高考数学复习点拨 剖析对数函数中的三大难点

用心 爱心 专心 剖析对数函数中的三大难点剖析对数函数中的三大难点 对数函数是高中数学中的一个重要函数 也是高考的热点知识之一 学习对数函数时 会遇到一些难点 使解题思维陷入困境 究其原因主要有三大难点 难点一 底数不统一难点一 底数不统一 对数的运算性质及相关的知识都是建立在底数相同的基础上的 但在实际问题中 对 数的运算 变形却经常要遇到底数不相同的情况 出现这种情形 该如何来突破呢 主要 有三种处理方法 化指数式 对数函数与指数函数互为反函数 所以它们之间有着密切的关系 logaNb 即为 b aN 因此在处理有关对数中遇到的问题时 经常将对数 式化为指数式来帮助解决 利用换底公式统一底数 换底公式的主要功能就是将底数不相同的对数通过换 底把底数统一起来 然后再运用相关的性质与法则进行求解 利用函数图象 函数的图象是函数的另一重要方面 它可以将函数的有关性质 直观显现 因此 当对数的底数不相同时 可以借助对数函数的图象的直观性 来加以理解和寻求解题的思路 例 1若1100abab 且满足关系式 2 log 2log 4log 3 aab 求 ab 的值 分析 分析 已知关系式中包含三个别底数不相同的对数式 因此可设 2 log 2log 4log 3 aab m 转化为指数式来解决 解 解 设 2 log 2log 4log 3 aab m 则2 m a 4 2 m a 2 2 m m a a 即2 2 m m m a a 由于0 m a 1 2 2m 1m log 2log 31 ab 11 23 ab 例 2设 2 log 3a 3 log 7b 求 42 log56的值 分析 分析 两个已知对数式的底数不相同 无法直接进行计算 所以应该首先考虑统一底 数 从条件看应该把底数统一为 3 解 解 由 2 log 3a 可得 3 1 log 2 a 所以 333 42 333 log 56log 73log 23 log56 log 42log 2log 7 11 ab aba 例 3 若log 2log 20 ab 则ab 满足的关系是 用心 爱心 专心 1ab 1ba 01ab 01ba 分析 分析 此题由于两个对数式底数不同 但是真数相同 所以可以把两个对数式看成是 两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值 可通过图象来分析 解 解 log 2 log 2 ab 可以看成是对数函数logayx logbyx 在2x 时的两个函数值 画出它们的大 致图象 如右图 显然ab 均小于 1 根据对数函 数的底数和图象的关系可得 01ba 故选 难点二 真数是和差的形式难点二 真数是和差的形式 对数的运算性质的主要功能是将运算级别较高的降低为级别较低的运算 而和与差是 运算中的最低级别 所以在处理真数是和差形式的对数问题时 难度就较大 主要有两种 处理方法 整体考虑 对真数因式分解 例 4 若实数x满足 2 22 log 21 log 24 3 xx 求x的值 分析 分析 已知关系式既有对数的相乘 又有真数的差 要将此式进行转化 可以把 2 log 21 x 看成整体 再对 2 2 log 24 x 的真数因式分解 解 解 由 2 22 log 21 log 24 3 xx 得 22 log 21 log4 21 3 xx 所以 22 log 21 2log 21 3 xx 所以 2 22 log 21 2log 21 30 xx 解得 2 log 21 1 x 或 2 log 21 3 x 故有 2 log 3x 或 2 9 log 8 x 难点三 对数与对数相乘难点三 对数与对数相乘 对于对数与对数相乘 运用对数的运算性质是很难解决的 因此 在解决此类问题时 要根据所给的关系式认真分析其结构特点 其求解主要有三种方法 利用换底公式 整体考虑 化各对数为和差的形式 例 5 设 23456783 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 loglog 27m AAAAAA 求m的值 分析 分析 已知等式是七个对数之积 其特点是 从第二个对数开始的每一个对数的底数 是前一个对数的真数 因此 我们可以采用换底公式将各对数换成以 2 为底的两个对数的 商 然后约分达到目的 解 解 2345678 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 log mAAAAAA 用心 爱心 专心 222222 22 222222 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 log log 3log log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 m m AAAAAA 23 loglog 273m 8m 例 6 已知 2 22 2 log 7log30 xx 求函数 22 loglog 24 xx y 的值域 分析 分析 所求函数的解析式是两个对数的积的形式 可利用对数的运算性质将其化为两 个差的积 解 解 由 2 22 2 log 7log30 xx 得 2 1 log3 2 x 函数 2