高二数学第二册上册第六章第3节不等式的证明（文）人教版

用心 爱心 专心 高二数学第二册上册第六章第高二数学第二册上册第六章第 3 节不等式的证明 文 人教版节不等式的证明 文 人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 不等式的证明 教学目标 1 掌握不等式证明的作差比较法和作商比较法 2 在熟悉一些常用基本不等式的基础上 掌握不等式证明的综合法 3 掌握分析法证明不等式的要求和格式 4 通过本节内容的复习 提高同学们的化简意识 变形意识 拓宽解题思路 提高推理 论证能力 二 重点 难点 1 教学重点 理解并掌握不等式证明的三种方法 即 比较法 综合法 分析法 2 教学难点 正确理解三种证明方法的证题思想 准确把握证明步骤和书写格式 例题分析例题分析 一 比较法 比较法有作差比较法和作商比较法两种 1 作差比较法 一般适用于具有多项式结构的题目 其步骤是 作差 变形 判断差的符号 与 0 比较大小 2 作商比较法 一般适用于不等式两边恒为正且具有乘积式幂指数结构的题目 其步骤是 作商 变形 判断商与 1 的大小 例 1 已知 求证 xyRxxyyxy 22 1 解析 解析 这个不等式两边是多项式结构的 因此可采用作差比较法 最后的结果与 0 比大小 xxyyxy 22 1 xxyyxy 22 1 1 2 222222 22 xxyyxy 1 2 21212 2222 xxyyxyxy 1 2 11 222 xyxy xyxy 10100 222 1 2 110 222 xyxy xxyyxy 22 1 说明 采用作差法证明不等式 作差后经常采用配方的办法 判断结果与 0 的大小 例 2 已知 求证 abcabcabc abcb cc aa b 0 222 用心 爱心 专心 解析 解析 此题具有积的结构 且两边恒为正的不等式 因此 采用作商比较法 最后的结果与 1 比较大小 证明 证明 abc abc abc b cc aa b 222 abc ab cba cca b222 abc a ba cb ab cc ac b a b b c a c a bb ca c abc 0 a b b c a c abbcac111000 a b b c a c a bb ca c 1 又 abcabc abcb cc aa b222 00 abcabc abcb cc aa b222 说明 在上述讨论中 要求必须对指数函数的性质清楚 例 3 已知 求证 ab ab ab ab ab 0 22 22 解析 解析 根据已知条件及要证的不等式的结构 既可以用作差比较法也可以用作商比较法 证法一 证法一 ab ab ab ab 22 22 ababab abab 222 22 2 0 22 ab ab abab 原不等式成立 证法二 证法二 左边 右边 ab ab ab ab ab ab ab ab 22 22 2 2222 1 2 1 原不等式成立 二 综合法 就是从已知的不等式出发 用必要条件代替前面的不等式 直至推出欲证 的不等式 常用的重要不等式有 若 则 1000 22 abRaaab 若 则 22 22 abRabab 若 则 32abRabab 若 则 402ab b a a b 例 1 已知 且 求证 abcabc abc 0001 111 9 解析 解析 要证此不等式 应充分使用已知条件 同时改变要证不等式左边的现状 使之可以运 用心 爱心 专心 算且大于或等于 9 证明 证明 111 abc abc a abc b abc c 3 b a c a a b c b b c a c 3 b a a b c a a c c b b c 32229 111 9 abc 例 2 已知 为的三边 求证 abcABCabcabbcca 222 2 解析 解析 a b c 为 ABC 的三边 可以挖掘出 a b c 均为正数 且 a b c b a c c a b 在此基础上我们再构造 a2 b2 c2 证法一 证法一 在 ABC 中 a b c 为三边 a b c b a c c a b aa bcbb accc ab 222 abca bcb acc ab 222 即 abcabbcac 222 2 证法二 证法二 在 ABC 中 a b c 为三边 abcbcaacb abcbcaacb 222222 abbcacabc 222222 abcabbcac 222 2 说明 由 a b c 是 ABC 的三边 挖出 a b c 均为正 且两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 来供求证明使用 例 3 已知 a b c 是不全相等的正数 求证 lglglglglglg abbcac abc 222 分析 分析 由于要证的不等式两边均为以 10 为底的对数 所以逆用对数运算法则 这个不等式应 等价于 lglg abbc ac abc 222 又 以 10 为底的对数函数是增函数 它又等价于 abbc ac abc 222 证明 证明 a b c 是不全相等的正数 用心 爱心 专心 ab ab bc bc ac ac 2 01 2 02 2 03 a b c 是不全相等的正数 式中至少有一个不取 号 abbc ac abc 222 给上式两边同取以 10 为底的对数 lglg ab acbc abc 222 即lglglglglglg abbcac abc 222 三 分析法 分析法就是从求证的不等式出发 逐步寻求使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式问题转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能肯定这些充分条件都 已具备 那么就可以判定原不等式成立 分析法的特点 执果索因 例 1 已知 求证 abcdRabcdacbd 222222 解析 解析 分析法有两种书写格式 1 使用 连接 关键词 如 为了证明 只需证明 即证 等 全部使用逆推符号 2 证明 证明 abcdacbd 222222 abcdacbd 2222 2 22 abcdacbda b c dR 2222 abcdacbd 22222 b ca dbcad 2222 2 即显然成立bcad 2 0 所证不等式成立 例 2 已知 求证 ab ab a ab ab ab b 0 828 22 解析 解析 这是一个含两个不等号的连不等式 因此得分别证明两个不等号都成立 先证 ab ab ab b 28 2 证明 证明 ab 0 要证 ab ab ab b28 2 只需证 从而abab ab b 2 4 2 用心 爱心 专心 只需证 从而0 4 2 2 ab ab b 只需证 从而ab ab b 2 只需证 从而22abbab 只需证 aabb 20 即abab 2 ab 0 abab2成立 ab ab ab b28 2 成立 留给学生自己证 另一部分 ab ba a ba 28 2 同时 练习一下书写格式 模拟试题模拟试题 1 求证 已知 a bR aba ba b 553223 2 已知 x y z 是互不相等的正数 且 xyz 1 求证 1 1 1 1 1 18 xyz 3 已知 求证 abc 222 1 1 2 1abacbc 4 且 求证 要求用三种方法 已知 a bR ab aba bab 3322 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 这是一个多项式结构的不等式 显然是用作差比较法 2 先把每一个小括号内的两项通分看看 即 再把 1 换为 1 1 1 x x x 11 y y z z x y z 1 1 2 01 1 1 2 02 1 1 2 03 x yz x yz x y xz y xz y z xy z xy z x y z 均为正数且 x y z 1 01 1 1 1 10 x xx 同理 1 10 1 10 yz 则 可得出要证的不等式 1 1 1 1 1 18 xyz 3 先证abbcacabc 222 1 由重要不等式