果是在处之前撤去外力 最大速度小于 速度mx2 0 1 sm 4 0 减为 0 时导体棒没有到达磁场边缘 如下图中之图 2 如果是在处之后撤去外力 最大速度大于 导体mx2 0 1 sm 4 0 棒到达磁场边缘时速度还没有减为 0 如下图中之图 3 如果是在处即导体棒到达磁场右边缘时才撤去外力 导mx0 1 体棒一直做匀加速运动 最大速度等于 axv2 如下图中之图 4 sm 9 00 14 02 v ms 1 v ms 1 v ms 1 v ms 1 0 9 0 4 0 4 0 4 0 4 0 0 2 0 5 1 x m 0 0 5 1 x m 0 0 5 1 x m 0 0 5 1 x m 图 1 图 2 图 3 图 4 11 11 江苏省卷第江苏省卷第 1515 题题 如图所示 两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上 导轨间距为 L 足够长且电阻忽略不计 导轨平面的倾角为 条形 匀强磁场的宽度为 磁感应强度大小为 B 方向与导轨平面垂直 d 长度为的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成 d2 专心 爱心 用心32 型装置 总质量为 置于导轨上 导体棒中通以大小恒为 Im 的电流 由外接恒流源产生 图中未画出 线框的边长为 电阻为 R 下边与磁场区域上边界重合 将装置由静止dLd 释放 导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回 导体棒在整个运 动过程中始终与导轨垂直 重力加速度为 求 g 1 装置从释放到开始返回的过程中 线框中产生的焦耳热 Q 2 线框第一次穿越磁场区域所需的时间 1 t 3 经过足够长时间后 线框上边与磁场区域下边界的最大距 离 m x 解答 命题者提供的解答 1 设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中 作用在线框的安培力做功为 W 由动能定理Wdmg 4sin BILd 0 且WQ 解得 Q sin4mgdBILd 专心 爱心 用心33 2 设线框刚离开磁场下边界时的速度为 则接着向下运动 1 v d2 由动能定理dmg2sin BILd 0 2 1 2 1 mv 装置在磁场中运动的合力 sinFmgF 感应电动势Bdv 感应电流 R I 安培力dBIF 由牛顿第二定律 在 到时间内 有ttt t m F v 则 v t mR vdB g sin 22 有 1 v sin 1 gt mR dB 32 2 解得 sin 2 sin2 2 32 1 mg R dB mgdBILdm t 3 经过足够长时间后 线框在磁场下边界与最大距离之间 m x 往复运动 由动能定理 m xmg sin dxBIL m 0 解得 sinmgBILd BILd xm 探究 本人研究的另外解法 解题的根据 解题的根据 牛顿在他的名著 自然哲学的数学原理 一书中写下